《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練七 2.2.2 三角恒等變換與解三角形.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練七 2.2.2 三角恒等變換與解三角形.doc（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
專題能力提升練 七 三角恒等變換與解三角形
(45分鐘 80分)
一、選擇題(每小題5分,共30分)
1.3cos 15-4sin215cos 15= ( )
A.12 B.22 C.1 D.2
【解析】選D.3cos 15-4sin215cos 15
=3cos 15-2sin 152sin 15cos 15
=3cos 15-2sin 15sin 30
=3cos 15-sin 15=2cos(15+30)=2.
2.(2018永州二模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若csinB+bsinC =2a,則△ABC是 ( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形
C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形
【解析】選C.因?yàn)閏sinB+bsinC=2a,所以由正弦定理可得,sinCsinB+sinBsinC=2sin A≥2sinCsinBsinBsinC=2,
所以sin A=1,當(dāng)sinCsinB=sinBsinC時(shí),“=”成立,
所以A=π2,b=c,
所以△ABC是等腰直角三角形.
3.(2018全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,則AB= ( )
A.42 B.30 C.29 D.25
【解析】選A.cos C=2cos2C2-1=2552-1=-35,
在△ABC中,
由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CACBcos C,
得AB2=25+1-215-35=32,
所以AB=42.
4.若向量a=tan67.5,1cos157.5,向量b=(1,sin 22.5),則ab=( )
A.2 B.-2 C.2 D.-2
【解析】選A.由題得ab=tan 67.5+sin22.5cos157.5
=tan 67.5+sin22.5-cos22.5
=tan 67.5-tan 22.5
=tan 67.5-1tan67.5
=tan267.5-1tan67.5
=2tan267.5-12tan67.5=2-1tan135
=2.
【加固訓(xùn)練】
(2018會(huì)寧一中一模)已知x為銳角,a-cosxsinx=3,則a的取值范圍為 ( )
A.[-2,2] B.(1,3)
C.(1,2] D.(1,2)
【解析】選C.由a-cosxsinx=3,可得:
a=3sin x+cos x=2sinx+π6,
又x∈0,π2,所以x+π6∈π6,2π3,
所以a的取值范圍為(1,2].
5.在銳角△ABC中,A=2B,則ABAC的取值范圍是 ( )
A.(-1,3) B.(1,3) C.(2,3) D.(1,2)
【解析】選D.ABAC=sinCsinB=sin(π-3B)sinB
=sin3BsinB=3-4sin2B.
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,
所以0
1)米,
AC=t(t>0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5=(t-0.5)米,
在△ABC中,由余弦定理得:
AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即
(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡(jiǎn)并整理得:
t=x2-0.25x-1(x>1),即t=x-1+0.75x-1+2,
因?yàn)閤>1,故t=x-1+0.75x-1+2≥2+3,當(dāng)且僅當(dāng)x=1+32時(shí)取等號(hào),此時(shí)取最小值2+3.
答案:2+3
三、解答題(每小題10分,共40分)
9.(2018全國(guó)卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90,∠A=45,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB.
(2)若DC=22,求BC.
【解析】(1)在△ABD中,
由正弦定理得BDsinA=ABsin∠ADB.
由題設(shè)知,5sin45=2sin∠ADB,
所以sin∠ADB=25.
由題意知,∠ADB<90,所以cos∠ADB=1-225=235.
(2)由題意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcos∠BDC=25+8-252225=25.
所以BC=5.
10.如圖,在△ABC中,AB=2,cos B=13,點(diǎn)D在線段BC上.
(1)若∠ADC=3π4,求AD的長(zhǎng).
(2)若BD=2DC,△ACD的面積為423,求sin∠BADsin∠CAD的值.
【解題指南】(1)首先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的長(zhǎng).(2)首先利用三角形面積間的關(guān)系求得S△ABC,然后利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得sin∠BADsin∠CAD的值.
【解析】(1)在三角形中,因?yàn)閏os B=13,
所以sin B=223,
在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB,
又AB=2,∠ADB=π4,sin B=223.
所以AD=83.
(2)因?yàn)锽D=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,
又S△ADC=432,所以S△ABC=42,
因?yàn)镾△ABC=12ABBCsin∠ABC,所以BC=6,
因?yàn)镾△ABD=12ABADsin∠BAD,
S△ADC=12ACADsin∠CAD,
S△ABD=2S△ADC,所以sin∠BADsin∠CAD=2ACAB,
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2ABBCcos∠ABC.
所以AC=42,所以sin∠BADsin∠CAD=2ACAB=42.
11.已知函數(shù)f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0,π2上的最大值和最小值.
(2)若f(x0)=65,x0∈π4,π2,求cos 2x0的值.
【解析】(1)f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1
=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+π6,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
因?yàn)閤∈0,π2,
所以2x+π6∈π6,7π6,
sin2x+π6∈-12,1,
所以函數(shù)f(x)=2sin2x+π6在區(qū)間0,π2上的最大值為2,最小值為-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin2x0+π6,
又因?yàn)閒(x0)=65,所以sin2x0+π6=35,
由x0∈π4,π2,得2x0+π6∈2π3,7π6,
從而cos2x0+π6=-1-sin22x0+π6=-45,
所以cos 2x0=cos2x0+π6-π6
=cos2x0+π6cos π6+sin2x0+π6sin π6=3-4310
12.在△ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AB=AD=7,cos∠BAD=17.
(1)求sin B.
(2)若AC=4,求△ADC的面積.
【解題指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果.(2)利用(1)的結(jié)論和余弦定理求出三角形的面積.
【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠BAD=7+7-27717=12,
得BD=23.
由cos∠BAD=17,得sin∠BAD=437,
在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=BDsin∠BAD,
所以sin B=723437=277.
(2)因?yàn)閟in B=277,B是銳角,所以cos B=217,
設(shè)BC=x,在△ABC中,
AB2+BC2-2ABBCcos B=AC2,
即7+x2-2x7217=16,
化簡(jiǎn)得:x2-23x-9=0,
解得x=33或x=-3(舍去),
則CD=BC-BD=33-23=3,
由∠ADC和∠ADB互補(bǔ),
得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=277,
所以△ADC的面積
S=12ADDCsin∠ADC=1273277=3.
【加固訓(xùn)練】
(2018肇慶二模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為acsin 2B.
(1)求sin B的值.
(2)若c=5,3sin2C=5sin2Bsin2A,且BC的中點(diǎn)為D,求△ABD的周長(zhǎng).
【解析】(1)由S△ABC=12acsin B=acsin 2B,
得12sin B=2sin Bcos B,
因?yàn)?0,故cos B=14,
又sin2B+cos2B=1,所以sin B=154.
(2)由(1)和3sin2C=5sin2Bsin2A得16sin2C=25sin2A,
由正弦定理得16c2=25a2,
因?yàn)閏=5,所以a=4,BD=12a=2,
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2cBDcos B=52+22-25214=24,
所以AD=26.
所以△ABD的周長(zhǎng)為c+BD+AD=7+26.
(建議用時(shí):50分鐘)
1.(2018石家莊一模)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在《數(shù)書九章》中就獨(dú)立創(chuàng)造了已知三角形三邊求其面積的公式:“以小斜冪并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減之,以四約之,為實(shí),一為從隅,開方得積.”(即:S=14c2a2-c2+a2-b222,c>b>a),并舉例“問(wèn)沙田一段,有三斜(邊),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知為田幾何?”則該三角形田面積為 ( )
A.82平方里 B.83平方里
C.84平方里 D.85平方里
【解析】選C.由題意可得:a=13,b=14,c=15代入:
S=14c2a2-c2+a2-b222
=14152132-152+132-14222=84,
則該三角形田面積為84平方里.
2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2sinA2-π6=1,且a=2,則△ABC的面積的最大值為 ( )
A.3 B.33 C.32 D.23
【解析】選B.sinA2-π6=12,A2-π6=π6,A=2π3,由于a=2為定值,
由余弦定理得4=b2+c2-2bccos 2π3,即4=b2+c2+bc.根據(jù)基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤43,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立.
S△=12bcsin A≤124332=33.
3.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,則邊b=________.
【解析】 由sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,
得sin Acos B+cos Asin B=csin B,
所以sin C=csin B,即sinCc=sin B,
由正弦定理sinBb=sinCc,故b=csinBsinC=1.
答案:1
4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,若3a2=2b2+c2,則Sb2+2c2的最大值為________.
【解析】因?yàn)?a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,
所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,
所以Sb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tan A.
由題得a2=2b2+c23,所以 cos A=b2+c2-a22bc
=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc≥22bc6bc=23,
所以tan A=1cos2A-1≤92-1=142,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)取等號(hào).
所以Sb2+2c2的最大值為1424.
答案:1424
【加固訓(xùn)練】
(2018衡水中學(xué)模擬)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,(b2+c2-3)tan A=3bc,2cos2A+B2=(2-1)cos C,則△ABC的面積等于________.
【解析】條件(b2+c2-3)tan A=3bc
即為(b2+c2-a2)tan A=3bc,
由余弦定理得2bccos Atan A=3bc,
所以得sin A=32,
又A為銳角,所以A=π3.
又2cos2A+B2=1+cos(A+B)
=1-cos C=(2-1)cos C,
所以cos C=22,得C=π4,故B=5π12.
在△ABC中,由正弦定理得asinA=csinC,
所以c=asinCsinA=32232=2.
故△ABC的面積
S=12acsin B=1232sin 5π12=3+34.
答案:3+34
5.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(b-c)2=a2-32bc.
(1)求sin A.
(2)若a=2,且sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,求△ABC的面積.
【解析】(1)由(b-c)2=a2-32bc,
得b2+c2-a2=12bc,
即b2+c2-a22bc=14,由余弦定理得cos A=14,
因?yàn)?
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