《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第5章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第5章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 Word版含解析（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 [最新考綱]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 1．向量的夾角 已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]． 2．平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos

2、 θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3．平面向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b

3、＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的

4、運算結(jié)果是向量．(　　) (2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|為(　　) A．12　　　　　　 B．6 C．3 D．3 B　[a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.] 2．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b 的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________． －2　[由數(shù)量積的定義

5、知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，則a與b的夾角θ＝________. 　[cos θ＝＝＝－. 又因為0≤θ≤π，所以θ＝.] 4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝________. 8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)， ∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得 (a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.] 考點1　平面向量數(shù)量積的運算 　平面向量數(shù)量積的3種運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a

6、·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義求解． 　(1)(2019·全國卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3　　　 B．－2　　　 C．2　　　 D．3 (2)[一題多解]如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________. (1)C　(2)12　[(1)∵＝－＝(1，t－3)， ∴||＝＝1， ∴t＝3， ∴·＝(2,3)·(1,0)＝2. (2)

7、法一：(定義法)因為·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·. 因為AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos ，化簡得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12. 法二：(坐標法)如圖，建立平面直角坐標系xAy. 依題意，可設(shè)點D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，則由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化簡得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.] [逆向問題]　已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABD＝30°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC

8、上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，則λ的值為(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 B　[依題意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故選B.] 　解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算常有兩種思路：一是定義法，二是坐標法，定義法可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補；坐標法要建立合適的坐標系． 　1.(2019·昆明模擬)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N為DC的中點，＝2，則·＝________. 24　

9、[法一：(定義法)·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24. 法二：(特例圖形)：若?ABCD為矩形，建立如圖所示坐標系， 則N(4,6)，M(8,4)． 所以＝(8,4)，＝(4，－2) 所以·＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.] 2．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中點，E在BC上，且AE⊥BD，則·＝(　　) A．16 B．12 C．8 D．－4 A　[建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．設(shè)E(0，b)，因為AE⊥BD，所以·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以b＝，

10、 所以E，＝， 所以·＝16，故選A.] 考點2　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 　平面向量的模 　求向量模的方法 利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝； (2)|a±b|＝＝； (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 　(1)[一題多解](2019·昆明調(diào)研)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，則|2a－b|＝(　　) A． B．2 C． D．10 (2)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC中點，則||等于(　　) A．2 B．4 C．6

11、D．8 (3)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為_______． (1)C　(2)A　(3)5　[(1)法一：因為a＝(－1,2)，所以2a＝(－2,4)，因為b＝(1,3)，所以2a－b＝(－3,1)，所以|2a－b|＝，故選C. 法二：在直角坐標系xOy中作出平面向量a,2a，b,2a－b，如圖所示，由圖易得|2a－b|＝，故選C. (2)因為＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，則||＝2. (3)建立平面直角坐

12、標系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)． 所以|＋3| ＝(0≤y≤b)． 當y＝b時，|＋3|min＝5.] 　在求解與向量的模有關(guān)的問題時，往往會涉及“平方”技巧，注意對結(jié)論(a±b)2＝|a|2＋|b|2±2a·b，(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)的靈活運用．另外，向量作為工具性的知識，具備代數(shù)和幾何兩種特征，求解此類問題時可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，從而加快解題速度． 　平面向量的夾角 　求向量夾角問題的方法 (1)定義法：當a，b是

13、非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cos θ＝求得． (2)坐標法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． (3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解． 　(1)[一題多解](2019·全國卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. (2)[一題多解](2019·全國卷Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos〈a，c〉＝________. (1)B　(2)　[(1)

14、法一：因為(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因為|a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故選B. 法二：如圖，令＝a，＝b，則＝－＝a－b，因為(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°， 又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝.故選B. (2)法一：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， ∴a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2， |c|＝|2a－b|＝ ＝＝3. ∴cos〈a，c〉＝＝. 法二：不妨設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)， 則c＝2(1,

15、0)－(0,1)＝(2，－)， ∴cos〈a，c〉＝＝.] [逆向問題]　若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________． ∪　[因為2a－3b與c的夾角為鈍角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0， 所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b與c反向共線，則＝－6，解得k＝－，此時夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是∪.] 　(1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點”；兩個非零共線向量的夾角可能是0°或180°；求角時，注意向量夾角的取值范圍是[0°，180°]． (2)數(shù)量積

16、大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角．如本例的[逆向問題]． 　兩向量垂直問題 　a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 　已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 　[因為⊥，所以·＝0. 又＝λ＋，＝－， 所以(λ＋)·(－)＝0， 即(λ－1)·－λ2＋2＝0， 所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.] 　1.利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題 若證

17、明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可． 2．已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值 根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)． 　1.(2019·南寧模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝，則a＋2b與b的夾角是(　　) A. B. C. D. A　[因為|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝. 又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝， 所以cos〈a＋2b，b〉

18、＝＝＝， 所以a＋2b與b的夾角為.故選A.] 2．(2019·青島模擬)已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若與的夾角為60°，且⊥，則實數(shù)的值為(　　) A. B. C.6 D.4 A　[因為向量||＝3，||＝2，＝m＋n，與夾角為60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3， 所以·＝(－)·(m＋n) ＝(m－n)·－m||2＋n||2 ＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故選A.] 3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，則|a＋2b|＝________. 4　[因為|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3， 所以(a＋b)2＝|a

19、|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9， 所以a·b＝－2， 所以|a＋2b|＝＝＝＝4.] 考點3　平面向量的應(yīng)用 　平面向量是有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面，解決此類問題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問題，進而利用向量方法求解． 　(1)在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，則△ABC的面積為(　　) A．4 B．5 C．2 D．3 (2)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·(＋)的最小值是(

20、　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 (1)C　(2)B　　[(1)∵＝(2,2)，∴||＝2， ∴·＝||||cos A ＝2×2cos A＝－4， ∴cos A＝－， 又A∈(0，π)， ∴sin A＝， ∴S△ABC＝||||sin A＝2，故選C. (2)建立坐標系如圖所示，則A，B，C三點的坐標分別為A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)． 設(shè)P點的坐標為(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， ∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－y)＝2 ≥2×＝－. 當且僅當x＝0，y＝時，·(

21、＋)取得最小值，最小值為－.故選B.] 　用向量法解決平面(解析)幾何問題的2種方法 (1)幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知，模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算； (2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算． 一般地，存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法． 　1.平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，點P在邊CD上，則·的取值范圍是(　　) A．[－1,8]　　　　　 B．[－1，＋∞) C．[0,8] D．[－1,0] A　[由題意得·＝||·||

22、·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A為原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因為點P在邊CD上，所以不妨設(shè)點P的坐標為(a，)(1≤a≤5)，則·＝(－a，－)·(4－a，－)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，則當a＝2時，·取得最小值－1；當a＝5時，·取得最大值8，故選A.] 2．已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝a·b＝2且(a－c)·(b－c)＝0，則|2b－c|的最大值為________． ＋1　[∵|a|＝|b|＝a·b＝2， ∴cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝60°. 設(shè)＝a＝(2,0)，＝b＝(1，)，＝c， ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴⊥， ∴點C在以AB為直徑的圓M上，其中M，半徑r＝1. 延長OB到D，使得＝2b(圖略)，則D(2,2)． ∵2b－c＝－＝， ∴|2b－c|的最大值為CD的最大值． ∵DM＝＝， ∴CD的最大值為DM＋r＝＋1.]