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專題5.3 雙星問題 一．選擇題 1.（2018高考全國I）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈，將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星 A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和 C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度 【參考答案】BC 2．(2018南昌一模)火星被認為是太陽系中最有可能存在地外生命的行星，對人類來說充滿著神秘。為了更進一步探究火星，發(fā)射一顆火星的同步衛(wèi)星，已知火星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的p倍，火星自轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，均為T，地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R，則火星的同步衛(wèi)星與火星中心的距離為(　　) A. B. C. D. 【參考答案】C 3.(2016湖北黃岡高三月考)兩個靠近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點O為圓心做勻速圓周運動，其質(zhì)量分別為m1、m2，如圖所示，以下說法正確的是(　　) A．線速度與質(zhì)量成反比 B．線速度與質(zhì)量成正比 C．向心力與質(zhì)量的乘積成反比 D．軌道半徑與質(zhì)量成正比 【參考答案】A　 【名師解析】設(shè)兩星之間的距離為L，軌道半徑分別為r1、r2，根據(jù)萬有引力提供向心力得，G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，則m1r1＝m2r2，即軌道半徑和質(zhì)量成反比，D錯誤；根據(jù)v＝ωr可知，線速度與軌道半徑成正比，故線速度與質(zhì)量成反比，A正確，B錯誤；由萬有引力公式可知，向心力與質(zhì)量的乘積成正比，C錯誤。 4.（2016遼寧丹東模擬）2016年2月11日，美國科學(xué)家宣布探測到引力波的存在，引力波的發(fā)現(xiàn)將為人類探索宇宙提供新視角。在如圖所示的雙星系統(tǒng)中，A、B兩個恒星靠著相互之間的引力正在做勻速圓周運動，已知恒星A的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的29倍，恒星B的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的36倍，兩星之間的距離L=2105m，太陽質(zhì)量M=21030kg，萬有引力常量G=6.6710-11Nm2／kg2。若兩星在環(huán)繞過程中會輻射出引力波，該引力波的頻率與兩星做圓周運動的頻率具有相同的數(shù)量級，則根據(jù)題目所給信息估算該引力波頻率的數(shù)量級是 A．102Hz B．104Hz C．106Hz D．108Hz 【參考答案】A 5 .2015年4月，科學(xué)家通過歐航局天文望遠鏡在一個河外星系中，發(fā)現(xiàn)了一對相互環(huán)繞旋轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)，如圖所示。這也是天文學(xué)家首次在正常星系中發(fā)現(xiàn)超大質(zhì)量雙黑洞。這對驗證宇宙學(xué)與星系演化模型、廣義相對論在極端條件下的適應(yīng)性等都具有十分重要的意義。我國今年底也將發(fā)射全球功能最強的暗物質(zhì)探測衛(wèi)星。若圖中雙黑洞的質(zhì)量分別為M1和M2，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動。根據(jù)所學(xué)知識，下列選項正確的是(　　) A.雙黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B.雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2＝M2∶M1 C.雙黑洞的線速度之比v1∶v2＝M1∶M2 D.雙黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2 【參考答案】B 【名師解析】雙黑洞繞連線上的某點做圓周運動的周期相等，角速度也相等，選項A錯誤；雙黑洞做圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，向心力大小相等，設(shè)雙黑洞間的距離為L，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2＝M2∶M1，選項B正確；由v＝ωr得雙黑洞的線速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，選項C錯誤；由a＝ω2r得雙黑洞的向心加速度之比為a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，選項D錯誤。 6.美國宇航局利用開普勒太空望遠鏡發(fā)現(xiàn)了一個新的雙星系統(tǒng)，命名為“開普勒－47”，該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi)，距離地球大約5 000光年。這一新的系統(tǒng)有一對互相圍繞運行的恒星，運行周期為T，其中一顆大恒星的質(zhì)量為M，另一顆小恒星質(zhì)量只有大恒星質(zhì)量的三分之一。已知引力常量為G，則下列判斷正確的是(　　) A.兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為1∶1 B.兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為1∶2 C.兩顆恒星相距 D.兩顆恒星相距 【參考答案】C 7.冥王星與其附近的另一星體“卡戎”可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為7∶1，兩星體繞它們連線上某點O做勻速圓周運動。由此可知，冥王星繞O點運動的(　　) A.軌道半徑約為卡戎的 B.角速度大小約為卡戎的 C.線速度大小約為卡戎的7倍 D.向心力大小約為卡戎的7倍 【參考答案】A 【名師解析】冥王星、星體“卡戎”依靠彼此間的萬有引力提供向心力而做勻速圓周運動，因此軌道圓心一定始終在兩星體的連線上，所以兩星體具有相同的角速度，B錯誤；兩星體彼此間的萬有引力是作用力與反作用力，故向心力大小相等，因此有m1ω2r1＝m2ω2r2，所以＝＝，A正確，D錯誤；由v＝ωr知＝＝，C錯誤。 8．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T,，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為 A．T B．T C． T D． T 【參考答案】B 8.宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用相互繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)。設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖4所示。若AO>OB，則(　　) A.星球A的質(zhì)量一定大于星球B的質(zhì)量 B.星球A的線速度一定大于星球B的線速度 C.雙星間距離一定，雙星的質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動周期越大 D.雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動周期越大 【參考答案】BD 二．計算題 1. 如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。 （1）求兩星球做圓周運動的周期： （2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.981024kg和7.351022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)） 【名師解析】（1）A和B繞O點做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B所受的向心力相等。且A、B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。 則有：mrω2= MRω2，r+R=L， 聯(lián)立解得R=mL/(M+m)，r=ML/(M+m)。 對星球A，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得G=mr 解得T=2π。 2.神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T. (1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于O點處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點)對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′的表達式(用m1、m2表示); (2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式； (3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7105 m/s，運行周期T=4.7π104 s，質(zhì)量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.6710-11Nm2/kg2，ms=2.01030kg) 【名師解析】 （1）設(shè)A、B圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設(shè)其為ω.由牛頓運動定律，有 FA=m1ω2r1, FB=m2ω2r2, FA=FB 設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r1+r2，由上述各式得 r=r1 ① 比較可得m′=. ② (2)由牛頓第二定律，有G=m1 ③ 又可見星A的軌道半徑r1=vT/2π. ④ 由②③④式解得=. ⑤ (3)將m1=6ms代入⑤式，得: =. 代入數(shù)據(jù)得=6.91030kg=3.45ms⑥ 設(shè)m2=nms(n＞0)，將其代入⑥式，得=ms=3.5ms ⑦ 可見，的值隨n的增大而增大，試令n=2，得 ms=0.125m s＜3.5ms ⑧ 若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m2必大于2ms，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞.。