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專題12 立體幾何中的平行與垂直問題 【自主熱身，歸納總結(jié)】 1、 設(shè)α，β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個命題： ①若m∥n，n?α，則m∥α； ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③若α∥β，m?α，n?β，則m∥n； ④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β. 其中正確命題的序號為________． 【答案】.④　 【解析】：對于①，直線m可能在平面α內(nèi)，故①錯誤；對于②，沒有m與n相交的條件，故②錯誤；對于③，m與n也可能異面，故③錯誤． 2、已知平面α，β，直線m，n，給出下列命題： ①若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β； ②若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n. 其中是真命題的是________(填序號)． 【答案】③④　 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因為平面ABC1D1與平面ADC1B1不垂直，故①不正確；因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB與B1C1不平行，故②不正確．同理，我們以正方體的模型來觀察，可得③④正確． 3、若α，β是兩個相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)． ①若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定不存在與直線m平行的直線； ②若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直； ③若直線m?α，則在平面β內(nèi)，不一定存在與直線m垂直的直線； ④若直線m?α，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線． 【答案】：②④ 4、已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β.給出下列命題： ①α∥β?l⊥m；?、讦痢挺?l∥m； ③m∥α?l⊥β；?、躭⊥β?m∥α. 其中正確的命題是________(填寫所有正確命題的序號)． 【答案】： ①④　 【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因為m?β，所以l⊥m； ②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l?β，又因為m?β，所以l與m或異面或平行或相交； ③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因為l只垂直于β內(nèi)的一條直線m，所以不能確定l是否垂直于β； ④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因為m?β，所以m∥α. 5、 設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個平面，現(xiàn)給出下列命題： ①若b?α，c∥α，則b∥c；②若b?α，b∥c，則c∥α； ③若c∥α，α⊥β，則c⊥β；④若c∥α，c⊥β，則α⊥β. 其中正確的命題是________．(寫出所有正確命題的序號) 【答案】： ④　 【解析】：①b和c可能異面，故①錯；②可能c?α，故②錯；③可能c∥β，c?β，故③錯；④根據(jù)面面垂直判定α⊥β，故④正確． 6、在所有棱長都相等的三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點， 下列四個命題： (1) BC∥平面PDF； (2) DF∥平面PAE； (3) 平面PDF⊥平面ABC； (4) 平面PDF⊥平面PAE. 其中正確命題的序號為________． 【答案】：(1)(4) 【解析】 由條件可證BC∥DF，則BC∥平面PDF，從而(1)正確；因為 DF與AE相交，所以(2)錯誤；取DF中點M(如圖)，則PM⊥DF， 且可證PM與AE不垂直，所以(3)錯誤；而DM⊥PM，DM⊥AM， 則DM⊥平面PAE.又DM?平面PDF，故平面PDF⊥平面PAE， 所以(4)正確．綜上所述，正確命題的序號為(1)(4)． 7、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N分別在AB1，BC1上(M，N不與B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A1C1異面．以上4個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________． 【答案】：①③ 【解析】　過M作MP∥AB交BB1于P，連接NP，則平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.當(dāng)M與B1重合，N與C1重合時，則A1C1與MN相交，所以①③正確． 【問題探究，變式訓(xùn)練】 : 例1、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中點，求證： (1) 平面AB1E⊥平面B1BCC1； (2) A1C∥平面AB1E. 【解析】： (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因為AE?平面ABC，所以CC1⊥AE 因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC. 因為BC?平面B1BCC1，CC1?平面B1BCC1， 且BC∩CC1＝C，所以AE⊥平面B1BCC1. 因為AE?平面AB1E， 所以平面AB1E⊥平面B1BCC1 (2) 如圖，連結(jié)A1B，設(shè)A1B∩AB1＝F，連結(jié)EF. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為平行四邊形，所以F為A1B的中點．又因為E是BC的中點，所以EF∥A1C 因為EF?平面AB1E，A1C?平面AB1E， 所以A1C∥平面AB1E. 【變式1】、【如圖，在三棱錐PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中點，點N在棱PC上，點D是BN的中點．求證： (1) MD∥平面PAC； 又因為CE?平面BEC，所以AH⊥CE.(14分) 【變式6】、如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的高為，其底面邊長為2.已知點M，N分別是棱A1C1，AC的中點，點D是棱CC1上靠近C的三等分點．求證： (1) B1M∥平面A1BN； (2) AD⊥平面A1BN. 【解析】： (1) 如圖，連結(jié)MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形A1ACC1是矩形． 因為M，N分別是棱A1C1，AC的中點， 所以四邊形A1ANM也是矩形，從而MN∥A1A.(2分) 又因為A1A∥B1B，所以MN ∥B1B. 所以四邊形B1BNM是平行四邊形，則B1M∥BN.(4分) 因為B1M?平面A1BN，BN?平面A1BN, 所以B1M∥平面A1BN.(6分) (2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以AA1⊥BN. 因為N是正三角形ABC的邊AC的中點，所以AC⊥BN. 又因為A1A∩AC＝A，A1A，AC?平面A1ACC1，所以BN⊥平面A1ACC1. 因為AD?平面A1ACC1，所以BN⊥AD.(10分) 在平面A1ACC1中，tan∠A1NAtan∠DAC＝＝1，所以∠A1NA與∠DAC互余，得AD⊥A1N.(12分) 因為AD⊥BN，AD⊥A1N，BN∩A1N＝N，且A1N，BN?平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN.(14分) 【關(guān)聯(lián)1】、 如圖，正三棱柱A1B1C1-ABC中，點D，E分別是A1C，AB的中點． (1) 求證：ED∥平面BB1C1C； (2) 若AB＝BB1，求證：A1B⊥平面B1CE. 【解析】 (1) 連結(jié)AC1，BC1，因為AA1C1C是矩形，D是A1C的中點，所以D是AC1的中點．(2分) 在△ABC1中，因為D，E分別是AC1，AB的中點， 所以DE∥BC1.(4分) 因為DE?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C， 所以ED∥平面BB1C1C.(6分) (2) 因為△ABC是正三角形，E是AB的中點， 所以CE⊥AB. 又因為正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CE?平面ABC， 所以CE⊥平面ABB1A1.從而CE⊥A1B.(9分) 在矩形ABB1A1中，因為＝＝，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE， 從而∠B1A1B＝∠BB1E.因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90，所以A1B⊥B1E. 又因為CE，B1E?平面B1CE，CE∩B1E＝E， 所以A1B⊥平面B1CE.(14分) 例2、如圖，在四棱錐中，，，點為棱的中點． （1）若，求證：； （2）求證：//平面． 【解析】： 證明：（1）取的中點，連結(jié)， 因為，所以△為等腰三角形，所以． 因為，所以△為等腰三角形，所以． 又，所以平面． 因為平面，所以． （2）由為中點，連，則， 又平面，所以平面． 由，以及，所以， 又平面，所以平面． 又，所以平面平面， 而平面，所以平面． 【變式1】、如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點，且BD∥平面AEF． （1）求證：EF∥平面ABD； （2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求證：平面AEF⊥平面ACD． 【解析】：（1）因為BD∥平面AEF， BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF， 所以 BD∥EF． 因為BD平面ABD，EF平面ABD， 所以 EF∥平面ABD． （2）因為AE⊥平面BCD，CD平面BCD， 所以 AE⊥CD． 因為 BD⊥CD，BD∥EF， 所以 CD⊥EF， 又 AE∩EF＝E，AE平面AEF，EF平面AEF， 所以 CD⊥平面AEF． 又 CD平面ACD， 所以 平面AEF⊥平面ACD． 【變式2】、如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點在棱上(異于點，)，平面與棱交于點． （1）求證：； A B C D E F P (第16題) （2）若平面平面，求證：． 【變式3】、如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD， M，N分別為棱PD，PC的中點． 求證：（1）MN∥平面PAB； （2）AM⊥平面PCD． 【解析】（1）因為M，N分別為棱PD，PC的中點， 所以MN∥DC， 又因為底面ABCD是矩形，所以AB∥DC， 所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB， 所以MN∥平面PAB． （2）因為AP=AD，M為PD的中點， 所以AM⊥PD． 因為平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD， 又因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因為CD，平面PCD，， 所以AM⊥平面PCD． 【易錯警示】立幾的證明必須嚴格按教材所給的公理、定理、性質(zhì)作為推理的理論依據(jù)，嚴禁生造定理，在運用定理證明時必須在寫全定理的所有條件下，才有相應(yīng)的結(jié)論，否則會影響評卷得分. 【變式4】、 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點． (1) 求證：PC∥平面BDE； (2) 若PC⊥PA，PD＝AD，求證：平面BDE⊥平面PAB. 易錯警示 在立體幾何中，一定要用課本中允許的有關(guān)定理進行推理論證，在進行推理論證時，一定要將定理的條件寫全，不能遺漏，否則，在評分時將予以扣分，高考閱卷對立體幾何題證明的規(guī)范性要求較高． 【關(guān)聯(lián)1】、如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC與BD交于點O，且平面PAC⊥平面ABCD，E為棱PA上一點． (1) 求證：BD⊥OE； (2) 若AB＝2CD，AE＝2EP，求證：EO∥平面PBC. 【解析】(1) 因為平面PAC⊥ 平面ABCD，平面PAC∩ 平面ABCD＝AC，BD⊥AC，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面PAC. 又因為OE?平面PAC，所以BD⊥OE.(6分) (2) 因為AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD交于點O， 所以CO∶OA＝CD∶AB＝1∶2. 又因為AE＝2EP，所以CO∶OA＝PE∶EA， 所以EO∥PC. 又因為PC?平面PBC，EO?平面PBC， 所以EO∥平面PBC.(14分) 【關(guān)聯(lián)2】、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中點． (1) 求證：BC1∥平面A1CD； (2) 若點P在線段BB1上，且BP＝BB1，求證：AP⊥平面A1CD. 【解析】 (1)連結(jié)AC1，交A1C于點O，連結(jié)OD. 因為四邊形AA1C1C是矩形，所以O(shè)是AC1的中點. (2分) 在△ABC1中， O，D分別是AC1，AB的中點， 所以O(shè)D∥BC1. (4分) 又因為OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.(6分) (2) 因為CA＝CB，D是AB的中點，所以CD⊥AB﹒ 又因為在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC⊥側(cè)面AA1B1B，交線為AB， CD?平面ABC，所以CD⊥平面AA1B1B﹒ (8分) 因為AP?平面A1B1BA，所以CD⊥AP. (9分) 因為BB1＝AA1＝BA ，BP＝BB1， 所以＝＝，所以Rt△ABP∽Rt△A1AD， 從而∠AA1D＝∠BAP， 所以∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90， 所以AP⊥A1D.(12分) 又因為CD∩A1D＝D，CD?平面A1CD，A1D?平面A1CD， 所以AP⊥平面A1CD.(14分) 【關(guān)聯(lián)3】、如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點． (1) 求證：PB∥平面MNC； (2) 若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC. 【解析】 (1) 因為M，N分別為AB，PA的中點， 所以MN∥PB.(2分) 因為MN?平面MNC，PB?平面MNC, 所以PB∥平面MNC.(4分) (2) 因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.　(6分) 因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.　(8分) 因為平面PAB⊥平面ABC，CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以CM⊥平面PAB.　 (12分) 因為PA?平面PAB，所以CM⊥PA. 因為PA⊥MN，MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.　(14分) 【關(guān)聯(lián)4】、如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中點，N是PC的中點． (1) 求證：MN∥平面PAB； (2) 若平面PMC⊥平面PAD，求證：CM⊥AD. 【解析】 (1) 如圖，取PB的中點E，連結(jié)AE，NE. 因為E，N分別是PB，PC的中點， 所以EN∥BC且EN＝BC. 因為底面ABCD是平行四邊形，M是AD的中點， 所以AM∥BC且AM＝BC，(3分) 所以EN∥AM且EN＝AM，四邊形AMNE是平行四邊形，所以MN∥AE，(5分) 因為MN?平面PAB，AE?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(7分) (2) 如圖，在平面PAD內(nèi)，過點A作AH⊥PM，垂足為H. 因為平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM， 因為AH?平面PAD，AH⊥PM， 所以AH⊥平面PMC，從而AH⊥CM.(10分) 因為PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD， 所以PA⊥CM.(12分) 因為PA∩AH＝A，PA，AH?平面PAD， 所以CM⊥平面PAD， 因為AD?平面PAD，所以CM⊥AD.(14分) 例3、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC上一點． (1) 若AB＝AC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2) 若A1B∥平面ADC1，求的值． 【解析】： (1) 因為AB＝AC，點D為BC中點，所以AD⊥BC.(2分) 因為ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC. 因為AD?平面ABC，所以BB1⊥AD.(4分) 因為BC∩BB1＝B，BC?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1. 因為AD?平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.(6分) (2) 連結(jié)A1C，交AC1于O，連結(jié)OD，所以O(shè)為AC1中點．(8分) 因為A1B∥平面ADC1，A1B?平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.(12分) 因為O為AC1中點，所以D為BC中點， 所以＝1.(14分) 【變式1】、如圖，在四面體ABCD中，AB＝AC＝DB＝DC，點E是BC的中點，點F在線段AC上，且＝λ. (1) 若EF∥平面ABD，求實數(shù)λ的值； (2) 求證：平面BCD⊥平面AED. 【解析】 (1) 因為EF∥平面ABD，EF?平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB.(3分) 又E是BC的中點，點F在線段AC上， 所以F為AC的中點． 由＝λ得λ＝.(6分) (2) 因為AB＝AC＝DB＝DC，E是BC的中點， 所以BC⊥AE，BC⊥DE.(9分) 又AE∩DE＝E，AE，DE?平面AED， 所以BC⊥平面AED.(12分) 而BC?平面BCD， 所以平面BCD⊥平面AED.(14分) 【變式2】、如圖，在四棱錐PABCD中，AD＝CD＝AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD. (1) 求證：BC⊥平面PAC； (2) 若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與PB交于點N，求PN∶PB的值． 【解析】 (1) 連結(jié)AC.不妨設(shè)AD＝1. 因為AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2. 因為∠ADC＝90，所以AC＝，∠CAB＝45. 在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2. 所以BC⊥AC.(3分) 因為PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC.(5分) 因為PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC＝C， 所以BC⊥平面PAC.(7分) (2) 因為AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN， 所以AB∥平面CDMN.(9分) 因為AB?平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN， 所以AB∥MN.(12分) 在△PAB中，因為M為線段PA的中點， 所以N為線段PB的中點， 即PN∶PB的值為.(14分) 【關(guān)聯(lián)1】、 如圖，在三棱錐PABC中，D為AB的中點． (1) 與BC平行的平面PDE交AC于點E，判斷點E在AC上的位置并說明理由； (2) 若PA＝PB，且銳角三角形PCD所在平面與平面ABC垂直，求證：AB⊥PC. 【解析】(1) E為AC的中點．理由如下： 平面PDE交AC于點E，即平面PDE∩平面ABC＝DE， 而BC∥平面PDE，BC?平面ABC，所以BC∥DE.(4分) 在△ABC中，因為D為AB的中點，所以E為AC的中點．(7分) (2) 因為PA＝PB，D為AB的中點，所以AB⊥PD， 如圖，在銳角三角形PCD所在平面內(nèi)過點P作PO⊥CD于點O，因為平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC＝CD，所以PO⊥平面ABC.(10分) 因為AB?平面ABC，所以PO⊥AB. 又PO∩PD＝P，PO，PD?平面PCD，所以AB⊥平面PCD. 又PC?平面PCD，所以AB⊥PC.(14分) 【關(guān)聯(lián)2】、 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD. (1) 求證：BD⊥PC； (2) 若平面PBC與平面PAD的交線為l，求證：BC∥l. 【解析】 (1) 如圖，連結(jié)AC，交BD于點O，連結(jié)PO. 因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC.(2分) 又因為O為BD的中點，PB＝PD，所以BD⊥PO.(4分) 又因為AC∩PO＝O，所以BD⊥平面APC. 又因為PC?平面APC，所以BD⊥PC.(7分) (2) 因為四邊形ABCD為菱形，所以BC∥AD.(9分) 因為AD?平面PAD，BC?平面PAD， 所以BC∥平面PAD.(11分) 又因為BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l. 所以BC∥l.(14分) 【關(guān)聯(lián)3】、如圖，在三棱錐PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC. (1) 若AB⊥BC，CP⊥PB，求證：CP⊥PA： (2) 若過點A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC.