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專題32 雙曲線及其性質(zhì) 一、考綱要求： 1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. 2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線) 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用． 二、概念掌握和解題上注意點： 1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題,在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”.若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支．同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用． 2．在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1||PF2|間的聯(lián)系． 3. 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法 (1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程. (2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡化討論. 4.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得. (2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程. 三、高考考題題例分析 例1.（2018課標(biāo)卷I）已知雙曲線C：﹣y2=1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|=（　?。? A． B．3 C．2 D．4 【答案】B 【解析】：雙曲線C：﹣y2=1的漸近線方程為：y=，漸近線的夾角為：60，不妨設(shè)過F（2，0）的直線為：y=， 則：解得M（，）， 解得：N（）， 則|MN|==3． 故選：B． 例2.（2018課標(biāo)卷II）　雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（　　） A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x 【答案】A 例3.（2018課標(biāo)卷III）　設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】：雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一條漸近線方程為y=x， ∴點F2到漸近線的距離d==b，即|PF2|=b， ∴|OP|===a，cos∠PF2O=， ∵|PF1|=|OP|， ∴|PF1|=a， 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O， ∴6a2=b2+4c2﹣2b2c=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2=c2， 即a=c， ∴e==， 故選：C． 雙曲線及其性質(zhì)練習(xí)題 一、 選擇題 1．已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝ (　　) A．2　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．1 【答案】D　 【解析】依題意，e＝＝＝2，∴＝2a，則a2＝1，a＝1. 2．若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于 (　　) A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B　 【解析】由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9. 3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為 (　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 4．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為 (　　) A．－＝1　　 B.－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【答案】A 【解析】已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為－＝1，故選A． 5．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線x＋ 2y－1＝0垂直，則雙曲線的離心率為 (　　) A． B． C． D．＋1 【答案】B　 【解析】由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故選B. 6已知雙曲線x2－＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為 (　　) A．48　　　　　 B．24 C．12 D．6 【答案】B 7.若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是 (　　) A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解析】由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標(biāo)為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號． 所以|PF|＋|PA|的最小值為9. 8．已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為(　　) A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0) C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0) 【答案】B 9.已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝ (　　) A． B． C． D． 【答案】A　 【解析】由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝. 10．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上一點到兩個焦點的距離分別為10和4，且離心率為2，則該雙曲線的虛軸長為 (　　) A．3 B．6 C．3 D．6 【答案】D 【解析】由題意得2a＝10－4＝6，解得a＝3，又因為雙曲線的離心率e＝＝2，所以c＝6，則b＝＝3，所以該雙曲線的虛軸長為2b＝6，故選D. 11.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝相切，則該雙曲線的離心率為 (　　) A． B． C． D．3 【答案】A　 12．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若△OAB的面積為，則雙曲線的離心率為 (　　) A．　　 B. C． D． 【答案】D　 【解析】由題意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝c＝，整理得＝.因此e＝. 二、填空題 13．過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝________. 【答案】4　 【解析】雙曲線的右焦點為F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為x2－＝0，將x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝2，∴|AB|＝4. 14．設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為________． 【答案】10　 【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因為|AF1|＋|BF1|＝|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10. 15．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，焦點到漸近線的距離為3，則C的實軸長等于________. 【答案】8 【解析】因為e＝＝，所以c＝a，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即ax－by＝0，焦點為(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8. 16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． 【答案】y＝x　 三、解答題 17．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 【答案】－＝1. 【解析】橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴漸近線方程為bxay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. 18．已知雙曲線的中心在原點，左，右焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：12＝0. 【答案】(1) x2－y2＝6；(2)見解析 【解析】　(1)∵e＝，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴雙曲線的方程為x2－y2＝6. 證法二：由證法一知1＝(－3－2，－m)， 2＝(2－3，－m)， ∴12＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵點M在雙曲線上， ∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴12＝0. 19．已知離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2. (1)求橢圓及雙曲線的方程． (2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P，連接BP交橢圓于點M，連接PA并延長交橢圓于點N，若＝，求四邊形ANBM的面積. 【答案】(1) －＝1；(2) 15 (2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)， |AB|＝10， 設(shè)M(x0，y0)，則由＝得M為BP的中點，所以P點坐標(biāo)為(2x0－5, 2y0)． 將M，P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程， 得 消去y0，得2x－5x0－25＝0.解之， 得x0＝－或x0＝5(舍去)． 所以y0＝. 由此可得M， 所以P(－10,3)． 當(dāng)P為(－10,3)時， 直線PA的方程是y＝(x＋5)， 即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0. 所以x＝－或－5(舍去)， 所以xN＝－，xN＝xM，MN⊥x軸． 所以S四邊形ANBM＝2S△AMB ＝210＝15.