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課時(shí)作業(yè)25　平面向量的概念及其線性運(yùn)算 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線　　　　　　　　　　B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 解析：可舉特例，當(dāng)n＝0時(shí)，滿足m∥n，n∥k，故A，B，C選項(xiàng)都不正確，故D正確． 答案：D 2．[2019通州模擬]已知在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，那么下列各式中正確的是(　　) A.＋＝ B.＝＋ C.－＝ D．2＋＝ 解析：本題考查向量的線性運(yùn)算．A錯(cuò)，應(yīng)為＋＝2；B錯(cuò)，應(yīng)為＋＝＋＝；C錯(cuò)，應(yīng)為＝＋；D正確，2＋＝＋＝，故選D. 答案：D 3．如圖，e1，e2為互相垂直的單位向量，向量a－b可表示為(　　) A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：向量a－b是以b的終點(diǎn)為始點(diǎn)，a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．由圖形知，a－b＝e1－3e2. 答案：C 4．[2019石家莊檢測(cè)]在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且＝，設(shè)＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故選B. 答案：B 5．如圖，已知四邊形ABCD是梯形，E，F(xiàn)分別是腰的中點(diǎn)，M、N是線段EF上的兩個(gè)點(diǎn)，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b，則＝(　　) A．－a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 解析：∵＝(＋)＝＝a ＝－＝－b， ∴＝＋＋＝＋ －＝a－b－a ＝a－b. 答案：D 二、填空題 6．給出下列命題： ①若a＝b，b＝c，則a＝c； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ④若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：①正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同， ∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c. ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，因此，＝. ③不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ④不正確．考慮b＝0這種特殊情況． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②. 答案：①② 7．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 解析：＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|.故A，B，C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形． 答案：直角三角形 8．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 答案： 三、解答題 9．在△ABC中，D，E分別是BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 解析：＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－) ＝＋ ＝a＋b. 10．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． 解析：(1)證明：由已知得＝－ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2， 又有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2， 由B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得，解得k＝12，∴k＝12. [能力挑戰(zhàn)] 11．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與(　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：由題意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋(＋－) ＝＋＝－， 故＋＋與反向平行． 答案：A 12．[2019清華大學(xué)自主招生能力測(cè)試]O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△OBC和△ABC的面積比＝________. 解析：如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接OM，則＋＝2，∴＋＋2＝2＋2＝0，即＋＝0，∴點(diǎn)O為線段MC的中點(diǎn)，則S△OBC＝S△MBC＝S△ABC，所以＝. 答案： 13．[2019河北百校聯(lián)盟聯(lián)考]已知在△ABC中，點(diǎn)D滿足2＋＝0，過(guò)點(diǎn)D的直線l與直線AB，AC分別交于點(diǎn)M，N，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，則λ＋μ的最小值為________． 解析：連接AD.因?yàn)?＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.因?yàn)镈、M、N三點(diǎn)共線，所以存在x∈R，使＝x＋(1－x)，則＝xλ＋(1－x)μ，所以xλ＋(1－x)μ＝＋，根據(jù)平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ時(shí)等號(hào)成立，∴λ＋μ的最小值為. 答案：