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山東省2018年普通高校招生(春季)考試 數(shù)學(xué)試題 卷一 一、選擇題(本大題20個小題，每小題3分，共60分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請將符合題目要求的選項(xiàng)字母代號選出，并填涂在答題卡上) 1. 已知集合，，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根據(jù)交集的定義求解. 詳解：因?yàn)椋?，所? 選B. 點(diǎn)睛：集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn) (1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提． (2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決． (3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖． 2. 函數(shù)f(x)=x+1+xx?1的定義域是（ ） A. (?1,+∞) B. (?1,1)∪(1,+∞) C. [?1,+∞) D. [?1,1)∪(1,+∞) 【答案】D 【解析】 分析：根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)以及分母不為零列方程組，解方程組得定義域. 詳解：因?yàn)閤+1≥0x?1≠0，所以x≥?1x≠1 所以定義域?yàn)閇-1,1)∪(1,+∞)， 選D. 點(diǎn)睛：求具體函數(shù)定義域，主要從以下方面列條件：偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)，分母不為零，對數(shù)真數(shù)大于零，實(shí)際意義等. 3. 奇函數(shù)y=f(x)的局部圖像如圖所示，則（ ） A. f(2)>0>f(4) B. f(2)<0f(4)>0 D. f(2)0>f(-2)，所以-f4>0>-f(2),即f(2)>0>f(4)， 選A. 點(diǎn)睛：奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反． 4. 不等式1+1g|x|<0的解集是（ ） A. (?110,0)∪(0,110) B. (?110,110) C. (?10,0)∪(0,10) D. (?10,10) 【答案】A 【解析】 分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，再根據(jù)絕對值定義解不等式. 詳解：因?yàn)?+1g|x|<0，所以1gx<-1 所以0<|x|<110 因此x∈(-110,0)∪(0,110)， 選A. 點(diǎn)睛：解對數(shù)不等式，不僅要注意單調(diào)性，而且要注意真數(shù)大于零的限制條件. 5. 在數(shù)列{an}中， a1=-1,a2=0，an+2=an+1+an，則an等于（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 【答案】C 【解析】 分析：由遞推關(guān)系依次得a3，a4，a5. 詳解：因?yàn)閍n+2=an+1+an，所以a3=a1+a2=?1,a4=a3+a2=?1,a5=a4+a3=?2, 選C. 點(diǎn)睛：數(shù)列遞推關(guān)系式也是數(shù)列一種表示方法，可以按順序求出所求的項(xiàng). 6. 在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量AB的坐標(biāo)是（ ） A. (2,2) B. (?2,?2) C. (1,1) D. (?1,?1) 【答案】D 【解析】 分析：先根據(jù)圖形得A,B坐標(biāo)，再寫出向量AB. 詳解：因?yàn)锳(2,2),B(1,1)，所以AB=(?1,?1). 選D. 點(diǎn)睛：向量坐標(biāo)表示：AB=(xB?xA,yB?yA).向量平行：a//b?x1y2=x2y1，向量垂直：a?b=0?x1x2+y1y2=0，向量加減： ab=(x1x2,y1y2). 7. (x+1)2+(y?1)2=1的圓心在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 分析：先根據(jù)圓方程得圓心坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)確定象限. 詳解：因?yàn)?x+1)2+(y-1)2=1的圓心為(-1,1)，所以圓心在第二象限, 選B. 點(diǎn)睛:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2+(y?b)2=r2中圓心(a,b)和半徑；圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中圓心(?D2,?E2)和半徑12D2+E2?4F. 8. 已知a,b∈R，則“a>b”是“2a>2b”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得兩者關(guān)系. 詳解：因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以a>b2a>2b 因此“a>b”是“2a>2b”的充要條件， 選C. 點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件． 2．等價法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價法． 3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 9. 關(guān)于直線l:x?3y+2=0，下列說法正確的是（ ） A. 直線的傾斜角為60° B. 向量v=(3,1)是直線的一個方向向量 C. 直線經(jīng)過點(diǎn)(1,?3) D. 向量n=(1,3)是直線的一個法向量 【答案】B 【解析】 分析：先根據(jù)方程得斜率，再根據(jù)斜率得傾斜角以及方法向量. 詳解：因?yàn)橹本€l:x-3y+2=0，所以斜率k=33∴傾斜角為α=π6，一個方向向量為(1,33），因此(3,1)也是直線的一個方向向量， 選B. 點(diǎn)睛：直線Ax+By+C=0斜率k=?AB,傾斜角為tanα=?AB，一個方向向量為(B,?A）. 10. 景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒有其他道路，某游客計劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 分析：根據(jù)乘法原理得不同走法的種數(shù). 詳解：先確定從那一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路，可得不同走法的種數(shù)是223=12. 因此選C. 點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法： (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 11. 在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x,y的不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域(陰影部分)可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根據(jù)A,B符號討論不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域，再對照選擇. 詳解：當(dāng)A>0,B>0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0上方部分且含坐標(biāo)原點(diǎn)，即B；當(dāng)A>0,B<0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0下方部分且不含坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)A<0,B>0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0上方部分且不含坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)A<0,B<0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0下方部分且含坐標(biāo)原點(diǎn)；選B. 點(diǎn)睛：討論不等式Ax+By+C>0 (AB≠0)表示的區(qū)域，一般對B的正負(fù)進(jìn)行討論. 12. 已知兩個非零向量與b的夾角為銳角，則（ ） A. a?b>0 B. a?b<0 C. a?b≥0 D. a?b≤0 【答案】A 【解析】 分析：根據(jù)向量數(shù)量積可得結(jié)果. 詳解：因?yàn)閍?b=|a|?|b|cos，兩個非零向量與b的夾角為銳角，所以a?b>0, 選A. 點(diǎn)睛：求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a?b=|a|?|b|cosθ；二是坐標(biāo)公式a?b=x1x2+y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義. 13. 若坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)到直線x?y+sin2θ=0的距離等于22，則角的取值集合是（ ） A. {θ|θ=kππ4,k∈Z} B. {θ|θ=kππ2,k∈Z} C. {θ|θ=2kππ4,k∈Z} D. {θ|θ=2kππ2,k∈Z} 【答案】A 【解析】 分析：先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得角關(guān)系式，再解三角方程得結(jié)果. 詳解：因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)(0,0)到直線x-y+sin2θ=0的距離為|sin2θ|2=22，所以sin2θ=1，所以2θ=π2+2kπ(k∈Z),或2θ=-π2+2kπ(k∈Z)，即θ=π4+kπ(k∈Z),或θ=-π4+kπ(k∈Z)，選A. 點(diǎn)睛：由 ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)求最值，最大值對應(yīng)自變量滿足ωx+φ=π2+2kπ(k∈Z)，最小值對應(yīng)自變量滿足ωx+φ=3π2+2kπ(k∈Z). 14. 關(guān)于x,y的方程x2+ay2=a2(a≠0)，表示的圖形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何條件確定可能圖像. 詳解：因?yàn)閤2+ay2=a2(a≠0)，所以x2a2+y2a=1 所以當(dāng)a2>a>0時，表示A; 當(dāng)a20>a時，表示C; 選D. 點(diǎn)睛：對于mx2+ny2=1，有當(dāng)m=n>0時，為圓；當(dāng)m>0,n>0,m≠n時，為橢圓；當(dāng)mn<0時，為雙曲線. 15. 在(x?2y)5的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于（ ） A. 32 B. -32 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 分析：令x=y=1，則得所有項(xiàng)的系數(shù)之和. 詳解：令x=y=1，則得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(1?2)5=?1.， 選D. 點(diǎn)睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a,b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法， 只需令x=1即可；對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=1即可. 16. 設(shè)命題p:5≥3，命題q:{1}?{0,1,2}，則下列命題中為真命題的是（ ） A. p∧q B. p∧q C. p∧q D. p∨q 【答案】A 【解析】 分析：先確定p,q真假，再根據(jù)或且非判斷復(fù)合命題真假. 詳解：因?yàn)槊}p:5≥3為真，命題q:{1}?{0,1,2}為真，所以p∧q為真，p∧q、p∧q 、p∨q為假， 選A. 點(diǎn)睛：若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可. 17. 已知拋物線x2=ay(a≠0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，該拋物線上的點(diǎn)M到x軸的距離為5，且|MF|=7，則焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 分析：根據(jù)條件以及拋物線定義得|a|，即可得焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離. 詳解：因?yàn)閨MF|=7，點(diǎn)M到x軸的距離為5，所以|a|4=7?5∴|a|=8, 因此焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離是|a|2=4，， 選C. 點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理． 2．若P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|=x0+p2；若過焦點(diǎn)的弦AB AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長為|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到． 18. 某停車場只有并排的8個停車位，恰好全部空閑，現(xiàn)有3輛汽車依次駛?cè)?，并且隨機(jī)停放在不同車位，則至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是（ ） A. 514 B. 1528 C. 914 D. 67 【答案】C 【解析】 分析：先求三輛車皆不相鄰的概率，再根據(jù)對立事件概率關(guān)系求結(jié)果. 詳解：因?yàn)槿v車皆不相鄰的情況有C63，所以三輛車皆不相鄰的概率為C63C83=514, 因此至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是1?514=914, 選C. 點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法 (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目. 19. 己知矩形ABCD，AB=2BC，把這個矩形分別以AB、BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積分別記為S1、S2，則S1與S2的比值等于（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 分析：根據(jù)圓柱側(cè)面積公式分別求S1、S2，再求比值得結(jié)果. 詳解：設(shè)BC=a,AB=2a，所以S1=2π(2a)?a,S2=2π(a)?2a,∴S1:S2=1， 選B. 點(diǎn)睛：旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用，多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理． 20. 若由函數(shù)y=sin(2x+π2)的圖像變換得到y(tǒng)=sin(x2+π3)的圖像，則可以通過以下兩個步驟完成:第一步，把y=sin(2x+π2)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變:第二步，可以把所得圖像沿x軸（ ） A. 向右移π3個單位 B. 向右平移5π12個單位 C. 向左平移π3個單位 D. 同左平移5π12個單位 【答案】A 【解析】 分析：根據(jù)圖像平移“左正右負(fù)”以及平移量為|φ1-φ2||ω|確定結(jié)果. 詳解：因?yàn)棣??π212=?π3，所以所得圖像沿x軸向右平移π3個單位, 選A. 點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言. 卷二 二、填空題(本大題5個小題，每小題4分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)題號的橫線上) 21. 已知函數(shù)f(x)=x2+1,x>0?5,x≤0，則f[f(0)]的值等于__________． 【答案】?5 【解析】 分析：根據(jù)自變量對應(yīng)解析式代入求值,再根據(jù)求得函數(shù)值對應(yīng)解析式代入求結(jié)果. 詳解：因?yàn)閒0=-5，所以ff0=f-5=-5. 點(diǎn)睛：求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值. 22. 已知θ∈(?π2,0)，若cosθ=32，則sinθ等于__________． 【答案】?12 【解析】 分析：根據(jù)平方關(guān)系得sin2θ，再根據(jù)范圍取負(fù)值. 詳解：因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1，所以sin2θ=1-34=14 因?yàn)棣取?-π2,0)，所以sinθ=-12 點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的三種類型 (1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異. ①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的. (3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角. 23. 如圖所示，已知正方體ABCD?A1B1C1D1， E,F分別是D1B,A1C上不重合的兩個動點(diǎn)，給山下列四個結(jié)論： ①CE∥D1F； ②平面AFD∥平面B1EC1； ③AB1⊥EF； ④平面AED⊥平面ABB1A1. 其中，正確結(jié)論的序號是__________． 【答案】③④ 【解析】 分析：取E,F特殊位置可否定①②，根據(jù)線面垂直關(guān)系可得③④正確. 詳解：當(dāng)E=D1，F(xiàn)=A1時CE∥D1F與平面AFD∥平面B1EC1不成立，所以①②錯； 因?yàn)锳B1⊥平面BCD1A1，EF在平面BCD1A1內(nèi)，所以AB1⊥EF； 因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1，所以平面AED⊥平面ABB1A1.因此③④正確. 點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 24. 已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,3)，若點(diǎn)(4,0)在橢圓C上，則橢圓C的離心率等于__________． 【答案】35 【解析】 分析：根據(jù)橢圓幾何條件得b=4,c=3,解得a,以及離心率. 詳解：因?yàn)閎=4,c=3，所以a=5,e=35. 點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 25. 在一批棉花中隨機(jī)抽測了500根棉花纖維的長度(精確到1mm)作為樣本，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，由圖可知，樣本中棉花紅維的長度大于225mm的頻數(shù)是__________． 【答案】235 【解析】 分析：根據(jù)頻率分布直方圖得長度大于225mm的頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率的乘積得結(jié)果. 詳解：因?yàn)殚L度大于225mm的頻率為(0.0044+0.0050)50=0.47，所以長度大于225mm的頻數(shù)是0.47500=235. 點(diǎn)睛：頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1; 頻率分布直方圖中組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù); 頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應(yīng)概率之比,也等于對應(yīng)頻數(shù)之比. 三、解答題(本大題5個小題，共40分) 26. 已知函數(shù)f(x)=x2+(m?1)x+4，其中m為常數(shù). (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍: (2)若?x∈R，都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【答案】（1）{m|m≤1}（2）{m|?30恒成立， 所以Δ=(m-1)2-26<0 整理得m2-2m-15<0 解得-30)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?(?∞,?b2a]（A?[?b2a,+∞)）即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))． 27. 己知在等比數(shù)列{an}中，a2=14,aS=132. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an+n，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 【答案】（1）2-n（2）Sn=1-(12)n+n2+n22 【解析】 分析：(1)根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得首項(xiàng)與公比后代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可，(2)利用分組求和法，根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式即得結(jié)果. 詳解：(1)由等比數(shù)列的定義可知，公比q5-2=a5a2=18 解得q=12 由a2=a1q得a1=12 因此，所求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1=12(12)n-1 =(12)n=2-n (2)由上題可知，an=2-n 因?yàn)閚是等差數(shù)列，所以設(shè)Cn=n {an}的前n項(xiàng)和公式San=12[1-(12)n]1-12=1-(12)n {cn}的前n項(xiàng)和公式Scn=(1+n)n2=n+n22 所以Sn=1-(12)n+n2+n22 點(diǎn)睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和. 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如an=n,n為奇數(shù)2n,n為偶數(shù) ），符號型（如an=(-1)nn2 ），周期型　（如an=sinnπ3 ） 28. 如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且AB=NB=1，AD=MA=2. (1)求證: NC||面MAD； (2)求棱錐M?NAD的體積. 【答案】（1）見解析（2）23. 【解析】 分析：(1) 取MA中點(diǎn)H，根據(jù)平幾知識得四邊形NCDH為矩形，即得NC∥HD，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論， (2)先證AD垂直平面ABNM，再根據(jù)等體積法以及錐體體積公式得結(jié)果. 詳解： (1) NC∥平面MAD，取MA中點(diǎn)H， 連接NH,DH ∵M(jìn)A⊥平面ABCD，AM=2， 四邊形ANCD為矩形 NB⊥平面BCD，NB=1 ∴NB∥HA∥CD，NB=HA=CD ∴四邊形NCDH為平行四邊形 ∴NC∥HD,NC?MAD HD?平面MAD ∴NC∥平面MAD (2)以平面NAM為底，AD為高 SNAM=1221=1，AD=2 V=1312=23 點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 29. 如下圖所示，在ΔABC中，BC=7,2AB=3AC，P在BC上，且∠BAP=∠PAC=30°.求線段AP的長. 【答案】AP=6215 【解析】 分析：先根據(jù)余弦定理得AC，AB,再根據(jù)余弦定理求角B,由角平分線性質(zhì)定理得PB，最后根據(jù)余弦定理求AP. 詳解： 由余弦定理可知 cos∠BAC=cos60°= 9t2+4-4923t2t=12 ∴t=7,AB=37，AC=27 由余弦定理可知 cosB=63+49-282737 =277 sinB=217 sin[π-(∠B+∠BAP)] =sin(B+30°)=sin∠APB sin∠APB=sinB? cos30°+cosB?sin30° =217?32+277?12 =5714 由正弦定理可知 APsinB=ABsin∠APB 所以AP217=375714 因此AP=6215 點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 30. 雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與點(diǎn)F2重合，點(diǎn)M(2,26)是拋物線與雙曲線的一個交點(diǎn)，如圖所示. (1)求雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線與雙曲線的過一、三象限的漸近線平行，且交拋物線于A,B兩點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)C，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程. 【答案】（1）y2=12x，x2?y28=1（2）y=22x?2 【解析】 分析：(1)先根據(jù)M坐標(biāo)求p,得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再將M坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立方程組解得a,b，(2)先求漸近線方程，設(shè)直線方程，分別與拋物線方程、雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程，解得直線的方程. 詳解： (1) y2=2px代入M(2,26)得 26=2p?2 解得p=6 因?yàn)榻裹c(diǎn)為(3,0) 所以c=3，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上 將x2a2-y29-a2=1代入M(2,26) 所以a2=1或a2=36 (舍去) 所以c2=9,b2=8 所以她物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y28=1 (2)漸近線y=bax y=22x 設(shè)直線，y=22x+m y=22x+my2=12x 別消去得 將代入得 ，解得或，經(jīng)驗(yàn)證，不合題意，故舍去. 所以 點(diǎn)睛：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達(dá)定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點(diǎn)弦問題往往利用點(diǎn)差法.