2020高考數(shù)學刷題首選卷 第六章 立體幾何 考點測試48 立體幾何中的向量方法 理（含解析）.docx
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考點測試48 立體幾何中的向量方法 高考概覽 考綱研讀 1．理解直線的方向向量與平面的法向量 2．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系 3．能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理) 4．能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應用 5．能用向量法解決空間的距離問題 一、基礎小題 1．若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則( ) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確 答案 C 解析 因為cos〈n1n2〉＝≠0且cos〈n1，n2〉≠1，所以α，β相交但不垂直． 2．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是( ) A． B． C． D．3 答案 B 解析 兩平面的一個單位法向量n0＝，故兩平面間的距離d＝|n0|＝． 3．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為( ) A．30 B．60 C．120 D．150 答案 A 解析 因為cos〈m，n〉＝－，所以l與α所成角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，又θ∈，所以θ＝30． 4．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( ) A． B． C． D． 答案 A 解析 不妨令CB＝1，則CA＝CC1＝2． 故O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)， 所以＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)， 所以cos〈，〉＝＝＝．所以直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為．故選A． 5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin〈，〉的值為( ) A． B． C． D． 答案 B 解析 設正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系(如圖)，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)， cos〈，〉＝－， sin〈，〉＝． 6．已知向量A＝(2，2，1)，A＝(4，5，3)，則平面ABC的單位法向量是( ) A．，－， B．－，，－ C．，－1，1 D．，－， 答案 D 解析 設平面ABC的一個法向量是n＝(x，y，z)，則取z＝1，得x＝，y＝－1．則n＝，－1，1，|n|＝，故平面ABC的單位法向量是，－，．故選D． 7．如圖，在四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2．∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為( ) A． B． C． D． 答案 B 解析 二面角A－BC－D的大小等于AB與CD所成角的大?。剑?＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2||||cos〈，〉＋2||||cos〈，〉＋2||||cos〈，〉＝2＋2＋2＋2||||cos〈，〉，即12＝1＋4＋9＋22cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝－，∴與所成角為，即二面角A－BC－D的大小為π－＝．故選B． 二、高考小題 8．(2018全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( ) A． B． C． D． 答案 C 解析 以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，)，D1(0，0，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，)，因為cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C． 9．(經(jīng)典江西高考)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12．一質(zhì)點從頂點A射向點E(4，3，12)，遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理)，將第i－1次到第i次反射點之間的線段記為Li(i＝2，3，4)，L1＝AE，將線段L1，L2，L3，L4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是( ) 答案 C 解析 由對稱性知質(zhì)點經(jīng)點E反射到平面ABCD的點E1(8，6，0)處．在坐標平面xAy中，直線AE1的方程為y＝x，與直線DC的方程y＝7聯(lián)立得F．由兩點間的距離公式得E1F＝，∵tan∠E2E1F＝tan∠EAE1＝， ∴E2F＝E1Ftan∠E2E1F＝4．∴E2F1＝12－4＝8． ∴＝＝＝＝．故選C． 10．(2015四川高考)如右圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，設異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為________． 答案 解析 建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量進行求解． 以AB，AD，AQ所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設正方形邊長為2，M(0，y，2)(0≤y≤2)，則A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(xiàn)(2，1，0)， ∴＝(－1，y，2)，||＝，＝(2，1，0)，||＝， ∴cosθ＝＝＝． 令t＝2－y，要使cosθ最大，顯然0
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