《三年高考（2014-2016）數學（理）真題分項版解析—— 專題11 排列組合、二項式定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《三年高考（2014-2016）數學（理）真題分項版解析—— 專題11 排列組合、二項式定理（18頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 三年高考（2014-2016）數學（理）試題分項版解析 第十一章 排列、組合、二項式定理 一、選擇題 1. 【2016高考新課標2理數】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（ ） （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路，再從F處到G處最短共有條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為條，故選B. 考點：

2、 計數原理、組合. 【名師點睛】分類加法計數原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的． 分步乘法計數原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關聯的． 2. 【2016年高考四川理數】設i為虛數單位，則的展開式中含x4的項為 （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 考點：二項展開式，復數的運算. 【名師點睛】本題考查二項式定理及復數的運算，復數的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬于容易題.一般來說，掌握復數的基本概念及

3、四則運算即可．二項式的展開式可以改為，則其通項為，即含的項為． 3. 【2014高考廣東卷.理.8】設集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考點定位】本題考查分類計數原理，屬于拔高題 【名師點晴】本題主要考查的是分類計數原理，屬于難題．解題時一定要注意選出的元素是否與順序有關，否則很容易出現錯誤．利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要做到不重不漏，防止出現錯誤． 4. 【 201

4、4湖南4】的展開式中的系數是（ ） A. B. C.5 D.20 【答案】A 【解析】根據二項式定理可得第項展開式為,則時, ,所以的系數為,故選A. 【考點定位】二項式定理 【名師點睛】本題主要考查的是二項式定理，屬于容易題，解本題需要掌握的知識點是二項式定理，即二項式的展開式的通項是，然后令n選取恰當的值得到結果. 5. 【2016年高考四川理數】用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為 （A）24 ?。˙）48 ?。–）60 ?。―）72 【答案】D 【解析】 試題分析：

5、由題意，要組成沒有重復的五位奇數，則個位數應該為1、3、5中之一，其他位置共有隨便排共種可能，所以其中奇數的個數為，故選D. 考點：排列、組合 【名師點睛】利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．. 6. 【2015高考陜西，理4】二項式的展開式中的系數為15，則（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【考點定位】二項式定理

6、． 【名師點晴】本題主要考查的是二項式定理，屬于容易題．解題時一定要抓住重要條件“”，否則很容易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是二項式定理，即二項式的展開式的通項是． 7. 【2016高考新課標3理數】定義“規(guī)范01數列”如下：共有項，其中項為0，項 為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數.若，則不同的“規(guī)范01數列”共 有（ ） （A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1

7、 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 考點：計數原理的應用． 【方法點撥】求解計數問題時，如果遇到情況較為復雜，即分類較多，標準也較多，同時所求計數的結果不太大時，往往利用表格法、樹枝法將其所有可能一一列舉出來，常常會達到岀奇制勝的效果． 8. 【2014四川，理2】在的展開式中，含項的系數為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：，所以含項的系數為15.選C 【考點定位

8、】二項式定理. 【名師點睛】常規(guī)問題直接利用二項式定理求解，其中通項是核心，運算是保證；比較復雜的問題要回到最本質的計數原理去解決，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及冪的運算出現錯誤，或者不能從最本質的計數原理出發(fā)解決問題，盲目套用公式都是考試中常犯的錯誤. 10. 【2014四川，理6】六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【答案】B 【解析】 試題分析：最左端排甲，有種排法；最左端排乙，有種排法，共有種排法.選B. 【考點定位】排列組合. 【名師點睛】涉及排列與組合問題，區(qū)分的

9、關鍵是看選出的元素是否與順序有關，排列問題與順序有關，組合問題與順序無關．“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理． 11. 【2015高考四川，理6】用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有（ ） （A）144個 （B）120個 （C）96個 （D）72個 【答案】B 【考點定位】排列組合. 【名師點睛】利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意

10、不重不漏.在本題中，萬位與個位是兩個特殊位置，應根據這兩個位置的限制條件來進行分類. 12.【2015高考新課標1，理10】的展開式中，的系數為( ) （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 【答案】C 【解析】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數為=30，故選 C. 【考點定位】本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數. 【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某一項的系數問題，先分析該項的構成，結合所給多項式，分析如

11、何得到該項，再利用排列組知識求解. 14. 【2014年.浙江卷.理5】在的展開式中，記項的系數為，則 （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 答案：C 解析：由題意可得，故選C 考點：二項式系數. 【名師點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．求二項展開式中的項的方法：求二項展開式的特定項問題，實質是考查通項的特點，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項求解，注

12、意k的取值范圍(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m項：此時k＋1＝m，直接代入通項；(2)常數項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數為0建立方程；(3)有理項：令通項中“變元”的冪指數為整數建立方程．特定項的系數問題及相關參數值的求解等都可依據上述方法求解． 15.【2014高考重慶理第9題】某次聯歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 【答案】B

13、 考點：1、分類加法計數原理；2、排列. 【名師點睛】本題考查了綜合應用排列與組合知識解決實際的計數問題，屬于中檔題目，根據條件將分類，然后用分類計數原獲得結果. 16. 【2014湖北卷2】若二項式的展開式中的系數是84，則實數（ ） A.2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 試題分析：因為，令，得， 所以，解得，故選C. 考點：二項式定理的通項公式，容易題. 【名師點睛】本題考查了二項式定理的運用，其解題的關鍵是根據已知建立方程關系，屬容易題.充分體現了方程思想在數學解題中的應用，能較

14、好的考查學生對教材中的基本概念、基本規(guī)律和基本操作的識記能力和運算能力. 17. 【2015高考湖北，理3】已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（ ） A. B． C． D． 【答案】D 【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以，解得，所以二項式中奇數項的二項式系數和為. 【考點定位】二項式系數，二項式系數和. 【名師點睛】二項式定理中應注意區(qū)別二項式系數與展開式系數，各二項式系數和：，奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等. 18. 【201

15、4遼寧理6】把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的做法種數為（ ） A．144 B．120 C．72 D．24 【答案】C 考點：排列組合. 【名師點睛】本題考查簡單排列組合應用問題.從近幾年高考對這部分內容的考查看，基本是排列與組合相結合，多可以結合圖表分析解題途徑.本題首先將座位編號，分析任何兩人都不相鄰的情況，再安排人員就坐，現實背景熟悉，分析形象直觀，易于理解. 本題是一道基礎題，考查排列組合基礎知識，同時考查考生的計算能力及分析問題解決問題的能力. 19. 【2015湖南理2】已知的展開式中含的項的系數為30，則（ ） A.

16、 B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】 試題分析：，令，可得，故選D. 【考點定位】二項式定理. 【名師點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，屬于容易題，只要掌握的二項展開式的通項第項為，即可建立關于的方程，從而求解. 二、填空題 1. 【2016年高考北京理數】在的展開式中，的系數為__________________.（用數字作答） 【答案】60. 【解析】 試題分析：根據二項展開的通項公式可知，的系數為，故填：. 考點：二項式定理. 【名師點睛】1.所謂二項展開式的特定項，是指展開式中的某一項，如第項、常數項、有理項、字母指數

17、為某些特殊值的項.求解時，先準確寫出通項，再把系數與字母分離出來(注意符號)，根據題目中所指定的字母的指數所具有的特征，列出方程或不等式來求解即可；2、求有理項時要注意運用整除的性質，同時應注意結合的范圍分析. 2. 【2016高考新課標1卷】的展開式中,x3的系數是 .（用數字填寫答案） 【答案】 考點:二項式定理 3. 【2016高考天津理數】的展開式中x2的系數為__________.(用數字作答) 【答案】 【解析】 試題分析：展開式通項為，令，，所以的．故答案為． 考點：二項式定理 【名師點睛】1.求特定項系數問題可以分兩步完成：第一步是根據所給出

18、的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項． 2．有理項是字母指數為整數的項．解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其為整數，再根據數的整除性來求解． 4. 【2016高考山東理數】若（ax2+）5的展開式中x5的系數是—80，則實數a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析：因為，所以由，因此 考點：二項式定理 【名師點睛】本題是二項式定理問題中的常見題型，二項展開式的通項公式，往往是考試的重點.本題難度不大，易于得分.能較好

19、的考查考生的基本運算能力等. 5. 【2015高考天津，理12】在 的展開式中，的系數為 . 【答案】 【考點定位】二項式定理及二項展開式的通項. 【名師點睛】本題主要考查二項式定理及二項展開式的通項的應用.應用二項式定理典型式的通項，求出當時的系數，即可求得結果，體現了數學中的方程思想與運算能力相結合的問題. 6. 【2013高考北京理第12題】將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是__________． 【答案】96 【解析】 試題分析：連號有4種情況，從4人中挑一人得到連號參

20、觀券，其余可以全排列，則不同的分法有4×＝96(種)． 考點：排列組合. 名師點睛：本題考查排列、組合及計數原理有關問題，本題屬于中等難度問題，高考每年都會考查這個問題，題目或簡或難，由于命題可以很靈活，可以考查簡單的計數，也可以考查具體的排列組合基本方法如：相鄰問題捆綁法、不鄰插空法、分排問題直排法、有序問題用除法、隔板法等，本題為先選后排問題，從4人中挑一人得到連號參觀券，其余可以全排列，而得連號有四種可能情況發(fā)生，解決這樣的問題需要學生不但要有扎實的基本功，還要有分析問題和解決問題的能力. 7. 【2014高考北京理第13題】把5件不同產品擺成一排，若產品與產品相鄰， 且產品與產品

21、不相鄰，則不同的擺法有 種. 【答案】36 考點：排列組合，容易題. 【名師點睛】本題考查排列、組合及計數原理有關問題，本題屬于中等難度問題，高考每年都會考查這個問題，題目或簡或難，由于命題可以很靈活，可以考查簡單的計數，也可以考查具體的排列組合基本方法如：相鄰問題捆綁法、不鄰插空法、分排問題直排法、有序問題用除法、隔板法等，需要學生不但要有扎實的基本功，還要有分析問題和解決問題的能力. 8. 【2015高考北京，理9】在的展開式中，的系數為 ．（用數字作答） 【答案】40 【解析】利用通項公式，，令，得出的系數為 【考點定位】本題考點為二項式定理，利用

22、通項公式，求指定項的系數. 【名師點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求出指定項的系數，本題屬于基礎題,要求正確使用通項公式，準確計算指定項的系數. 9. 【2014高考廣東卷.理.11】從.........中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是的概率為 . 【答案】. 【解析】上述十個數中比小的數有個，比大的數有個，要使得所選的七個數的中位數為，則應該在比大的數中選擇個，在比大的數中也選擇個，因此所求事件的概率為. 【考點定位】本題考查排列組合與古典概型的概率計算，屬于能力題. 【名師點晴】本題主要考查的是排列組合和古典概型，屬于中等題．解題時要抓住重要字眼“中位

23、數是”，否則很容易出現錯誤．用排列組合列舉基本事件一定要做到不重不漏，防止出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是古典概型概率公式，即． 10. 【2015高考廣東，理9】在的展開式中，的系數為 . 【答案】． 【考點定位】二項式定理． 【名師點睛】本題主要考查二項式定理和運算求解能力，屬于容易題，解答此題關鍵在于熟記二項展開式的通項即展開式的第項為：． 11. 【2015高考廣東，理12】某高三畢業(yè)班有人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言．（用數字作答） 【答案】． 【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從人中

24、任選兩人的排列數，所以全班共寫了條畢業(yè)留言，故應填入． 【考點定位】排列問題． 【名師點睛】本題主要考查排列問題，屬于中檔題，解答此題關鍵在于認清人兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言是個排列問題． 12.【2014山東.理14】 若的展開式中項的系數為20，則的最小值 . 【答案】 【名師點睛】本題考查二項式定理及其通項公式、基本不等式.從近幾年高考對二項式定理的考查看，基本是以通項公式為解題的突破口，本題對有理指數冪的運算要求較高，容易出現計算不準而使解答陷入誤區(qū). 本題是一道小綜合題，重點考查二項式定理及其通項公式、基本不等式等基礎知識，同時考查考生的計算能力及分析問題

25、解決問題的能力. 13.【2014新課標，理13】 的展開式中，的系數為15，則a=________.(用數字填寫答案) 【答案】 【解析】因為，所以令，解得，所以=15，解得. 【考點定位】二項式定理. 【名師點睛】本題主要考查了二項式定理的通項公式，屬于基礎題，利用通項公式寫出特定項的系數，是二項式題目的最常見題目. 14.【2015高考新課標2，理15】的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，則__________． 【答案】 【解析】由已知得，故的展開式中x的奇數次冪項分別為，，，，，其系數之和為，解得． 【考點定位】二項式定理． 【名師點睛】本題考查二項式定理，

26、準確寫出二項展開式，能正確求出奇數次冪項以及相應的系數和，從而列方程求參數值，屬于中檔題． 15. 【2015高考四川，理11】在的展開式中，含的項的系數是 （用數字作答）. 【答案】. 【解析】 ，所以的系數為. 【考點定位】二項式定理. 【名師點睛】涉及二項式定理的題，一般利用其通項公式求解. 16. 【2016高考上海理數】在的二項式中，所有項的二項式系數之和為256，則常數項等于_________. 【答案】 【解析】 試題分析： 因為二項式所有項的二項系數之和為，所以，所以， 二項式展開式的通項為，令，得，所以. 考點：1.二項式定理；2.二項展

27、開式的系數. 【名師點睛】根據二項式展開式的通項，確定二項式系數或確定二項展開式中的指定項，是二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數的性質、二項式展開式的通項求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等. 17. 【2014課標Ⅰ，理13】的展開式中的系數為________.（用數字填寫答案） 【答案】 【考點定位】二項式定理． 【名師點睛】本題主要考查二項式定理的應用，考查考生的記憶能力和計算能力. 18. 【2014年.浙江卷.理14】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_____種

28、（用數字作答）. 答案： 解析：不同的獲獎分兩種，一是有一人獲兩張將卷，一人獲一張，共有，二是有三人各獲得一張，共有，因此不同的獲獎情況有種 考點：排列組合. 【名師點睛】本題考查排列、組合的應用，關鍵在于明確事件之間的關系，同時要掌握分類討論的處理方法；解決排列問題的主要方法(1)“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先．不管是從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置．(2)解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看做一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內部排列．(3)解決不相鄰問題的方

29、法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中．(4)對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(5)若某些問題從正面考慮比較復雜，可從其反面入手，即采用“間接法”．兩類組合問題的解法(1)“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少”、“最多”的問題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法或間接法都可以求解．通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理． 19. 【2015高考重慶，理1

30、2】的展開式中的系數是________(用數字作答). 【答案】 【解析】二項展開式通項為，令，解得，因此的系數為. 【考點定位】二項式定理 【名師點晴】的展開式的二項式系數與該項的系數是兩個不同的概念，前者只是指，它僅是與二項式的冪的指數n及項數有關的組合數，而與a，b的值無關；而后者是指該項除字母外的部分，即各項的系數不僅與各項的二項式系數有關，而且也與a，b的系數有關．在求二項展開式特定項的系數時要充分注意這個區(qū)別. 20. 【2014，安徽理13】設是大于1的自然數，的展開式為．若點的位置如圖所示，則． 【答案】 考點：1．二項展開式的應用． 【名師點睛】二項式常規(guī)

31、問題直接利用二項式定理求解，其中通項是核心，運算是保證；比較復雜的問題要回到最本質的計數原理去解決，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及冪的運算出現錯誤，或者不能從最本質的計數原理出發(fā)解決問題，盲目套用公式都是考試中常犯的錯誤.本題要結合圖形給定的條件與二項式展開中各項的表示. 21.【2015高考安徽，理11】的展開式中的系數是 .（用數字填寫答案） 【答案】 【解析】由題意，二項式展開的通項，令，得，則的系數是. 【考點定位】1.二項式定理的展開式應用. 【名師點睛】常規(guī)問題直接利用二項式定理求解，其中通項是核心，運算是保證；比較復雜的問題要回到最本質的計數原理去

32、解決，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及冪的運算出現錯誤，或者不能從最本質的計數原理出發(fā)解決問題，盲目套用公式都是考試中常犯的錯誤. 22.【2015高考福建，理11】 的展開式中，的系數等于 ．（用數字作答） 【答案】 【解析】 的展開式中項為，所以的系數等于． 【考點定位】二項式定理． 【名師點睛】本題考查二項式定理的特定項問題，往往是根據二項展開式的通項和所求項的聯系解題，屬于基礎題，注意運算的準確度． 23.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分10分） （1）求 的值； （2）設m，nN*，n≥m，求證： （m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）. 【答案】（1）0（2）詳見解析 試題解析：解：（1） （2）當時，結論顯然成立，當時 又因為 所以 因此 考點：組合數及其性質 【名師點睛】本題從性質上考查組合數性質，從方法上考查利用數學歸納法解決與自然數有關命題，從思想上考查運用算兩次解決二項式有關模型. 組合數性質不僅有課本上介紹的、，更有，現在又有，這些性質不需記憶，但需會推導，更需會應用.