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實驗十四　探究單擺的擺長與周期的關系 1.實驗原理 當偏角很小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為T＝2π，它與偏角的大小及擺球的質量無關，由此得到g＝.因此，只要測出擺長l和振動周期T，就可以求出當?shù)氐闹亓铀俣萭的值. 2.實驗器材 帶有鐵夾的鐵架臺、中心有小孔的金屬小球、不易伸長的細線(約1 m)、秒表、毫米刻度尺和游標卡尺. 3.實驗步驟 (1)讓細線的一端穿過金屬小球的小孔，然后打一個比小孔大一些的線結，做成單擺. (2)把細線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標記，如圖1所示. 圖1 (3)用毫米刻度尺量出擺線長度l′，用游標卡尺測出擺球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計算出擺長l＝l′＋r. (4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過5)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平穩(wěn)后測出單擺完成30～50次全振動所用的時間t，計算出金屬小球完成一次全振動所用時間，這個時間就是單擺的振動周期，即T＝(N為全振動的次數(shù))，反復測3次，再算出周期的平均值＝. (5)根據(jù)單擺周期公式T＝2π，計算當?shù)氐闹亓铀俣萭＝. (6)改變擺長，重做幾次實驗，計算出每次實驗的重力加速度值，求出它們的平均值，該平均值即為當?shù)氐闹亓铀俣戎? (7)將測得的重力加速度值與當?shù)氐闹亓铀俣戎迪啾容^，分析產生誤差的可能原因. 1.注意事項 (1)構成單擺的條件：細線的質量要小、彈性要小，選用體積小、密度大的小球，擺角不超過5. (2)要使擺球在同一豎直面內擺動，不能形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放. (3)測周期的方法：①要從擺球過平衡位置時開始計時.因為此處速度大、計時誤差小，而最高點速度小、計時誤差大. ②要測多次全振動的時間來計算周期.如在擺球過平衡位置時開始計時，且在數(shù)“零”的同時按下秒表，以后每當擺球從同一方向通過平衡位置時計數(shù)1次. (4)本實驗可以采用圖象法來處理數(shù)據(jù).即用縱軸表示擺長l，用橫軸表示T2，將實驗所得數(shù)據(jù)在坐標平面上標出，應該得到一條傾斜直線，直線的斜率k＝.這是在眾多的實驗中經常采用的科學處理數(shù)據(jù)的重要方法. 2.數(shù)據(jù)處理 處理數(shù)據(jù)有兩種方法： (1)公式法：測出30次或50次全振動的時間t，利用T＝求出周期；不改變擺長，反復測量三次，算出三次測得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度. (2)圖象法：由單擺周期公式不難推出：l＝T2，因此，分別測出一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖象，圖象應是一條通過原點的直線，如圖2所示，求出圖線的斜率k＝，即可利用g＝4π2k求重力加速度. 圖2 3.誤差分析 (1)系統(tǒng)誤差的主要來源：懸點不固定，球、線不符合要求，振動是圓錐擺而不是在同一豎直平面內的振動等. (2)偶然誤差主要來自時間的測量，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計時，不能多計或漏計全振動次數(shù). 命題點一　教材原型實驗 例1　某同學用實驗的方法探究影響單擺周期的因素. (1)他組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖3所示，這樣做的目的是________(填字母代號). 圖3 A.保證擺動過程中擺長不變 B.可使周期測量更加準確 C.需要改變擺長時便于調節(jié) D.保證擺球在同一豎直平面內擺動 (2)他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺從懸點量到擺球的最低端的長度L＝0.999 0 m，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖4所示，則該擺球的直徑為________ mm，單擺擺長為________ m. 圖4 (3)下列振動圖象真實地描述了對擺長約為1 m的單擺進行周期測量的四種操作過程.圖中橫坐標原點表示計時開始，A、B、C均為30次全振動的圖象，已知sin 5＝0.087，sin 15＝0.26，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________(填字母代號). 答案　(1)AC　(2)12.0　0.993 0　(3)A 解析　(1)橡皮的作用是使擺線擺動過程中懸點位置不變，從而保證擺長不變，同時又便于調節(jié)擺長，A、C正確； (2)根據(jù)游標卡尺讀數(shù)規(guī)則可得擺球直徑為d＝12 mm＋0.1 mm0＝12.0 mm，則單擺擺長為L0＝L－＝0.993 0 m(注意統(tǒng)一單位)； (3)單擺擺角不超過5，且計時位置應從最低點(即速度最大位置)開始，故A項的操作符合要求. 變式1　某同學用單擺測當?shù)氐闹亓铀俣?他測出了擺線長度L和擺動周期T，如圖5(a)所示.通過改變懸線長度L，測出對應的擺動周期T，獲得多組T與L，再以T2為縱軸、L為橫軸畫出函數(shù)關系圖象如圖(b)所示.由圖象可知，擺球的半徑r＝________ m，當?shù)刂亓铀俣萭＝________ m/s2；由此種方法得到的重力加速度值與實際的重力加速度值相比會________(選填“偏大”“偏小”或“一樣”) 圖5 答案　1.010－2　9.86　一樣 命題點二　實驗拓展與創(chuàng)新 例2　(2015天津理綜9(2))某同學利用單擺測量重力加速度. (1)為了使測量誤差盡量小，下列說法正確的是________. A.組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球 B.組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線 C.實驗時須使擺球在同一豎直面內擺動 D.擺長一定的情況下，擺的振幅盡量大 (2)如圖6所示，在物理支架的豎直立柱上固定有擺長約1 m的單擺.實驗時，由于僅有量程為20 cm、精度為1 mm的鋼板刻度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處于同一水平面的位置做一標記點，測出單擺的周期T1；然后保持懸點位置不變，設法將擺長縮短一些，再次使擺球自然下垂，用同樣方法在豎直立柱上做另一標記點，并測出單擺的周期T2；最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上兩標記點之間的距離ΔL.用上述測量結果，寫出重力加速度的表達式g＝________. 圖6 答案　(1)BC　(2) 解析　(1)在利用單擺測重力加速度實驗中，為了使測量誤差盡量小，須選用密度大、半徑小的擺球和不易伸長的細線，擺球須在同一豎直面內擺動，擺長一定時，振幅盡量小些，以使其滿足簡諧運動條件，故選B、C. (2)設第一次擺長為L，第二次擺長為L－ΔL，則T1＝2π，T2＝2π，聯(lián)立解得g＝. 變式2　為了研究滑塊的運動，選用滑塊、鉤碼、紙帶、毫米刻度尺、帶滑輪的木板以及由漏斗和細線構成的單擺等組成如圖7甲所示裝置，實驗中，滑塊在鉤碼作用下拖動紙帶做勻加速直線運動，同時讓單擺垂直于紙帶運動方向做小擺幅擺動，漏斗可以漏出很細的有色液體，在紙帶上留下的痕跡記錄了漏斗在不同時刻的位置，如圖乙所示. 圖7 (1)漏斗和細線構成的單擺在該實驗中所起的作用與下列哪個儀器相同？________(填寫儀器序號). A.打點計時器　B.秒表　C.毫米刻度尺　D.電流表 (2)已知單擺周期T＝2 s，在圖乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，則單擺在經過D點時，滑塊的瞬時速度為vD＝________ m/s，滑塊的加速度為a＝________ m/s2(結果保留兩位有效數(shù)字). 答案　(1)A　(2)0.34　0.040 解析　(1)單擺振動具有周期性，擺球每隔半個周期經過紙帶中線一次，單擺在該實驗中所起的作用與打點計時器相同，故選A. (2)在勻變速直線運動中，中間時刻的瞬時速度大小等于該過程中的平均速度大小，故有vD＝＝0.34 m/s據(jù)勻變速直線運動的推論Δx＝aT2，有： a＝＝0.040 m/s2