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專題31 數(shù)形結合之----簡單線性規(guī)劃 【熱點聚焦與擴展】 從考綱和考題中看，該部分內(nèi)容難度不大，重點考查目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值問題，或在目標函數(shù)的最值已知的條件下確定參數(shù)的值，命題形式以選擇、填空為主，但也有解答題以應用題的形式出現(xiàn)．本專題重點說明利用數(shù)形結合法解答此類問題. （一）簡單線性規(guī)劃問題 1、相關術語： （1）線性約束條件：關于變量的一次不等式（或方程）組 （2）可行解：滿足線性約束條件的解 （3）可行域：所有可行解組成的集合 （4）目標函數(shù)：關于的函數(shù)解析式 （5）最優(yōu)解：是目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐標系中作出可行域： （1）先作出圍成可行域的直線，利用“兩點唯一確定一條直線”可選取直線上的兩個特殊點（比如坐標軸上的點），以便快速做出直線 （2）如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側：一條曲線（或直線）將平面分成若干區(qū)域，則在同一區(qū)域的點，所滿足不等式的不等號方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊點判斷其是否符合不等式，如果符合，則該特殊點所在區(qū)域均符合該不等式，具體來說有以下三種情況： ① 豎直線或水平線：可通過點的橫（縱）坐標直接進行判斷 ② 一般直線：可代入點進行判斷，若符合不等式，則原點所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域.例如：不等式，代入符合不等式，則所表示區(qū)域為直線的右下方 ③ 過原點的直線：無法代入，可代入坐標軸上的特殊點予以解決，或者利用象限進行判斷.例如：：直線穿過一、三象限，二、四象限分居直線兩側.考慮第四象限的點，所以必有，所以第四象限所在區(qū)域含在表示的區(qū)域之中. （3）在作可行域時要注意邊界是否能夠取到：對于約束條件（或）邊界不能取值時，在圖像中邊界用虛線表示；對于約束條件（或）邊界能取值時，在圖像中邊界用實線表示 3、利用數(shù)形結合尋求最優(yōu)解的一般步驟 （1）根據(jù)約束條件，在平面直角坐標系中作出可行域所代表的區(qū)域 （2）確定目標函數(shù)在式子中的幾何意義，常見的幾何意義有：（設為常數(shù)） ① 線性表達式——與縱截距相關：例如，則有，從而的取值與動直線的縱截距相關，要注意的符號，若，則的最大值與縱截距最大值相關；若，則的最大值與縱截距最小值相關. ② 分式——與斜率相關（分式）：例如：可理解為是可行域中的點與定點連線的斜率. ③ 含平方和——與距離相關：例如：可理解為是可行域中的點與定點距離的平方. （3）根據(jù)的意義尋找最優(yōu)解，以及的范圍（或最值） 4、線性目標函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當目標函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率符號相同時，目標函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會影響最優(yōu)解的選取. （1）在斜率符號相同的情況下：越大，則直線越“陡” （2）在作圖和平移直線的過程中，圖像不必過于精確，但斜率符號相同的直線之間，陡峭程度要與斜率絕對值大小關系一致，這樣才能保證最優(yōu)解選取的準確 （3）當目標函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時，有可能達到最值的最優(yōu)解有無數(shù)多個（位于可行域的邊界上） （4）當目標函數(shù)的斜率含參時，涉及到最優(yōu)解選取的分類討論，討論通常以約束條件中同符號的斜率作為分界點. （二）非常規(guī)線性規(guī)劃問題解答策略 第一依然要借助可行域及其圖形；第二，要確定參數(shù)的作用，讓含參數(shù)的圖形運動起來尋找規(guī)律；第三，要能將圖形中的特點與關系翻譯成代數(shù)的語言，并進行精確計算. 【經(jīng)典例題】 例1. 【2017課標II，理5】設，滿足約束條件，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 例2. 【2017課標3，理13】若，滿足約束條件，則的最小值為__________. 【答案】 【解析】 【名師點睛】求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大. 例3. 【2018年5月2018屆高三第三次全國大聯(lián)考】已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知表示可行域內(nèi)的點到點的距離的平方，所以．故選A． 例4.【2018年5月2018屆高三第三次全國大聯(lián)考】已知實數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 例5.【2018屆寧夏銀川市第二中學二模】設不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1，平面區(qū)域Ω2與Ω1關于直線3x－4y－9＝0對稱．對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B，|AB|的最小值等于(　　) A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域Ω1，根據(jù)對稱的性質(zhì)，不難得到：當A點距對稱軸的距離最近時，|AB|有最小值． 詳解： 故選B. 點睛：本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有：①直線型，轉化成斜截式比較截距，要注意前面的系數(shù)為負時，截距越大，值越??；②分式型，其幾何意義是已知點與未知點的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結果應該是距離的平方；④絕對值型，轉化后其幾何意義是點到直線的距離. 例6.【2018屆云南省曲靖市第一中學4月監(jiān)測（七）】若不等式，表示的平面區(qū)域為三角形且其面積等于，則的最小值為（ ） A. -2 B. C. -3 D. 1 【答案】A 【解析】分析：先做出不等式組對應的平面區(qū)域，求出三角形的各頂點坐標，利用三角形的面積公式確定值，再利用平移目標函數(shù)直線確定最優(yōu)解． 詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域（如圖所示）， 由圖象，得當直線過點時， 取得最小值為.故選A． 例7．【2018屆湖南師范大學附屬中學高三月考六】已知滿足約束條件若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為( ) A. 或-1 B. 2或 C. -2或1 D. 2或-1 【答案】C 【解析】分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，得到直線的斜率的變換，從而求出的值. 詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示， 則直線與直線平行，此時； 綜上或，故選C. 例8.【2018屆百校聯(lián)盟TOP20四月聯(lián)考】已知，若存在點，使得，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：作出不等式組表示的可行域，利用圖象的直觀性建立的不等式組，即可求出的取值范圍. 詳解：作出不等式組表示的可行域，如圖， 要使可行域存在，必有，若可行域存在點，使得， 則可行域內(nèi)含有直線上的點，只需邊界點在直線上方， 且在直線下方，解不等式，解得 故選：C 例9.【2018屆山西省孝義市一模】已知不等式組表示的平面區(qū)域為，若函數(shù)的圖象上存在區(qū)域上的點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 由可解得，即B（2，﹣1）此時有﹣1=|2﹣1|+m，解得m=﹣2； 由可解得，即B（1，1）此時有1=|1﹣1|+m，解得m=1； 故實數(shù)m的取值范圍為[﹣2，1]， 故答案為[﹣2，1]． 故選C. 例10.【2018屆北京市海淀區(qū)二?！績蓚€居民小區(qū)的居委會欲組織本小區(qū)的中學生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻愛心活動.兩個校區(qū)每位同學的往返車費及服務老人的人數(shù)如下表： 小區(qū) 小區(qū) 往返車費 3元 5元 服務老人的人數(shù) 5人 3人 根據(jù)安排，去敬老院的往返總車費不能超過37元，且小區(qū)參加獻愛心活動的同學比小區(qū)的同學至少多1人，則接受服務的老人最多有____人. 【答案】 【解析】分析：設兩區(qū)參加活動同學的人數(shù)分別為，受到服務的老人人數(shù)為， 找出約束條件與目標函數(shù)，準確地描畫可行域,平移直線可求得滿足題設的最優(yōu)解. 詳解： 當時，取得最大值為， 即接受服務的老人最多有人，故答案為. 【精選精練】 1.【2018屆遼寧省丹東市模擬二】若點滿足不等式組，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：將不等式組的可行域表示在平面直角坐標系中，進而利用，即，轉化為區(qū)域內(nèi)的點和定點連線的斜率即可. 詳解： 故選A. 2.【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學三?！吭O點滿足約束條件,且,則這樣的點共有( ）個 A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】分析：由約束條件畫出可行域，根據(jù)可行域，利用,可逐一寫出滿足條件的點，從而可得結果. 詳解： 畫出表示的可行域，由圖可知，滿足，得， 共有，， 共個，故選A. 3.【2018屆陜西省咸陽市三模】已知實數(shù)，滿足給，中間插入5個數(shù)，這7個數(shù)構成以為首項，為末項的等差數(shù)列，則這7個數(shù)和的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：實數(shù)x，y滿足，如圖所示，畫出可行域△ABC．給x，y中間插入5個數(shù)，這7個數(shù)構成以x為首項，y為末項的等差數(shù)列，則這7個數(shù)和=，令x+y=t，則y=﹣x+t．利用線性規(guī)劃 因此這7個數(shù)和=的最大值為， 故答案為：D 4．【2018屆相陽教育“黌門云”高考模擬】已知,滿足約束條件，若的最小值為1，則=（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標函數(shù)在點處取得最小值,即.故選C. 5．【2018屆第三次全國大聯(lián)考】已知不等式組表示的平面區(qū)域為，若以原點為圓心的圓與無公共點，則圓的半徑的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示， 可知當圓的半徑小于原點到直線的距離或大于時，圓與無公共點，而原點到直線的距離為，，故圓的半徑的取值范圍為. 6．【2018屆浙江省寧波市5月模擬】已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C |x﹣y|的幾何意義：表示區(qū)域內(nèi)的點到直線x﹣y=0的距離的倍， 由圖可知點A(4,0)到直線x-y=0距離最大，所以|x﹣y|的最大值為 故答案為：C． 點睛：本題解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)|x-y|的幾何意義，|x-y|它表示區(qū)域內(nèi)的點到直線x﹣y=0的距離的倍，利用數(shù)形結合分析解答，可以提高解題效率.所以在今后的解題過程中，看到|ax+by|要聯(lián)想到點到直線的距離公式. 7．【2018屆廣東省佛山市檢測二】已知，設滿足約束條件，且的最小值為-4，則 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 故選C. 8.【2018屆安徽省“皖南八?！钡谌危?月）聯(lián)考】已知函數(shù)，若滿足，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由已知條件可得，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，從而將題中的條件轉化為關于的二元一次不等式組，畫出相應的可行域，之后結合目標函數(shù)的幾何意義，確定最優(yōu)解的位置，從而求得范圍. 最小值，在點處取得最大值，而邊界值取不到，故答案是，故選C. 9.【2019屆高考全程訓練】某研究所計劃利用“神舟十一號”飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗，計劃搭載新產(chǎn)品，要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品質(zhì)量、搭載實驗費用和預計產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調(diào)查，搭載每件產(chǎn)品有關數(shù)據(jù)如表： 因素 產(chǎn)品 產(chǎn)品 備注 研制成本、搭載費用之和/萬元 20 30 計劃最大投資 金額300萬元產(chǎn)品質(zhì)量/千克 10 5 最大搭載 質(zhì)量110千克預計收益/萬元 80 60 —— 則使總預計收益達到最大時， 兩種產(chǎn)品的搭載件數(shù)分別為(　　) A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4 【答案】A 由解得,故M(9,4)． 所以目標函數(shù)的最大值為zmax＝809＋604＝960，此時搭載產(chǎn)品A有9件，產(chǎn)品B有4件． 故選A. 10.【2018屆第二次全國大聯(lián)考】若滿足不等式組，則目標函數(shù)的取值范圍是_____． 【答案】 【解析】 ， 令，并作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示， 11．【2018屆遼寧省丹東市測試二】設實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為_______． 【答案】 【解析】分析：畫出不等式組表示的可行域，將變形為，然后平移直線確定取最小和最大值時的最優(yōu)解，進而可得所求范圍． 詳解：畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）． 12．【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學等盟校第二次聯(lián)考】若實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】分析：畫出可行域，設,化為，平移直線，由可行域可得的取值范圍，從而可得的取值范圍. 詳解： 設,化為， 畫出，表示的可行域，平移直線，如圖， 故答案為.