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簡諧運動及其圖象 【學習目標】 1．知道什么是彈簧振子以及彈簧振子是理想化模型。 2．知道什么樣的振動是簡諧運動。 3．明確簡諧運動圖像的意義及表示方法。 4．知道什么是振動的振幅、周期和頻率。 5．理解周期和頻率的關系及固有周期、固有頻率的意義。 6．知道簡諧運動的圖像是一條正弦或余弦曲線，明確圖像的物理意義及圖像信息。 7．能用公式描述簡諧運動的特征。 【要點梳理】 要點一、機械振動 1．彈簧振子 彈簧振子是小球和彈簧所組成的系統(tǒng)，這是一種理想化模型．如圖所示裝置，如果球與桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質量與小球的質量相比也可以忽略，則該裝置為彈簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物體所受回復力為零的位置． 3．振動 物體（或物體的一部分）在平衡位置附近所做的往復運動，叫做機械振動． 振動的特征是運動具有重復性． 要點詮釋：振動的軌跡可以是直線也可以是曲線． 4．振動圖像 （1）圖像的建立：用橫坐標表示振動物體運動的時間，縱坐標表示振動物體運動過程中對平衡位置的位移，建立坐標系，如圖所示． （2）圖像意義：反映了振動物體相對于平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律． （3）振動位移：通常以平衡位置為位移起點，所以振動位移的方向總是背離平衡位置的．如圖所示，在圖像中，某時刻質點位置在軸上方，表示位移為正（如圖中時刻），某時刻質點位置在軸下方，表示位移為負（如圖中時刻）． （4）速度：跟運動學中的含義相同，在所建立的坐標軸（也稱為“一維坐標系”）上，速度的正負號表示振子運動方向與坐標軸的正方向相同或相反． 如圖所示，在坐標軸上，設點為平衡位置。為位移最大處，則在點速度最大，在兩點速度為零． 在前面的圖像中，時刻速度為正，時刻速度為負． 要點二、簡諧運動 1．簡諧運動 如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數規(guī)律，即它的振動圖像是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動． 簡諧運動是物體偏離平衡位置的位移隨時間做正弦或余弦規(guī)律而變化的運動，它是一種非勻變速運動． 物體在跟位移的大小成正比，方向總是指向平衡位置的力的作用下的振動，叫做簡諧運動． 簡諧運動是最簡單、最基本的振動． 2．實際物體看做理想振子的條件 （1）彈簧的質量比小球的質量小得多，可以認為質量集中于振子（小球）；（2）當與彈簧相接的小球體積足夠小時，可以認為小球是一個質點；（3）當水平桿足夠光滑時，可以忽略彈簧以及小球與水平桿之間的摩擦力；（4）小球從平衡位置拉開的位移在彈簧的彈性限度內． 3．理解簡諧運動的對稱性 如圖所示，物體在與間運動，點為平衡位置，和兩點關于點對稱，則有： （1）時間的對稱： ， ， ． （2）速度的對稱： ①物體連續(xù)兩次經過同一點（如點）的速度大小相等，方向相反． ②物體經過關于點對稱的兩點（如與兩點）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． 4．從振動圖像分析速度的方法 （1）從振動位移變化情況分析：如圖所示，例如欲確定質點在時刻的速度方向，取大于一小段時間的另一時刻，并使極小，考查質點在時刻的位置（），可知，即位于的下方，也就是經過很短的時間，質點的位移將減小，說明時刻質點速度方向沿軸的負方向．同理可判定時刻質點沿軸負方向運動，正在離開平衡位置向負最大位移處運動． 若，由簡諧運動的對稱特點，還可判斷和時刻對應的速度大小關系為。 （2）從圖像斜率分析：圖像切線斜率為正，速度方向為正方向，圖像切線斜率為負，速度方向為負方向，斜率絕對值表示速度大?。甭蚀?、速度大． 要點三、描述簡諧運動的基本概念 1．全振動 一個完整的振動過程，稱為一次全振動． 不管以哪里作為開始研究的起點，彈簧振子完成一次全振動的時間總是相同的． 2．周期 （1）定義：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間叫做振動的周期，用表示． （2）單位：在國際單位制中，周期的單位是秒（）． （3）意義：周期是表示振動快慢的物理量． 周期越長表示物體運動得越慢，周期越短表示物體運動得越快． （4）簡諧運動的周期公式：． 要點詮釋：公式中為做簡諧運動物體的質量，為做簡諧運動物體受到的合外力跟位移的大小的比例常數． 3．振幅 （1）定義：振動物體離開平衡位置的最大距離，叫做振幅，用表示． （2）單位：在國際單位制中，振幅的單位是米（）． （3）意義：振幅是表示振動強弱的物理量． 要點詮釋：①振幅是一個標量，是指物體偏離平衡位置的最大距離．它沒有負值，也無方向，所以振幅不同于最大位移．②在簡諧運動中，振幅跟頻率或周期無關．在一個穩(wěn)定的振動中，物體的振幅是不變的．③振動物體在一個全振動過程通過的路程等于個振幅，在半個周期內通過的路程是兩個振幅，但個周期內通過的路程不一定等于一個振幅．可以比一個振幅大，也可以比一個振幅?。? 4．頻率 （1）定義：單位時間內完成的全振動的次數，叫故振動的頻率，用表示．常把物體在內完成的全振動次數叫做頻率． （2）單位：在國際單位制中，頻率的單位是赫茲（）． （3）意義：頻率是表示物體振動快慢的物理量．頻率越大表示振動得越快，頻率越小表示振動得越慢． （4）周期與頻率的關系：。 （5）固有頻率和固有周期：振子獲得能量后，物體開始振動．物體的振動頻率，只是由振動系統(tǒng)本身的性質決定，與其他因素無關，其振動頻率叫固有頻率，振動周期也叫固有周期． 要點四、簡諧運動的描述 1．簡諧運動的表達式： （1）式中表示振動質點相對于平衡位置的位移，表示振動的時間． （2）表示振動質點偏離平衡位置的最大距離，即振幅． （3）叫做簡諧運動的圓頻率，它也表示簡諧運動物體振動的快慢．與周期及頻率的關系： 　　　　。 所以表達式也可寫成： 或． （4）表示時，簡諧運動質點所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相．代表了簡諧運動的質點在時刻處在一個運動周期中的哪個狀態(tài)，所以代表簡諧運動的相位． （5）簡諧運動的位移和時間的關系也可用余弦函數表示成：，注意同一振動用不同函數表示時相位不同，而且相位 是隨時間變化的量． （6）相位每增加就意味著完成了一次全振動． 2．測量彈簧振子周期的方法 彈簧振子的周期一般較小，測定其周期時，一般是用秒表測出振子完成次全振動所用的時間，則 ． 值取大一些（如）可以減小周期的測量誤差． 3．計算振動物體通過的路程的方法 一個周期內，振子的運動路程為．若全振動的次數為，則振動物體通過的路程為． 4．對一次全振動的認識 對簡諧運動的物體，某一階段的振動是否為一次全振動，可以從以下兩個角度判斷： 一是從物體經過某點時的特征物理量看，如果物體的位移和速度都回到原值（大小、方向兩方面），即物體完成了一次全振動； 二是看物體在這段時間內通過的路程是否等于振幅的四倍． 5．相位差 是指兩個相位之差，在實際中經常用到的是兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位差，反映出兩簡諧運動的步調差異． 設兩簡諧運動和的振動方程分別為： 　　， ， 它們的相位差為 ． 可見，其相位差恰好等于它們的初相之差，因為初相是確定的，所以頻率相同的兩個簡諧運動有確定的相位差． 若 ， 則稱的相位比的相位超前，或的相位比的相位落后； 若 ， 則稱的相位比的相位落后，或的相位比的相位超前． （1）同相：相位差為零，一般的為 ． （2）反相：相位差為π，一般的為 ． 要點詮釋：比較相位或計算相位差時，要用同種函數來表示振動方程，相位差的取值范圍：． 6．振動圖像的信息 如圖所示，則 （1）從圖像上可知振動的振幅為； （2）從圖像上可知振動的周期為； （3）從圖像上可知質點在不同時刻的位移，時刻對應位移，時刻對應位移； （4）從圖像上可以比較質點在各個時刻速度的大小及符號（表示方向），如時刻質點的速度較時刻質點的速度小，時刻質點的速度為負，時刻質點的速度也為負（時刻是質點由最大位移處向平衡位置運動過程的某一時刻，而時刻是質點由平衡位置向負的最大位移運動過程中的某一時刻）； （5）從圖像上可以比較質點在各個時刻加速度的大小及符號，如時刻的加速度較質點在時刻的加速度大，時刻質點加速度符號為負，時刻質點加速度符號為正； （6）從圖像可以看出質點在不同時刻之間的相位差． 7．簡諧運動的周期性 簡諧運動是一種周而復始的周期性的運動，按其周期性可作如下判斷： （1）若 ， 則兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同． （2）若 ， 則兩時刻，描述運動的物理量均大小相等，方向相反． （3）若 或 ， 則當時刻物體到達最大位移處時，時刻物體到達平衡位置；當時刻物體在平衡位置時，時刻到達最大位移處；若時刻，物體在其他位置，時刻物體到達何處就要視具體情況而定． 【典型例題】 類型一、簡諧運動的基本概念 例1．關于機械振動的位移和平衡位置，以下說法中正確的是（ ）． A．平衡位置就是物體振動范圍的中心位置 B．機械振動的位移總是以平衡位置為起點的位移 C．機械振動的物體運動的路程越大，發(fā)生的位移也越大 D．機械振動的位移是指振動物體偏離平衡位置最遠時的位移 【思路點撥】平衡位置是物體所受回復力為零時所在的位置． 【答案】B 【解析】平衡位置是物體可以靜止時的位置，所以應與受力有關，與是否為振動范圍的中心位置無關．如乒乓球豎直落在臺面上的運動是一個機械振動，顯然其運動過程的中心位置應在臺面上，所以A項不正確；振動位移是以平衡位置為初始點，到質點所在位置的有向線段，振動位移隨時間而變，振子偏離平衡位置最遠時，振動物體振動位移最大，所以只有選項B正確． 【總結升華】位移和平衡位置是機械振動問題中非常重要的概念．位移的正負方向應該作出規(guī)定，平衡位置則是物體所受回復力為零時所在的位置． 舉一反三: 【高清課堂：簡諧振動及其圖像例1】 【變式1】一質點做簡諧運動，其振動圖象如圖所示，則（ ）． A．振幅是 B．振動頻率為 C．時，質點速度為正且最大 D．時，質點速度為正且最大 【答案】A C 【變式2】一質點作簡諧運動，圖象如圖所示，在到這段時間內，質點的運動情況是（ ）． A．沿負方向運動，且速度不斷增大 B．沿負方向運動的位移不斷增大 C．沿正方向運動，且速度不斷增大 D．沿正方向的加速度不斷減小 【答案】C D 類型二、振動圖像的理解 例2．如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移一時間圖像，下列有關該圖像的說法正確的是（ ）． A．該圖像的坐標原點建立在彈簧振子小球的平衡位置 B．從圖像可以看出小球在振動過程中是沿軸方向移動的 C．為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直軸方向勻速運動 D．圖像中小球的疏密顯示出相同時間內小球位置變化快慢不同 【答案】A、C、D 【解析】由圖可直觀地獲得以下信息：①時刻振子的位置．②振子的振動方向．③底片的運動方向（軸負方向）．④振動速度的變化等．由圖像可見，時刻振子位移為，故位于平衡位置，A項正確；小球只在軸上振動，橫軸雖是由底片勻速運動得到的位移，但，已轉化成了時間軸，B項錯誤，C項正確；圖像中兩相鄰小球之間的時間間隔相同，疏處說明其位置變化快，密處說明其位置變化慢，故D項正確． 類型三、根據質點振動判斷振動圖像 例3．一彈簧振子沿軸振動，振幅為，振子的平衡位置位于軸上的點．如圖甲中的為四個不同的振動狀態(tài)：黑點表示振子的位置，黑點上的箭頭表示運動的方向．如圖乙給出的①②③④四條振動曲線，可用于表示振子的振動圖像的是（ ）． A．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為① B．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為② C．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為③ D．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為④ 【思路點撥】把振動圖像和振動的情景結合起來，由圖像獲取信息形成物理情景，或由實際運動情景轉化為振動圖像．并注意規(guī)定正方向和零時刻不同。 【答案】A、D 【解析】振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的正方向運動，故選項A正確．振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的負方向運動。相應的圖中初始位移不對．振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的負方向運動，相應的圖中運動方向及初始位移均不對．振子在狀態(tài)時，此時的位移為，速度為零，故選項D正確． 【總結升華】解決振動問題技巧之一是把振動圖像和振動的情景結合起來，由圖像獲取信息形成物理情景，或由實際運動情景轉化為振動圖像．并注意規(guī)定正方向和零時刻不同。振動圖像的形狀一般不同． 舉一反三: 【變式1】一個彈簧振子在間做簡諧運動，為平衡位置，如圖甲所示，從某時刻起開始計時，經過周期，振子具有正向最大速度，則如圖乙所示的圖象中，哪一個能正確反映振子的振動情況？ 【答案】C 【變式2】（1）做簡諧振動的物體，振動周期為，從振子經過平衡位置時開始計時，那么當時，物體（ ）． 　　A．正在做加速運動，且加速度逐漸增大 　　B．正在做加速運動，且加速度逐漸減小 　　C．正在做減速運動，且加速度逐漸增大 　　D．正在做減速運動，且加速度逐漸減小 　　　　　　　　 　?。?）如上圖是豎直放置的彈簧振子不計空氣阻力時的振動情況。由圖可知：彈簧振子相對平衡位置的位移和時間的函數關系為_______________；若從如圖位置開始計時，則位移和時間的函數關系為_______________，請在原圖上畫出該圖象。 【答案】（1）C　 （2）， 【解析】（1）秒等于個周期，從振子經過平衡位置時開始計時，向上還是向下振動，沒有說，可以分別設開始時向上、向下振動，都在遠離平衡位置，即做減速運動，加速度逐漸增大。 　?。?）分析右圖，由振幅、周期，算出角速度，初相位為，從而寫出振動方程。 　　由左圖可知，從振子經過平衡位置向上時開始計時，振幅、周期與右圖均相同，初相位為零，從而寫出振動方程。 類型四、簡諧運動的位移、振幅、路程的關系及簡諧振動周期性的多解問題 例4．一個質點做簡諧運動，振幅是，頻率為，該質點從平衡位置起向正方向運動，經，質點的位移和路程分別是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由 得 ， ． 每個周期質點通過的路程為 ， 故質點的總路程 ， 質點時刻從平衡位置向正向位移運動，經過周期運動到正向最大位移處，即位移 ， 故D項正確． 【總結升華】求路程時，首先應明確振動過程經過幾個整數周期，最后再分析最后不到一個周期的時間內的路程，兩部分之和即為總的路程，振子在周期內的路程可能等于一個振幅，也可能大于一個振幅，還可能小于一個振幅，只有從平衡位置或最大位移處開始運動，周期內的路程才等于一個振幅． 例5．一質點在平衡位置附近做簡諧運動，從它經過平衡位置起開始計時，經質點第一次通過點，再經第二次通過點，則質點振動周期是多少？ 【思路點撥】由于振動的往復性，質點經過某一位置時，因速度方向不一致會導致多解． 【答案】　?。? 【解析】將物理過程模型化，畫出具體化的圖景，如圖甲所示，設質點從平衡位置向右運動到點，那么質點從到運動時間為。再由經最右端返回,經歷時間，如圖乙所示．另一種可能就是點在點左方。如圖丙所示，質點由經右端最大位移處向左經過點到達歷時，再由向左經左端最大位移處返回點歷時，根據以上分析，質點振動周期共存在兩種可能性．一種可能如圖乙所示，可以看出歷時0.18秒．根據對稱性可得到周期性： ． 另一種可能如圖丙所示，由歷時．由歷時，則 ， 所以質點的振動周期的可能值為和． 【總結升華】由于簡諧運動的周期性，結合初始條件的不確定性。往往引起此類問題的多解，解決此類問題時要對題目分析透徹、弄清各種．可能性，切勿丟解． 類型五、由簡諧振動的表達式求物理量 例6．物體做簡諧運動的振動位移，物體做簡諧運動的振動位移，比較的運動（ ）． A．振幅是矢量，的振幅是，的振幅是 B．周期是標量，的周期都是 C．振動的頻率等于振動的頻率 D．的相位始終超前的相位 【答案】C、D 【解析】振幅是標量，的振動范圍分別是。但振幅分別為，A項錯誤；的振動周期，B項錯誤；因，故，C項正確；為定值，D項正確． 類型六、由圖像比較速度、加速度大小和方向問題 例7．如圖為某一質點的振動圖像，由圖可知，在和兩時刻，質點速度與加速度的關系正確的是（ ）． A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相同 D．，方向相反 【思路點撥】圖像不是振動物體的運動軌跡． 【答案】A、D 【解析】在時刻，質點向平衡位置運動，在時刻，質點向遠離平衡位置運動，故速度與方向相同，由于，所以，A對；在和時刻，質點離開平衡位置的位移方向相反。因而回復力方向相反，加速度方向相反，但，時刻的回復力大于時刻的回復力，故，D對． 【總結升華】處理振動圖像問題一定要把圖像還原成質點的實際振動過程來分析。圖像不是振動物體的運動軌跡． 例8．有一個在光滑水平面內的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大距離，即振幅，故振幅之比為．而對同一振動系統(tǒng)。其周期與振幅無關，故周期之比為． 【總結升華】振動周期由振動系統(tǒng)自身的性質決定，與振幅無關． 類型七、由圖像獲得物理量信息的問題 例9如圖所示，是一個質點的振動圖像，根據圖像回答下列問題： （1）振動的振幅； （2）振動的頻率； （3）在時質點的振動方向； （4）質點速度首次具有負方向最大值的時刻和位置； （5）質點運動的加速度首次具有負方向最大值的時刻和位置； （6）在至這段時間內質點的運動情況． 【答案】見解析 【解析】（1）振幅為最大位移的絕對值，從圖像可知振幅． （2）從圖像可知周期，則振動的頻率： 　　。 （3）由各時刻的位移變化過程可判斷： 時，質點的振動方向向上； 時，質點的振動方向向下． （4）質點在通過平衡位置時，首次具有負方向的速度最大值． （5）質點在時處于正向最大位移處時，首次加速度具有負方向的最大值． （6）在至這段時間內，從圖像上可以看出，質點沿負方向的位移不斷減小，說明質點正沿著正方向由負向最大位移處向著平衡位置運動，所以質點做加速運動． 【總結升華】判斷質點速度和位移要結合質點振動的物理情境． 類型八、振子對稱性及周期性的應用 例10．一彈簧振子做簡諧運動，周期為（ ）． A．若時刻和（）時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則一定等于的整數倍 B．若時刻和（）時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則一定等于的整數倍 C．若，則在時刻和（）時刻彈簧的長度一定相等 D．若，則在時刻和（）時刻振子運動的加速度一定相等 【思路點撥】位移和速度均大小相等、方向相反的兩個時刻之間的時間為半個周期的奇數倍．位移和速度均相同的兩個時刻之間的時間為周期的整數倍． 【答案】D 【解析】若或（），則在和（）兩時刻振子必在關于平衡位置對稱的兩位置（包括平衡位置），這兩時刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在這兩時刻彈簧的長度并不一定相等 [只有當振子在和（）兩時刻均在平衡位置時，彈簧長度才相等]．反過來，若在和（）兩時刻振子的位移、加速度和速度均大小相等、方向相反，則一定等于的奇數倍，即（）．如果僅僅是振子的速度在和（）兩時刻大小相等、方向相反，那么不能得出，更不能得出（）．根據以上分析，A、C選項均錯． 若在和（）兩時刻，振予的位移、加速度、速度等均相同，則（），但僅僅根據兩時刻振子的位移相同，不能得出，所以B選項錯．若，在和（）兩時刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，D選項正確． 【總結升華】不能僅根據兩時刻位移或速度是否大小相等、方向相反來判斷這一段時間是不是半個周期的奇數倍，必須是位移和速度均大小相等、方向相反的兩個時刻之間的時間才為半個周期的奇數倍．同樣，也不能僅根據兩時刻位移或速度是否相同來判斷這一段時間是不是周期的整數倍，必須是位移和速度均相同的兩個時刻之間的時間才為周期的整數倍．