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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1： 2-1-1 函數(shù)的概念 教案 【教學(xué)目標(biāo)】 1．讓學(xué)生了解函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一個(gè)對應(yīng)，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素； 2．使學(xué)生理解函數(shù)概念及函數(shù)符號f(x)的意義 3．會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域、值域． 【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)概念的形成，正確理解函數(shù)的概念. 【教學(xué)難點(diǎn)】 發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，使學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)． 【難點(diǎn)突破】 1．讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，函數(shù)的辨析過程，函數(shù)定義域、值域的求解過程，滲透歸納推理； 2．通過經(jīng)歷以上過程，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，體驗(yàn)函數(shù)思想，通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，讓學(xué)生在民主、和諧的課堂氛圍中，感受數(shù)學(xué)的抽象性和簡潔美． 【教學(xué)方法】 探究式． 【教學(xué)手段】 多媒體PPT與板書相結(jié)合． 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 同學(xué)們，我是江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)一名教師，昨天下午14:00點(diǎn)我懷著激動(dòng)的心情，親自駕車從我工作的學(xué)校歷經(jīng)80公里來到這里，也就是張家港高級中學(xué)報(bào)到．在此過程中，我和張家港高級中學(xué)的距離隨時(shí)間是如何變化的？數(shù)學(xué)上可以用 來描述這種運(yùn)動(dòng)變化中的數(shù)量關(guān)系．（函數(shù)） 二、回憶舊知，引出困境 我們在初中學(xué)過函數(shù)，請舉出初中學(xué)過的函數(shù)． 問題一：你能具體給出一些初中學(xué)過的函數(shù)嗎？ (y＝3x，y＝，y＝x2等) 問題二：請同學(xué)們回憶初中函數(shù)的定義是什么？ 在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x與y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫自變量． 問題三：y＝0 (x∈R)是函數(shù)嗎？ （先請學(xué)生回答，有很大的可能會(huì)形成兩種意見．對兩種意見展開討論，讓學(xué)生說明自己的判斷理由，形成認(rèn)知沖突．） 其實(shí)，利用初中所學(xué)的函數(shù)知識(shí)很難回答這個(gè)問題．為此我們還需要進(jìn)一步研究函數(shù)的概念．（PPT打出課題，老師板書課題） 三、分析實(shí)例，形成概念 在豐富多彩的現(xiàn)實(shí)生活中，我們可能會(huì)遇到下列實(shí)際問題． 實(shí)例1 一物體從490 m高空由靜止開始下落到地面，下落的距離y（m）與下落時(shí)間x（s）之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)＝4.9x2． （1）若物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？ （2）在此例中，x（s）的范圍是什么？y（m）的范圍是什么？ 事實(shí)上生活中這樣的實(shí)例有很多，隨著改革開放的深入，我們的生活水平越來越高，需求越來越大，而人口數(shù)量的變化趨勢也將直接影響我國各種政策的制定．表1給出了改革開方以來我國人口變化的情況． 實(shí)例2 從人口統(tǒng)計(jì)年鑒中可以查得我國從1949年至xx年人口數(shù)據(jù)資料如表1所示，你能根據(jù)這個(gè)表說出我國人口的變化情況嗎？ 表1 1949至xx年我國人口數(shù)據(jù)表 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 2004 xx 人口數(shù)/百萬 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 1300 1340 再如，一天氣溫也是影響人們舒適感的一個(gè)重要依據(jù)，實(shí)例3給出了某市一天24小時(shí)的氣溫變化圖． 圖1 實(shí)例3 圖1為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖. （1）上午6時(shí)的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？ （2）在什么時(shí)刻，氣溫為0℃？ （3）在什么時(shí)段內(nèi)，氣溫在0℃以上？ 問題四：實(shí)例一、二、三在呈現(xiàn)形式等方面有什么不同？ 問題五：實(shí)例一、二、三有什么共同的特點(diǎn)？ （讓學(xué)生充分討論，在老師的引導(dǎo)下找出以下共同點(diǎn)：①都有兩個(gè)非空數(shù)集A、B；②兩個(gè)數(shù)集之間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系；③對于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對應(yīng).） 滿足以上共同特點(diǎn)的兩個(gè)數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，我們把它叫做什么呢？（函數(shù)，請學(xué)生根據(jù)前面概括的共同特征，擬定函數(shù)的新定義，老師做必要補(bǔ)充．） 函數(shù)的概念： 一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)（function），通常記為 y＝f(x)，x∈A． 其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域（domain），將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域（range）． 四、結(jié)合典例，理解概念 這樣我們?nèi)菀着袛?，前面的三個(gè)實(shí)例都表示兩個(gè)集合間的函數(shù)關(guān)系．我們回頭再想問題三． 再看問題三：是函數(shù)嗎？為什么？ （是，完全滿足函數(shù)的定義，請同學(xué)們指出集合A、B及對應(yīng)法則f．） 下面我們先來看兩個(gè)例題： 例1 判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)： （1）x → ，x≠0,x∈R； （2）x → y，這里y2＝x，x∈N，y∈R． 分析：判斷對應(yīng)是否構(gòu)成函數(shù)的依據(jù)只有定義，所以我們只要判斷是否滿足定義即可． 解 （1）對于任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，被x惟一確定，所以當(dāng)x≠0時(shí)x → 是函數(shù)，這個(gè)函數(shù)也可表示為f(x)＝ （x≠0）． 變題1：x → ，x∈R； （不是，不滿足任意性） 變題2：x → ，x∈{x∈R|x2＋1＝0} （不是，不滿足集合A，B的非空性） （2）考慮輸入值為4，即當(dāng)x＝4時(shí)輸出值y由y2＝4給出，y＝2和y＝－2．這里一個(gè)輸入值與兩個(gè)輸出值對應(yīng)（不是單值對應(yīng)），所以，x → y（y2＝x）不是函數(shù)． 由此看來，判斷對應(yīng)是否為函數(shù)對應(yīng)，關(guān)鍵是依據(jù)定義，請同學(xué)們再審視定義，完成問題六． 問題六：函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞是什么？請用簡潔的語言說明． （通過交流得出以下幾點(diǎn)：①A、B都是非空的數(shù)集；②任意性與唯一性；③確定的對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系f可以以解析式、圖象、表格等形式呈現(xiàn)．） 這樣，函數(shù)概念里展現(xiàn)出對應(yīng)有非空、任意、惟一等三個(gè)關(guān)鍵性用詞。以后我們稱函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則為函數(shù)的三要素，而三要素也是判斷函數(shù)是否相同的重要依據(jù)． （考查實(shí)例一及問題一中給出函數(shù)的三要素，并指出以解析式形式呈現(xiàn)的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么就認(rèn)為它的定義域是指使函數(shù)解析式有意義的輸入值的集合．） 例2 判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)： （1）y＝與y＝x＋1; （2）y＝與y＝x； （3）y＝x2與u＝t2． 分析：函數(shù)相同，必須定義域、值域和對應(yīng)法則三要素均相同． 解：（1）不是相同函數(shù)，因?yàn)槎x域不同； （2）不是相同函數(shù)，因?yàn)閷?yīng)法則不同； （3）是相同函數(shù)． 說明：兩個(gè)函數(shù)是否同同，只與函數(shù)的對應(yīng)法則f和定義域A有關(guān)，而與函數(shù)用什么字母表示無關(guān)． 例3 求下列函數(shù)的定義域： （1）f(x)＝； （2）g(x)＝． 分析：本題中函數(shù)定義域就是找使函數(shù)解析式有意義的輸入值x的范圍． 解 （1）因?yàn)楫?dāng)x－1≥0時(shí)，即x≥1時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義；當(dāng)x－1＜0時(shí)，即x＜1時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域是． （2）因?yàn)楫?dāng)x＋1≠0時(shí)，即x≠－1時(shí)，有意義；當(dāng)x＋1＝0時(shí)，即x＝－1時(shí)，沒有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域是{x| x≠－1, x∈R}． （以上過程是教材上的解題過程，用PPT打出，老師可板書簡捷一點(diǎn)的過程，如：（1）由x－1≥0解得x≥1，從而函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≥1，且x∈R}．） 例4 求下列函數(shù)的值域： （1）f(x)＝(x－1)2+1，x∈{－1,0,1,2,3}； （2）f(x)＝(x－1)2+1． 分析：在做此例之前，先請同學(xué)思考：怎樣理解符號f(x)? （在法則f下， x所對應(yīng)的函數(shù)值，并結(jié)合生活實(shí)例說明．而值域C＝{y|y＝f(x),x∈A}，為B的子集） 解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)閧－1,0,1,2,3}，因?yàn)閒(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5, 同理 f(0)＝2, f(1)＝1, f(2)＝2, f(3)＝5， 所以這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)閧1,2,5}. （2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)? (x－1)2＋1≥1 所以這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥1}. 說明：求函數(shù)的值域先交代（或求出）函數(shù)的定義域，然后再考查輸出值的范圍． 五、對比總結(jié)，深化概念 同學(xué)們，今天，我們在初中函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合與對應(yīng)的語言重新刻畫了函數(shù)，比較兩個(gè)函數(shù)的定義，同學(xué)們有什么新的認(rèn)識(shí)？ 問題七：請談一談你對函數(shù)的概念有什么新的認(rèn)識(shí)？本課你學(xué)會(huì)了什么？ 六、即時(shí)訓(xùn)練，鞏固概念 練習(xí)： 1．下列四組對應(yīng)中，是函數(shù)的序號為 . ①x → －x, x∈R； ②x → y, 其中y＝|x|，x∈R,y∈R； ③t→ s, 其中s＝t2，t∈R,s∈R； ④t → s, 其中t＝s2，t∈R,s∈R． 2．若f(x)＝x－x2，則f(0)＝ ，f(1)＝ ，f(n＋1)－f(n)＝ ． 3．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)? ． 4．函數(shù)f(x)＝x＋1，x∈{－1,1}的值域?yàn)? ． 七、作業(yè) 1.實(shí)踐作業(yè) 舉出生活中函數(shù)的例子（兩個(gè)以上），并用集合與對應(yīng)的語言來描述函數(shù)； 2.分層作業(yè) A．教材 第24頁 練習(xí)1，2，3 B．教材 第28頁 習(xí)題2.1（1） 1，2，5 C．教材 第28頁 習(xí)題2.1（1） 8，9，10 3.預(yù)習(xí)作業(yè) 預(yù)習(xí)教材第25頁至28頁內(nèi)容，并完成第28頁練習(xí)1,2,3. 【板書設(shè)計(jì)】 PPT投影 函數(shù)的概念 一、概念 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)（function），通常記為 y＝f(x)，x∈A． 二、分析 三要素 對應(yīng)法則（非空數(shù)集，每一個(gè)，惟一的） 定義域 值 域 y＝3x，x∈R y＝，x≠0 y＝x2，x∈R y＝4.9x2， 0≤x≤10 PPT投影 函數(shù)的概念 一、概念 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)（function），通常記為 y＝f(x)，x∈A． 二、分析 三要素 對應(yīng)法則（非空數(shù)集，每一個(gè)，惟一的） 定義域 A (不作說明即為式子有意義) 值 域 C＝{y|y=f(x),x∈A}B 例題：