2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓(xùn)10 圓錐曲線中的綜合問題 文.doc
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專題限時集訓(xùn)(十) 圓錐曲線中的綜合問題 (建議用時:60分鐘) 1.(2018北京模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且過點. (1)求橢圓C的方程; (2)過橢圓C的左焦點的直線l1與橢圓C交于A,B兩點,直線l2過坐標(biāo)原點且與直線l1的斜率互為相反數(shù).若直線l2與橢圓交于E,F(xiàn)兩點且均不與點A,B重合,設(shè)直線AE與x軸所成的銳角為θ1,直線BF與x軸所成的銳角為θ2,判斷θ1與θ2的大小關(guān)系并加以證明. [解] (1)由題可得解得. 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)結(jié)論:θ1=θ2,理由如下: 由題知直線l1斜率存在, 設(shè)l1:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2). 聯(lián)立, 消去y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 由題易知Δ>0恒成立, 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-,x1x2=, 因為l2與l1斜率相反且過原點, 設(shè)l2:y=-kx,E(x3,y3),F(xiàn)(x4,y4), 聯(lián)立 消去y得(1+2k2)x2-2=0, 由題易知Δ>0恒成立, 由根與系數(shù)的關(guān)系得x3+x4=0,x3x4=, 因為E,F(xiàn)兩點不與A,B重合, 所以直線AE,BF存在斜率kAE,kBF, 則kAE+kBF =k =k =k=0, 所以直線AE,BF的傾斜角互補,所以θ1=θ2. 2.(2018棗莊模擬)已知拋物線C:y2=2px(0b>0)的離心率與雙曲線-=1的離心率互為倒數(shù),且過點P. (1)求橢圓C的方程; (2)過P作兩條直線l1,l2與圓(x-1)2+y2=r2(0<r<)相切且分別交橢圓于M、N兩點. ①求證:直線MN的斜率為定值; ②求△MON面積的最大值(其中O為坐標(biāo)原點). [解] (1)可得e=,設(shè)橢圓的半焦距為c,所以a=2c, 因為C過點P,所以+=1,又c2+b2=a2,解得a=2,b=,所以橢圓方程為+=1. (2)①證明:顯然兩直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2), 由于直線l1,l2與圓(x-1)2+y2=r2(0<r<)相切,則有k1=-k2, 直線l1的方程為y-=k1(x-1),聯(lián)立方程組 消去y,得x2(4k+3)+k1(12-8k1)x+(3-2k1)2-12=0, 因為P,M為直線與橢圓的交點,所以x1+1=, 同理,當(dāng)l2與橢圓相交時,x2+1=, 所以x1-x2=,而y1-y2=k1(x1+x2)-2k1=, 所以直線MN的斜率k==. ②設(shè)直線MN的方程為y=x+m,聯(lián)立方程組消去y得x2+mx+m2-3=0, 所以|MN|==, 原點O到直線的距離d=, △OMN面積為S= =≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)m2=2時取得等號.經(jīng)檢驗,存在r(0<r<),使得過點P的兩條直線與圓(x-1)2+y2=r2相切,且與橢圓有兩個交點M,N. 所以△OMN面積的最大值為.
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