2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題4.4 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案 理.doc
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第四節(jié) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì) 最新考綱 1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響. 2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題． 知識梳理 1. y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ≥0)， 表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象主要有以下兩種方法: (1)用“五點(diǎn)法”作圖:用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的簡圖,主要是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π來求出相應(yīng)的x,通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)的縱坐標(biāo),描點(diǎn)、連線后得出圖象, 如下表所示． x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)用“圖象變換法”作圖:由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. ①先平移后伸縮: y=sin x的圖--------------→ y=sin(x+φ)的圖象 (相位變換) --------------→ y=sin(ωx+φ)的圖象 (周期變換) --------------→ y=Asin(ωx+φ)的圖象. ( 振幅變換) ②先伸縮后平移: y=sin x的圖象-------------→ y=sinωx的圖象 -------------→ y=sin(ωx+φ)的圖象 --------------→ y=Asin(ωx+φ)的圖象. 【方法技巧】 兩種變換的差異 先平移變換后伸縮變換，平移的量是|φ|個單位，而先伸縮變換再平移變換，平移的量是(ω＞0)個單位，原因是平移變換與伸縮變換都是對x而言的． 3．必清誤區(qū) (1)把函數(shù)y＝Asin ωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位，得到的圖象解析式為y＝Asin ω(x－φ)，而不是y＝Asin(ωx－φ)． (2)把函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍，得到的圖象解析式為y＝Asin，而不是y＝Asin(ωkx＋kφ)． 典型例題 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的圖象變換 【例1】 已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. （1）畫出函數(shù)f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖； （2）將函數(shù)y＝sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？ 【解析】（1）列表取值： x π π π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖． （2）先把y＝sin x的圖像向右平移個單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到f(x)的圖像． 【例2】 已知a＝(2cosx，cos2x)，b＝(sinx，－)，f(x)＝ab. (1) 求f(x)的振幅、周期，并畫出它在一個周期內(nèi)的圖象； (2) 說明它可以由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到． 【解析】(1) f(x)＝ab＝sin2x－cos2x＝2sin，周期T＝π，振幅A＝2.列表從略，圖象如下： (2) f(x)可以由y＝sinx的圖象上各點(diǎn)右移個單位后，再將縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)縮短到原來的而得到． 規(guī)律方法 (1)變換法作圖像的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用ωx＋φ＝ω確定平移單位． (2)用“五點(diǎn)法”作圖，關(guān)鍵是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，描點(diǎn)得出圖像．如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖像，還應(yīng)注意端點(diǎn)的確定． （3）“五點(diǎn)法”作圖的列表技巧：表中“五點(diǎn)”相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為. 【變式訓(xùn)練1】(1)將函數(shù)y＝2sin的圖像向右平移個周期后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為( ) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 【答案】D. 【解析】函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖像向右平移周期即個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D． (2)將函數(shù)y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是( ) A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝ 【答案】 D 【解析】 y＝cosy＝cosy＝cos[－]，即y＝cos. (3)要得到函數(shù)f(x)＝cos的圖像，只需將函數(shù)g(x)＝sin的圖像( ) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 【答案】C. 【解析】f(x)＝cos＝sin，故把g(x)＝sin的圖像向左平移個單位，即得函數(shù)f(x)＝sin的圖像，即得到函數(shù)f(x)＝cos的圖像，故選C． 考點(diǎn)二 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例3 】 (1)(2016全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則( ) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 【答案】 A. (2)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖像的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為( ) A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 【答案】D. 【解析】由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值為4，最小值為0，可知b＝2，A＝2.由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，得ω＝4.由直線x＝是其圖像的一條對稱軸，可知4＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2. 規(guī)律方法 確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法 (1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝； (2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有： ①代入法：把圖像上的一個已知點(diǎn)代入(此時A，ω，b已知)或代入圖像與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)． ②五點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個點(diǎn)為突破口．“第一點(diǎn)”(即圖像上升時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”時ωx＋φ＝2π. 【變式訓(xùn)練2】（1）函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 【答案】 D 【解析】 由圖象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，m∈Z，所以函數(shù)f(x)＝cos＝cos的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，即2k－下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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