《2018年秋高中數學 第一章 導數及其應用 1.3 導數在研究函數中的應用 1.3.1 函數的單調性與導數學案 新人教A版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年秋高中數學 第一章 導數及其應用 1.3 導數在研究函數中的應用 1.3.1 函數的單調性與導數學案 新人教A版選修2-2.doc（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1.3.1　函數的單調性與導數 學習目標：1.理解導數與函數的單調性的關系．(易混點)2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法．(重點)3.會用導數求函數的單調區(qū)間．(重點、難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．函數的單調性與其導數正負的關系 定義在區(qū)間(a，b)內的函數y＝f(x)： f′(x)的正負 f(x)的單調性 f′(x)＞0 單調遞增 f′(x)＜0 單調遞減 思考：如果在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，那么函數f(x)有什么特性？ [提示]f(x)是常數函數． 2．函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系 一般地，設函數y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上： 導數的絕對值 函數值變化 函數的圖象 越大 快 比較“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比較“平緩”(向上或向下) [基礎自測] 1．思考辨析 (1)函數f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數f(x)在定義域上單調遞增．(　　) (2)函數在某一點的導數越大，函數在該點處的切線越“陡峭”．(　　) (3)函數在某個區(qū)間上變化越快，函數在這個區(qū)間上導數的絕對值越大．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．函數f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函數　　 B．減函數 C．先增后減 D．不確定 A　[∵f(x)＝2x－sin x， ∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數．] 3．函數y＝f(x)的圖象如圖131所示，則導函數y＝f′(x)的圖象可能是(　　) 圖131 D　[∵函數f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數，∴當x＞0時，f′(x)＜0，當x＜0時，f′(x)＜0.] 4．函數f(x)＝ex－x的單調遞增區(qū)間為________. 【導學號：31062036】 [解析]　∵f(x)＝ex－x， ∴f′(x)＝ex－1. 由f′(x)＞0得，ex－1＞0， 即x＞0. ∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)． [答案]　(0，＋∞) [合 作 探 究攻 重 難] 函數與導函數圖象間的關系 　(1)設函數f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖132所示，則導函數y＝f′(x)的圖象可能為(　　) 圖132 (2)已知f′(x)是f(x)的導函數，f′(x)的圖象如圖133所示，則f(x)的圖象只可能是(　　) 圖133 (1)D　(2)D　[(1)由函數的圖象可知：當x＜0時，函數單調遞增，導數始終為正；當x＞0時，函數先增后減再增，即導數先正后負再正，對照選項，應選D. (2)從f′(x)的圖象可以看出，在區(qū)間內，導數單調遞增；在區(qū)間內，導數單調遞減．即函數f(x)的圖象在內越來越陡，在內越來越平緩，由此可知，只有選項D符合．] [規(guī)律方法]　研究函數與導函數圖象之間關系的方法 研究一個函數的圖象與其導函數圖象之間的關系時，注意抓住各自的關鍵要素，對于原函數，要注意其圖象在哪個區(qū)間內單調遞增，在哪個區(qū)間內單調遞減；而對于導函數，則應注意其函數值在哪個區(qū)間內大于零，在哪個區(qū)間內小于零，并分析這些區(qū)間與原函數的單調區(qū)間是否一致. [跟蹤訓練] 1．已知y＝xf′(x)的圖象如圖134所示(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是(　　) 圖134 C　[當0＜x＜1時，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數； 當x＞1時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， 故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數．故選C.] 利用導數求函數的單調區(qū)間 角度1　不含參數的函數求單調區(qū)間 　求下列函數的單調區(qū)間． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2e－x； (3)f(x)＝x＋. 【導學號：31062037】 [解]　(1)函數的定義域為D＝(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定義域D，得下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) ∴函數f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為. (2)函數的定義域為D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域D，得下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) ∴f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，單調遞增區(qū)間為(0,2)． (3)函數的定義域為D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定義域D，得下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ∴函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1)，單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)． 角度2　含參數的函數的單調區(qū)間 　討論函數f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的單調性． [思路探究]　―→―→ [解]　函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－ ＝. (1)當a＝0時，f′(x)＝， 由f′(x)＞0，得x＞1， 由f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0,1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數． (2)當a＞0時， f′(x)＝， ∵a＞0，∴－＜0. 由f′(x)＞0，得x＞1， 由f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0,1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數． 綜上所述，當a≥0時，f(x)在(0,1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數. [規(guī)律方法]　利用導數求函數單調區(qū)間的步驟 (1)確定函數f(x)的定義域． (2)求導數f′(x)． (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相應的x的范圍．當f′(x)>0時，f(x)在相應的區(qū)間上是增函數；當f′(x)<0時，f(x)在相應區(qū)間上是減函數． (4)結合定義域寫出單調區(qū)間． [跟蹤訓練] 2．設f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的單調區(qū)間. 【導學號：31062038】 [解]　f(x)的定義域為 (－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，則f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞， ＋∞)上單調遞增． 若a＞0，則當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)＜0； 當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增． 綜上所述，當a≤0時，函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增； 當a＞0時，f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增. 已知函數的單調性求參數的范圍 [探究問題] 1．在區(qū)間(a，b)內，若f′(x)＞0，則f(x)在此區(qū)間上單調遞增，反之也成立嗎？ 提示：不一定成立．比如y＝x3在R上為增函數，但其在x＝0處的導數等于零．也就是說f′(x)＞0是y＝f(x)在某個區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件． 2．若函數f(x)為可導函數，且在區(qū)間(a，b)上是單調遞增(或遞減)函數，則f′(x)滿足什么條件？ 提示：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)． 　已知函數f(x)＝x3－ax－1為單調遞增函數，求實數a的取值范圍． [思路探究]　―→―→ [解]　由已知得f′(x)＝3x2－a， 因為f(x)在(－∞，＋∞)上是單調增函數， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2對x∈R恒成立，因為3x2≥0，所以只需a≤0. 又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1在R上是增函數，所以a≤0. 母題探究：1.(變條件)若函數f(x)＝x3－ax－1的單調減區(qū)間為(－1,1)，求a的取值范圍． [解]　由f′(x)＝3x2－a， ①當a≤0時，f′(x)≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數． ②當a＞0時，令3x2－a＝0，得x＝， 當－＜x＜時，f′(x)＜0. ∴f(x)在上為減函數， ∴f(x)的單調遞減區(qū)間為， ∴＝1，即a＝3. 2．(變條件)若函數f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上單調遞減，求a的范圍． [解]　由題意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， ∴，即，∴a≥3. 即a的取值范圍是[3，＋∞)． 3．(變條件)若函數f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不單調，求a的范圍． [解]　∵f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a， 由f′(x)＝0， 得x＝(a≥0)， ∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調， ∴0＜＜1，即0＜a＜3. 故a的取值范圍為(0,3)． [規(guī)律方法]　1.解答本題注意：可導函數f(x)在(a，b)上單調遞增(或單調遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內都不恒等于0. 2．已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調性，求參數范圍的方法 (1)利用集合的包含關系處理f(x)在(a，b)上單調遞增(減)的問題，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集； (2)利用不等式的恒成立處理f(x)在(a，b)上單調遞增(減)的問題，則f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)內恒成立，注意驗證等號是否成立． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．設函數f(x)的圖象如圖135所示，則導函數f′(x)的圖象可能為(　　) 圖135 C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是減函數，在(1,4)上為增函數， ∴當x＜1或x＞4時，f′(x)＜0； 當1＜x＜4時，f′(x)＞0.故選C.] 2．函數f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區(qū)間是(　　) 【導學號：31062039】 A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) D　[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2. ∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)．] 3．函數y＝x2－ln x的單調遞減區(qū)間為(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) B　[函數y＝x2－ln x的定義域為(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，則可得0＜x≤1.] 4．若函數f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)內單調遞減，則實數a的取值范圍是 (　　) 【導學號：31062040】 A．[1，＋∞)　　 B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0,1) A　[∵f′(x)＝3x2－2ax－1， 且f(x)在(0,1)內單調遞減， ∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.] 5．試求函數f(x)＝kx－ln x的單調區(qū)間． [解]　函數f(x)＝kx－ln x的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝. 當k≤0時，kx－1＜0， ∴f′(x)＜0， 則f(x)在(0，＋∞)上單調遞減． 當k＞0時，由f′(x)＜0，即＜0， 解得0＜x＜； 由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞. ∴當k＞0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為. 綜上所述，當k≤0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，＋∞)； 當k＞0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.