3、必要條件
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ 則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
3．已知不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1 C．－1 D．3
4．(2011·廈門月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集為(－3,2)，則y＝f(－x)的圖象是( )
5．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成
4、立，則m的取值范圍為________________.
探究點(diǎn)一 一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋2x－>0；
(2)9x2－6x＋1≥0.
變式遷移1 解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3<0；
(2)－3x2－2x＋8≤0；
(3)8x－1≥16x2.
探究點(diǎn)二 含參數(shù)的一元二次不等式的解法
例2 已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2－2x＋a<0.
變式遷移2 解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
5、
探究點(diǎn)三 一元二次不等式恒成立問題
例3 (2011·巢湖月考)已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．
變式遷移3 (1)關(guān)于x的不等式<2對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3對一切0≤p≤4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0
6、的解集．
【答題模板】
解 由已知不等式的解集為(α，β)可得a<0，
∵α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得[4分]
∵a<0，∴由②得c<0，[5分]
則cx2＋bx＋a<0可化為x2＋x＋>0.[6分]
①÷②，得＝＝－<0，由②得＝＝·>0，
∴、為方程x2＋x＋＝0的兩根．[10分]
∵0<α<β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|x<或x>}．[12分]
【突破思維障礙】
由ax2＋bx＋c>0的解集是一個(gè)開區(qū)間，結(jié)合不等式對應(yīng)的函數(shù)圖象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判斷二次項(xiàng)系數(shù)c的正負(fù)，由方程根與系數(shù)關(guān)
7、系知＝α·β>0，因a<0，∴c<0，從而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根對應(yīng)的兩個(gè)集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替參數(shù)c、b、a，需對不等式cx2＋bx＋a<0兩邊同除c或a，用α、β代替后，就不難找到要求不等式對應(yīng)方程的兩根，從而求出不等式的解集．本題較好地體現(xiàn)了三個(gè)“二次”之間的相互轉(zhuǎn)化．
1．三個(gè)“二次”的關(guān)系：二次函數(shù)是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)常將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來
8、解決．一元二次不等式解集的端點(diǎn)值就是相應(yīng)的一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)．
2．解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：解含參數(shù)的一元二次不等式可按如下步驟進(jìn)行：1°二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.2°判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系.3°確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式．
3．不等式恒成立問題：不等式恒成立，即不等式的解集為R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的條件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成
9、立的條件是
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．函數(shù)y＝的定義域是( )
A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1]∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2)
2．(2010·撫順模擬)已知集合P＝{x|>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，則x∈Q是x∈P的( )
A．充分條件但不是必要條件
B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
3．(2011·銀川模擬)已知集合M＝{x|x2－2 008x－2 009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M
10、∩N＝(2 009，2 010]，則( )
A．a(chǎn)＝2 009，b＝－2 010 B．a(chǎn)＝－2 009，b＝2 010
C．a(chǎn)＝2 009，b＝2 010 D．a(chǎn)＝－2 009，b＝－2 010
4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任何實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．m>1 B．m<－1
C．m<－ D．m>1或m<－
5．(創(chuàng)新題)已知a1>a2>a3>0，則使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(
11、每小題4分，共12分)
6．在R上定義運(yùn)算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為________．
7．已知函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)>1的x的取值范圍為______________．
8．(2011·泉州月考)
已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如右圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為__________________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)解關(guān)于x的不等式<0 (a∈R)．
12、
10．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
11．(14分)(2011·煙臺(tái)月考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．
學(xué)案34 一元二次不等式及其解法
自主梳理
1．2 2.－?。 ? ?
自我檢測
1．C 2.A 3.A 4.D
5．(－∞，－5]
解析 記f(x)＝x2＋mx＋4，根據(jù)題意得
解得
13、m≤－5.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 解一元二次不等式的一般步驟
(1)對不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式．
(3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根．
(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．
解 (1)兩邊都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，
因?yàn)?>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是
x1＝1－，x2＝1＋，
所以原不等式的解集是{x|1－
14、＝0，
∴上述方程有兩相等實(shí)根x＝，
結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－6x＋1的圖象知，原不等式的解集為R.
變式遷移1 解 (1)∵不等式2x2＋4x＋3<0可轉(zhuǎn)化為
2(x＋1)2＋1<0，而2(x＋1)2＋1>0，
∴2x2＋4x＋3<0的解集為?.
(2)兩邊都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，
因?yàn)?>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是
x1＝－2，x2＝，
所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[，＋∞)．
(3)原不等式可轉(zhuǎn)化為16x2－8x＋1≤0，
即(4x－1)2≤0，
∴原不等式的解集為{}．
例2 解題導(dǎo)引 (1)含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為
15、常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏．
(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式．
(3)其次對方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集．
解 上述不等式不一定為一元二次不等式，當(dāng)a＝0時(shí)為一元一次不等式，當(dāng)a≠0時(shí)為一元二次不等式，故應(yīng)對a進(jìn)行討論，然后分情況求解．
(1)a＝0時(shí)，解為x>0.
(2)a>0時(shí)，Δ＝4－4a2.
①當(dāng)Δ>0，即0
16、時(shí)，x∈?；
③當(dāng)Δ<0，即a>1時(shí)，x∈?.
(3)當(dāng)a<0時(shí)，
①Δ>0，即－1}．
②Δ＝0，即a＝－1時(shí)，不等式化為(x＋1)2>0，
∴解為x∈R且x≠－1.
③Δ<0，即a<－1時(shí)，x∈R.
綜上所述，當(dāng)a≥1時(shí)，原不等式的解集為?；
當(dāng)00}；
當(dāng)－1}；
當(dāng)a＝－1時(shí)，解集為{x|x∈R且x≠－1}；
當(dāng)a<－1時(shí)，解集為{x|x∈R}．
變式遷移2 解 ①當(dāng)a＝0時(shí)，解得x>1.
②當(dāng)a>0時(shí)，原不
17、等式變形為(x－)(x－1)<0，
∴a>1時(shí)，解得0，
∵<1，∴解不等式可得x<或x>1.
綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，不等式解集為(－∞，)∪(1，＋∞)；
當(dāng)a＝0時(shí)，不等式解集為(1，＋∞)；
當(dāng)01時(shí)，不等式解集為(，1)．
例3 解題導(dǎo)引 注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題．
解 方法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)
18、圖象的對稱軸為x＝a.
①當(dāng)a∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1.
方法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
變式遷移3 解 (1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
19、
∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0.
要使原不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立．
∴Δ<0，即64－8(6－m)<0，
整理并解得m<－2.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2)．
(2)∵x2＋px>4x＋p－3，
∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
則要使它對0≤p≤4均有g(shù)(p)>0，
只要有.
∴x>3或x<－1.
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
課后練習(xí)區(qū)
1．A [由已知有(x2－1)≥0，
∴ ∴
∴－≤x<－
20、1或11}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之間不存在包含關(guān)系，
所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要條件．]
3．D [化簡得M＝{x|x<－1或x>2 009}，
由M∪N＝R，M∩N＝(2 009,2 010]可知N＝{x|－1≤x≤2 010}，即－1,2 010是方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)根．
所以b＝－1×2 010＝－2 010，－a＝－1＋2 010，即a＝－2 009.]
4．C [當(dāng)m＝－1時(shí)，不等式變?yōu)?x－6<0，即x<3，不符合題意．
當(dāng)m≠－1時(shí)，由題意知
化簡，得
解得m<－.]
5
21、．B [(1－aix)2<1，即ax2－2aix<0，
即aix(aix－2)<0，由于ai>0，這個(gè)不等式可以化為
x<0，即00.
因上式對x∈R都成立，
所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0，
即4a2－4a－3<0.所以－0時(shí)，由log2x>1，得x>2；
當(dāng)x≤0時(shí)，由x2>1，得x<－1.
綜上可知，x的取值范圍為
22、(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
8．(2,3)∪(－3，－2)
解析 由導(dǎo)函數(shù)圖象知當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)；
當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，
故不等式f(x2－6)>1等價(jià)于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－21時(shí)，aa2，此時(shí)
23、a21時(shí)，原不等式的解集為{x|a0.
又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，(6分)
∴－＝，即＝－.
又∵＝－，∴b＝－a，c＝－a.(8分)
∴不等式cx2＋bx＋a<0變?yōu)閤2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
∴所求不等式的解集為.(12分)
11．解 (1
24、)∵x∈R時(shí)，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.(4分)
(2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，設(shè)g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)：
①如圖(1)，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方，滿足條件時(shí)，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分)
②如圖(2)，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，
但在x∈[－2，＋∞)時(shí)，g(x)≥0，
即
即?
解之，得a∈?.(10分)
③如圖(3)，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，
但在x∈(－∞，2]時(shí)，g(x)≥0，即
即?
?－7≤a≤－6.(13分)
綜合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)
新編高考理科導(dǎo)學(xué)案【第七章】不等式、推理與證明 學(xué)案34
