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專題5 概率與統(tǒng)計(jì)
一、計(jì)數(shù)原理
1.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別是什么?
分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.
2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)是什么?
公式
(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!
(2)Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!
=n!m!(n-m)!(n,m∈N+,且m≤n)
特別地,Cn0=1
性質(zhì)
(1)0!=1;Ann=n!
(2)Cnm=Cnn-m;Cn+1m=Cnm+Cnm-1
3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是什么?
性質(zhì)
性質(zhì)描述
對稱性
與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等,即Cnk=Cnn-k
增減性
二項(xiàng)式系數(shù)Cnk
當(dāng)k
n+12(n∈N+)時,二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的
二項(xiàng)式
系數(shù)的
最大值
當(dāng)n為偶數(shù)時,中間的一項(xiàng)Cnn2取得最大值
當(dāng)n為奇數(shù)時,中間的兩項(xiàng)Cnn-12與Cnn+12取得最大值并且相等
4.各二項(xiàng)式系數(shù)的和是什么?
(1)(a+b)n展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
(2)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1.
二、概率
1.互斥事件與對立事件有什么區(qū)別與聯(lián)系?
互斥與對立都是兩個事件的關(guān)系,互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件,而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求二者之一必須有一個發(fā)生.因此,對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件不一定是對立事件.
2.基本事件的三個特點(diǎn)是什么?
(1)每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的;
(2)任何兩個基本事件都是互斥的;
(3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
3.古典概型、幾何概型的概率公式分別是什么?
古典概型的概率公式:
P(A)=事件A包含的基本事件的個數(shù)(m)基本事件的總數(shù)(n).
幾何概型的概率公式:
P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).
三、統(tǒng)計(jì)初步與統(tǒng)計(jì)案例
1.分層抽樣的適用范圍是什么?
當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣的方法.
2.如何作頻率分布直方圖?
(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).
(2)決定組距與組數(shù).
(3)將數(shù)據(jù)分組.
(4)列頻率分布表.
(5)畫頻率分布直方圖.
3.頻率分布直方圖的特點(diǎn)是什么?
(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距,縱坐標(biāo)表示頻率組距,頻率=組距頻率組距.
(2)在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積總和等于1.因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個固定值,所以各小長方形高的比也就是頻率比.
(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀.
4.如何進(jìn)行回歸分析?
(1)定義:對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.
(2)樣本點(diǎn)的中心
對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中(x-,y-)稱為樣本點(diǎn)的中心.
(3)相關(guān)系數(shù)
當(dāng)r>0時,表明兩個變量正相關(guān);
當(dāng)r<0時,表明兩個變量負(fù)相關(guān).
r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱.通常當(dāng)|r|大于0.75時,認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.
5.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟是什么?
解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題,一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟:
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表;
(2)根據(jù)公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)計(jì)算K2的觀測值k;
(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系,做出統(tǒng)計(jì)推斷.
四、隨機(jī)變量及其應(yīng)用
1.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)是什么?
(1)離散型隨機(jī)變量的分布列:若離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率為p1,p2,…,pn,則表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.
(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì):
①0≤pi≤1(i=1,2,3,…,n);
②p1+p2+…+pn=1;
③P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj.
2.事件的相互獨(dú)立性的概念及公式是什么?
(1)相互獨(dú)立的定義:事件A是否發(fā)生對事件B是否發(fā)生的概率沒有影響,即P(B|A)=P(B).這時,稱事件A與事件B相互獨(dú)立,并把這兩個事件叫作相互獨(dú)立事件.
(2)概率公式
條件
公式
事件A,B相互獨(dú)立
P(A∩B)=P(A)P(B)
事件A1,A2,…,An相互
獨(dú)立
P(A1∩A2∩…∩An)
=P(A1)P(A2)…P(An)
3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的概念和公式是什么?
(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
①定義:在相同條件下,重復(fù)地做n次試驗(yàn),各次試驗(yàn)相互獨(dú)立,那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
②概率公式:在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
(2)二項(xiàng)分布:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事件A不發(fā)生的概率為q=1-p,則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X=k)=Cnkpkqn-k,其中k=0,1,2,…,n,于是X的分布列:
X
0
1
…
k
…
n
P
Cn0p0qn
Cn1pqn-1
…
Cnkpkqn-k
…
Cnnpnq0
此時稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).
4.正態(tài)分布的概念及性質(zhì)是什么?
(1)正態(tài)曲線:正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫作正態(tài)曲線,其函數(shù)表達(dá)式為f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ,σ為參數(shù),且σ>0,-∞<μ<+∞.
(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)
①曲線位于x軸上方,與x軸不相交,與x軸之間的面積為1;
②曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;
③曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ2π;
④當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.
(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
①P(μ-σP2 B.P1100,D正確.故選C.
答案? C
13.(2017全國Ⅲ卷理T3)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( ).
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
解析? 對于選項(xiàng)A,由圖易知,月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份,故A錯誤;對于選項(xiàng)B,觀察折線圖的變化趨勢可知,年接待游客量逐年增加,故B正確;對于選項(xiàng)C,D,由圖可知顯然正確.
答案? A
(八)考查離散型隨機(jī)變量分布列、超幾何分布、條件概率、正態(tài)分布、數(shù)學(xué)期望與方差,求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是全國卷高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,在選擇題、填空題中有時會出現(xiàn).主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、正態(tài)分布等.
14.(2018全國Ⅲ卷理T8改編)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.1,P(X=4)0.5.故p=0.7.
答案? A
15.(2017全國Ⅱ卷理T13改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.08,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)= .
解析? 有放回地抽取,是一個二項(xiàng)分布模型,其中p=0.08,n=100,則D(X)=np(1-p)=1000.080.92=7.36.
答案? 7.36
二、解答題的命題特點(diǎn)
概率與統(tǒng)計(jì)綜合試題的題干閱讀量大,容易造成考生在數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化過程中失誤,得分率不高.這些試題主要考查古典概型,用樣本估計(jì)總體,利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測,獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,正態(tài)分布等.概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望交匯命題,高考對此類題目的要求是能根據(jù)給出的或通過統(tǒng)計(jì)圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回歸方程.
1.(2018全國Ⅱ卷理T18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.
為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y＾=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y＾=99+17.5t.
(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值.
(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.
解析? (1)利用模型①,從2000年開始算起,2018年即t=19,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y＾=-30.4+13.519=226.1(億元).
利用模型②,從2010年開始算起,2018年即t=9,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y＾=99+17.59=256.5(億元).
(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
理由如下:
(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y＾=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
(ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.
2.(2018全國Ⅰ卷,理T20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(00,f(p)單調(diào)遞增;當(dāng)p∈110,1時,f(p)<0,f(p)單調(diào)遞減.
故f(p)max=f(p0)=f110,即p0=110.
(2)(i)由題意,剩余未作檢驗(yàn)的產(chǎn)品有180件,其中Y表示不合格品的件數(shù),其服從二項(xiàng)分布Y~B180,110.
故E(Y)=180110=18.
又X=40+25Y,
故E(X)=E(40+25Y)=40+2518=490(元).
(ii)若對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),則需要的檢驗(yàn)費(fèi)為2002=400(元).
因?yàn)镋(X)=490>400,所以需要對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).
3.(2018全國Ⅲ卷理T18)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由.
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解析? (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
理由如下:
(i)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(iii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(iv)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(2)由莖葉圖知m=79+812=80.
列聯(lián)表如下:
超過m
不超過m
第一種生產(chǎn)方式
15
5
第二種生產(chǎn)方式
5
15
(3)因?yàn)镵2的觀測值k=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
4.(2017全國Ⅰ卷理T19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望.
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性.
(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98
10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
經(jīng)計(jì)算得x-=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x-)2=116(∑i=116xi2-16x-2)≈0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù)x-作為μ的估計(jì)值μ＾,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ＾,利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ
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微型專題
專題5
概率與統(tǒng)計(jì)知識整合學(xué)案
2019
高考
數(shù)學(xué)
二輪
復(fù)習(xí)
一篇
微型
專題
概率
統(tǒng)計(jì)
知識
整合
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