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三　反證法與放縮法 學習目標　1.理解反證法的理論依據(jù)，掌握反證法的基本步驟，會用反證法證明不等式.2.理解用放縮法證明不等式的原理，會用放縮法證明一些不等式． 知識點一　反證法 思考　什么是反證法？用反證法證明時，導出矛盾有哪幾種可能？ 答案　(1)反證法就是在否定結論的前提下推出矛盾，從而說明結論是正確的． (2)矛盾可以是與已知條件矛盾，也可以是與已知的定義、定理矛盾． 梳理　反證法 (1)反證法的定義：先假設要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立． (2)反證法證明不等式的一般步驟：①假設命題不成立；②依據(jù)假設推理論證；③推出矛盾以說明假設不成立，從而斷定原命題成立． 知識點二　放縮法 思考　放縮法是證明不等式的一種特有的方法，那么放縮法的原理是什么？ 答案　①不等式的傳遞性；②等量加(減)不等量為不等量． 梳理　放縮法 (1)放縮法證明的定義 證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的．這種方法稱為放縮法． (2)放縮法的理論依據(jù) ①不等式的傳遞性． ②等量加(減)不等量為不等量． ③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．  類型一　反證法證明不等式 例1　設a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，證明： (1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立． 證明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1可知，a＋b≥2＝2， 即a＋b≥2，當且僅當a＝b＝1時等號成立． (2)假設a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立，則由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾．故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立． 反思與感悟　當待證不等式的結論為否定性命題時，常用反證法來證明，對結論的否定要全面不能遺漏，最后的結論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設矛盾． 跟蹤訓練1　設0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2， 求證：(2－a)c，(2－b)a，(2－c)b不可能都大于1. 證明　假設(2－a)c，(2－b)a，(2－c)b都大于1， 即(2－a)c＞1，(2－b)a＞1，(2－c)b＞1， 則(2－a)c(2－b)a(2－c)b＞1， ∴(2－a)(2－b)(2－c)abc＞1. ① ∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2， ∴(2－a)a≤2＝1， 同理(2－b)b≤1，(2－c)c≤1， ∴(2－a)a(2－b)b(2－c)c≤1， ∴(2－a)(2－b)(2－c)abc≤1，這與①式矛盾． ∴(2－a)c，(2－b)a，(2－c)b不可能都大于1. 例2　已知f(x)＝x2＋px＋q， 求證：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 證明　(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于， 則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾， ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 反思與感悟　(1)當欲證明的結論中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時，若正面難以找到解題的突破口，可轉換視角，用反證法證明． (2)在用反證法證明的過程中，由于作出了與結論相反的假設，相當于增加了題設條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾． 跟蹤訓練2　若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋， b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋，求證：a，b，c中至少有一個大于零． 證明　假設a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 則a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，因此假設不成立． ∴a，b，c中至少有一個大于0. 類型二　放縮法證明不等式 例3　已知實數(shù)x，y，z不全為零，求證： ＋＋＞(x＋y＋z)． 證明?。健荩健輝＋. 同理可得≥y＋， ≥z＋. 由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加，得 ＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)． 反思與感悟　(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，謹慎地采取措施，進行恰當?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗． (2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換成較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目的． 跟蹤訓練3　求證：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)． 證明　∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N＋且k≥2)， ∴＜＜， 即－＜＜－(k∈N＋且k≥2)． 分別令k＝2,3，…，n，得 －＜＜1－，－＜＜－，…， －＜＜－， 將這些不等式相加，得 －＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－， 即－＜＋＋…＜1－， ∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－， 即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)成立. 1．用放縮法證明不等式時，下列各式正確的是(　　) A.＞ B.＜ C．x2＋x＋3＞x2＋3 D．|a＋1|≥|a|－1 答案　D 解析　對于A，x的正、負不定；對于B，m的正、負不定；對于C，x的正、負不定；對于D，由絕對值三角不等式知，D正確． 2．用反證法證明命題“a，b，c全為0”時，其假設為(　　) A．a(chǎn)，b，c全不為0 B．a(chǎn)，b，c至少有一個為0 C．a(chǎn)，b，c至少有一個不為0 D．a(chǎn)，b，c至多有一個不為0 答案　C 3．如果a＋b＞a＋b，則實數(shù)a，b應滿足的條件是________． 答案　a≥0，b≥0，a≠b 解析　由及知a≥0，b≥0， 又a＋b＞a＋b， 即(－)2(＋)＞0. ∴a≠b， ∴a≥0，b≥0，a≠b. 4．已知0＜a＜3,0＜b＜3,0＜c＜3.求證：a(3－b)，b(3－c)，c(3－a)不可能都大于. 證明　假設a(3－b)＞，b(3－c)＞，c(3－a)＞. 因為a，b，c均為小于3的正數(shù)， 所以＞，＞， ＞， 從而有＋＋＞. ① 但是＋＋≤＋＋ ＝＝. ② 當且僅當a＝b＝c＝時，②中取等號． 顯然②與①相矛盾，假設不成立，故命題得證． 1．常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設 常見詞語 至少有一個 至多有一個 唯一一個 不是 不可能 全 都是 否定假設 一個也沒有 有兩個或兩個以上 沒有或有兩個或兩個以上 是 有或 存在 不全 不都是 2.放縮法證明不等式常用的技巧 (1)增項或減項． (2)在分式中增大或減小分子或分母． (3)應用重要不等式放縮，如a2＋b2≥2ab，≤，ab≤2，≥(a，b，c＞0)． (4)利用函數(shù)的單調(diào)性等． 一、選擇題 1．P＝＋＋(a，b，c均為正數(shù))與3的大小關系為(　　) A．P≥3 B．P＝3 C．P＜3 D．P＞3 答案　C 解析　P＝＋＋＜＋＋＝3. 2．設x，y，z都是正實數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個數(shù)(　　) A．至少有一個不大于2 B．都小于2 C．至少有一個不小于2 D．都大于2 答案　C 解析　假設a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6， 又a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋ ＝＋＋≥6，與a＋b＋c＜6矛盾． 所以a，b，c至少有一個不小于2.A、B、D可用特殊值法排除．故選C. 3．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a2＋b2＝c2，則an＋bn與cn(n≥3，n∈N＋)的大小關系為(　　) A．a(chǎn)n＋bn＞cn B．a(chǎn)n＋bn＜cn C．a(chǎn)n＋bn≥cn D．a(chǎn)n＋bn＝cn 答案　B 解析　∵a2＋b2＝c2，∴2＋2＝1， ∴0＜＜1,0＜＜1， ∴y＝x，y＝x均為減函數(shù)． ∴當n≥3時，有n＜2，n＜2， ∴n＋n＜2＋2＝1，∴an＋bn＜cn. 4．設x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，則A與B的大小關系為(　　) A．A≥BB．A＝BC．A＞BD．A＜B 答案　D 解析　∵x＞0，y＞0， ∴A＝＋＜＋＝B. 5．對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＞b與a＜b及a≠c中至少有一個成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立． 其中判斷正確的個數(shù)為(　　) A．0B．1C．2D．3 答案　C 解析　對于①，假設(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，這時a＝b＝c，與已知矛盾，故(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正確； 對于②，假設a＞b與a＜b及a≠c都不成立，這時a＝b＝c，與已知矛盾，故a＞b與a＜b及a≠c中至少有一個成立，故②正確； 對于③，顯然不正確． 6．設a，b，c是正數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時大于零”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　必要性顯然成立．充分性：若PQR＞0， 則P，Q，R同時大于零或其中有兩個負的， 假設其中有兩個負的成立， 不妨設P＜0，Q＜0，R＞0，因為P＜0，Q＜0， 即a＋b＜c，b＋c＜a.所以a＋b＋b＋c＜c＋a. 所以b＜0，與b＞0矛盾，故假設不成立，故充分性成立． 二、填空題 7．若A＝＋＋…＋，則A與1的大小關系為________． 答案　A＜1 解析　A＝＋＋…＋＜ ＋＋…＋＝＝1. 共210個 8．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①則∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C＞180，這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾，故結論錯誤． ②所以一個三角形不可能有兩個直角． ③假設△ABC有兩個直角，不妨設∠A＝∠B＝90. 上述步驟的正確順序是________． 答案?、邰佗? 解析　由反證法的證明題步驟可知，正確順序應該是③①②. 9．已知a∈R＋，則，，從大到小的順序為________． 答案?。荆? 解析　因為＋＞＋＝2， ＋＜＋＝2， 所以2＜＋＜2， 所以＞＞ . 10．某同學準備用反證法證明如下一個問題： 函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，滿足|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|＜，那么它的反設應該是________． 答案　存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2滿足|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，使|f(x1)－f(x2)|≥成立 三、解答題 11．實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)， 證明　假設a，b，c，d都是非負數(shù)． 由a＋b＝c＋d＝1知，a，b，c，d∈[0,1]． 從而ac≤≤，bd≤≤， ∴ac＋bd≤＝1，即ac＋bd≤1，與已知ac＋bd＞1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 12．設n是正整數(shù)，求證：≤＋＋…＋＜1. 證明　由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜， 當k＝1時，≤＜，當k＝2時，≤＜， …， 當k＝n時，≤＜， ∴＝≤＋＋…＋＜＝1. ∴原不等式成立． 13．設a，b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1，求證：對于任意實數(shù)a，b必存在滿足條件的x，y，使|xy－ax－by|≥成立． 證明　假設對一切0≤x≤1,0≤y≤1，結論不成立， 則有|xy－ax－by|＜.令x＝0，y＝1，得|b|＜； 令x＝1，y＝0，得|a|＜； 令x＝y(tǒng)＝1，得|1－a－b|＜. 又|1－a－b|≥1－|a|－|b|＞1－－＝，這與上式矛盾． 故假設不成立，原命題結論正確． 四、探究與拓展 14．完成反證法證題的全過程． 題目：設a1，a2，…，a7是由數(shù)字1,2，…，7任意排成的一個數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)． 證明：假設p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)． ① 因為7個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)為________． ② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________. ③ ②與③矛盾，故p為偶數(shù)． 答案?、賏1－1，a2－2，…，a7－7　②奇數(shù)?、? 解析　由假設p為奇數(shù)可知，(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)相矛盾． 15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明：是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式； (2)證明：＋＋…＋＜. 證明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3. 又a1＋＝， 所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列． 所以an＋＝，因此{an}的通項公式為an＝. (2)由(1)知，＝， 因為當n≥1時，3n－1≥23n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜.所以＋＋…＋＜.