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模塊綜合試卷 (時間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1.命題“?x∈R，x2＋x≤0”的否定是__________________. 答案　?x∈R，x2＋x>0 2.雙曲線x2－＝1的漸近線方程為______________. 答案　y＝2x 解析　令x2－＝0，得y＝2x，即為雙曲線x2－＝1的漸近線方程. 3.曲線y＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程為________. 答案　2x－y＋1＝0 解析　y＝x3－x＋3，所以y′＝3x2－1，當(dāng)x＝1時，k＝2，由點斜式方程得y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 4.命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b∈R)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為________. 答案　2 解析　若a>b，c2＝0，則ac2＝bc2.所以原命題為假.若ac2>bc2，則c2≠0且c2>0，則a>b.所以逆命題為真.又因為逆命題與否命題等價，所以否命題也為真.又因為，逆否命題與原命題等價，所以逆否命題為假. 5.已知橢圓＋＝1的一個焦點為F(3,0)，則m＝______. 答案　7 解析　由題意，知16－m＝32，解得m＝7. 6.若拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點，則拋物線方程為________. 答案　y2＝－12x 解析　雙曲線方程化為－＝1，左頂點為(－3,0)， 由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)， 則－＝－3， ∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x. 7.下列有關(guān)命題的說法錯誤的序號是________. ①命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”； ②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件； ③命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”； ④命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題. 答案?、佗冖? 解析　對于①，否命題為“若x2≠1，則x≠1”，錯誤； 對于②，當(dāng)x＝－1時，x2－5x－6＝0成立；反過來，當(dāng)x2－5x－6＝0成立時，x＝－1或6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，錯誤； 對于③，否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，錯誤； 對于④，原命題顯然為真命題，所以其逆否命題也是真命題，正確. 8.若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分條件，則m的最大值為________. 答案　－2 解析　若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分條件，則集合{x|x＜m}是集合{x|x＜－2或x＞4}的真子集，所以m≤－2，即m的最大值為－2. 9.已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，AF＋BF＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為____________________________________. 答案　 解析　∵AF＋BF＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為＝. 10.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積最大，則其高為________cm. 答案　 解析　設(shè)圓錐的體積為Vcm3，高為hcm， 則V＝π(400－h(huán)2)h＝π(400h－h(huán)3)， ∴V′＝π(400－3h2)， 由V′＝0，得h＝， ∴當(dāng)h＝cm時，V最大. 11.已知f(x)＝(2x－x2)ex，給出以下四個結(jié)論： ①f(x)>0的解集是{x|00,2x－x2>0,00，f(x)單調(diào)遞增，所以f(－)是極小值，f()是極大值，故②正確；由題意知，f()為最大值，且無最小值，故③錯誤，④正確. 12.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為M，且MF與雙曲線的實軸垂直，則雙曲線C的離心率為________. 答案　 解析　如圖，雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，點M的坐標為，由MN＝MF，可得b＝，所以a＝b，離心率為. 13.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若直線x＝ma(m>1)上存在一點P，使△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則實數(shù)m的取值范圍為________. 答案　(1,2) 解析　因為F1F2＝2c，所以PF2＝2c. 又△F2PF1為底角為30的等腰三角形， 所以∠PF2F1＝120. 設(shè)直線x＝ma與x軸交于點D，所以∠PF2D＝60， 即F2D＝c，所以ma－c＝c， 即m＝＝2e∈(0,2)， 又m>1，所以m∈(1,2). 14.把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個等邊三角形，那么這兩個等邊三角形的面積之和的最小值是________cm2. 答案　2 解析　設(shè)其中一段為xcm，則面積之和S＝2＋2＝(x2－12x＋72)，S′＝(x－6). 令S′＝0，得x＝6. 當(dāng)x＜6時，S′＜0；當(dāng)x＞6時，S′＞0. 所以當(dāng)x＝6時，Smin＝2 (cm2). 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15.(14分)已知p：1<2x<8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若綈p是綈q的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍. 解　p：1<2x<8，即00，使得f(x0)＝y(tǒng)0；命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R.若“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍. 解　若命題p為真，?x0∈R，?y0>0，使得f(x0)＝y(tǒng)0等價于?x∈R，f(x)>0恒成立， 所以Δ＝a2－4<0?－20恒成立， 則得a>， 綜上，當(dāng)命題q為真時，a>； 又因為“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題， 所以p，q一真一假； ①當(dāng)p真q假時，－2ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1. (1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R， 知f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln2， 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：  x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝2(1－ln2＋a). (2)證明　設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知當(dāng)a>ln2－1時，g′(x)的最小值為 g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是對任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0， 所以g(x)在R上單調(diào)遞增. 于是當(dāng)a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0). 而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 19.(16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點.過橢圓C的左頂點A作直線交橢圓C于另一點P，交直線l：x＝m(m＞a)于點M.已知點B(1,0)，直線PB交l于點N. (1)求橢圓C的方程； (2)若MB是線段PN的垂直平分線，求實數(shù)m的值. 解　(1)因為橢圓C的離心率為，所以a2＝4b2. 又因為橢圓C過點，所以＋＝1， 解得a2＝4，b2＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)方法一　設(shè)P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1， 則＋y＝1. 因為MB是PN的垂直平分線，所以P關(guān)于B的對稱點N(2－x0，－y0)， 所以2－x0＝m. 由A(－2,0)，P(x0，y0)，可得直線AP的方程為y＝(x＋2)， 令x＝m，得y＝，即M. 因為PB⊥MB，所以kPBkMB＝－1， 即＝－1， 即＝－1. 因為＋y＝1，所以＝1. 因為x0＝2－m，所以化簡得3m2－10m＋4＝0， 解得m＝. 因為m＞2，所以m＝. 方法二?、佼?dāng)AP的斜率不存在或為0時，不滿足條件. ②設(shè)AP的斜率為k，則AP：y＝k(x＋2)， 聯(lián)立消去y，得 (4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 因為xA＝－2，所以xP＝，所以yP＝， 所以P. 因為PN的中點為B，所以m＝2－＝.(*) 因為AP交直線l于點M，所以M(m，k(m＋2))， 因為直線PB與x軸不垂直， 所以≠1，即k2≠， 所以kPB＝＝，kMB＝. 因為PB⊥MB，所以kPBkMB＝－1， 所以＝－1.(**) 將(*)代入(**)，化簡得48k4－32k2＋1＝0， 解得k2＝，所以m＝＝. 又因為m＞2，所以m＝. 20.(16分)已知函數(shù)f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R). (1)函數(shù)f(x)與h(x)的圖象無公共點，試求實數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)m，使得對任意的x∈，都有函數(shù)y＝f(x)＋的圖象在g(x)＝的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)m的值；若不存在，請說明理由. (參考數(shù)據(jù)：ln2＝0.6931，ln3＝1.0986，＝1.6487，＝1.3956). 解　(1)函數(shù)f(x)與h(x)無公共點，等價于方程＝a在(0，＋∞)上無解. 令t(x)＝，則t′(x)＝，令t′(x)＝0，得x＝e. 當(dāng)x變化時，t′(x)，t(x)的變化情況如下表： x (0，e) e (e，＋∞) t′(x) ＋ 0 － t(x) ↗ 極大值 ↘ 因為x＝e是唯一的極大值點，故t(x)max＝t(e)＝， 故要使方程＝a在(0，＋∞)上無解，當(dāng)且僅當(dāng)a>， 故實數(shù)a的取值范圍為. (2)假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意，則不等式lnx＋<對x∈恒成立. 即m0，且φ′(x)的圖象在上連續(xù)，所以存在x0∈，使得φ′(x0)＝0，即ex0－＝0，則x0＝－lnx0， 所以當(dāng)x∈時，φ(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，φ(x)單調(diào)遞增， 則φ(x)取到最小值φ(x0)＝ex0－lnx0－1＝x0＋－1≥2－1＝1>0， 所以r′(x)>0，即r(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增. m≤r＝－ln＝＋ln2＝1.99525， 所以存在實數(shù)m滿足題意，且最大整數(shù)m的值為1.