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小題標準練(五) (40分鐘　80分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.設集合A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b-a,a∈A,b∈B},則C中元素的個數(shù)是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】選B.由已知得C={1,2,3,4},其中元素個數(shù)為4個. 2.復數(shù)z=2-1+i,則 (　　) A.z的共軛復數(shù)為1+i B.z的實部為1 C.|z|=2 D.z的虛部為-1 【解析】選D.z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i. 3.函數(shù)f(x)=log12(x2-4)的單調遞增區(qū)間為 (　　) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 【解析】選D.函數(shù)y=f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(2,+∞),因為函數(shù)y=f(x)是由y=log12t與t=g(x)=x2-4復合而成,又y=log12t在(0,+∞)上單調遞減,g(x)在 (-∞,-2)上單調遞減,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2)上單調遞增. 4.若sinα+π4=2(sin α+2cos α),則sin 2α= (　　) A.-45 B.45 C.-35 D.35 【解析】選C.由題意知22(sin α+cos α)=2(sin α+2cos α),所以sin α=-3cos α,即tan α=-3, 所以sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=-35. 5.某算法的程序框圖如圖所示,若輸出結果為3,則可輸入的實數(shù)x的個數(shù)共有_________個. (　　) A.1　 B.2　 C.3 D.4 【解析】選C.框圖運算的是分段函數(shù)y=x2-1,x≤2log2x,x>2的值,x=-2,2,8,共3解. 6.將自然數(shù)0,1,2,…按照如圖形式進行擺列: 根據(jù)以上規(guī)律判定,從2 016到2 018的箭頭方向是 (　　) 【解析】選A.從所給的圖形中觀察得到規(guī)律:每隔四個單位,箭頭的走向是一樣的,比如說,0→1,箭頭垂直指下,4→5,箭頭也是垂直指下,8→9也是如此,而 2 016=4504,所以2 016→2 017也是箭頭垂直指下,之后2 017→2 018的箭頭是水平向右. 7.已知函數(shù)y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的圖象所過定點的橫、縱坐標分別是等差數(shù)列{an}的第二項與第三項,若bn=1anan+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T10= (　　) A.911 B.1011 C.1 D.1211 【解析】選B.函數(shù)y=loga(x-1)+3的圖象過定點(2,3),所以a2=2,a3=3,所以d=a3-a2=1,所以an=n.所以bn=1n(n+1)=1n-1n+1.所以T10=(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(110-111)=1-111=1011. 8.已知點P在單位圓x2+y2=1上運動,點P到直線3x-4y-10=0與x=3的距離分別記為d1、d2,則d1+d2最小值為 (　　) A.5-455　 B.5-55　 C.5+55　 D.5-255 【解析】選A.設Pcosθ,sinθ, 則d1=3cosθ-4sinθ-105=2+45sin θ-35cos θ,而d2=3-cos θ,所以d1+d2= 5+45sin θ-85cos θ=5+455sinθ-φ,所以d1+d2最小值為5-455. 9.△ABC中,三內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c-b2c-a=sinAsinB+sinC,則角B= (　　) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 【解析】選B.c-b2c-a=sinAsinB+sinC?c-b2c-a=ab+c?c2-b2=2ac-a2,b2=a2+c2-2ac=a2+c2-2accos B?cos B=22?B=π4. 10.由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則:①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”; ④“t≠0,mt=nt?m=n”類比得到“p≠0,ap=bp?a=b”; ⑤“|mn|=|m||n|”類比得到“|ab|=|a||b|”; ⑥“acbc=ab”類比得到以上的式子中,類比得到的結論正確的個數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選B.①②正確,③④⑤⑥錯誤. 11.設函數(shù)f(x)=ln x-12mx2-nx,若x=1是f(x)的極大值點,則m的取值范圍為 (　　) A.(-1,+∞) B.(-1,0) C.(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 【解析】選A.f′(x)=1x-mx-n(x>0)由已知可得:f′(1)=0,所以m+n=1. 所以f′(x)=1x-mx-1+m=-mx2+(m-1)x+1x=(-mx-1)(x-1)x, 當m≥0時,-mx-1<0恒成立, 當x>1時,f′(x)<0,當00,f(x)在x=1時取得極大值. 當m<0時,令f′(x)=0,解得x=1或x=-1m, 要使f(x)在x=1時取得極大值,只需-1m>1, 即-1-1. 12.如圖,平面PAB⊥平面α,AB?α,且△PAB為正三角形,點D是平面α內的動點,四邊形ABCD是菱形,點O為AB的中點,AC與OD交于點Q,l?α,且l⊥AB,則PQ與l所成角的正切值的最小值為 (　　) A. -3+372 B. 3+372 C.7 D.3 【解析】選B.如圖,過點D,Q分別作DE⊥AB于點E,QH⊥AB于點H, 設∠ABC為θ,則|QH|=13|DE|=13|AD|sin θ,|OH|=13|OE|= 13|AD|cosθ+12|AB|,設|AD|=|AB|=3,則|QH|=sin θ,|OH|=cos θ+12, |PO|=332,所以|PH|=PO2+OH2=7+cosθ+cos2θ,要求的角即為∠PQH,所以tan∠PQH=|PH||QH|,令cos θ=t,則tan ∠PQH=7+t+t21-t2=-1+8+t1-t2= -1+116-8+t+638+t≥3+372(當且僅當8+t=638+t時,等號成立). 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.已知函數(shù)f(x)=lnxx-kx在區(qū)間[e14,e]上有兩個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍為____________. 【解析】由f(x)=0可得kx=lnxx,所以k=lnxx2,設g(x)=lnxx2,x∈[e14,e],所以g′(x) =1-2lnxx3,由1-2ln x=0得x=e12=e,所以當x∈[e14,e12]時,g′(x)>0,g(x)是增函數(shù),當x∈[e12,e]時,g′(x)<0,g(x)是減函數(shù),又因為g(e12)=12e, g(e14)=14e,g(e)=1e2,所以當且僅當k∈14e,12e時,方程k=lnxx2有兩個不同的實數(shù)根,所以實數(shù)k的取值范圍為14e,12e. 答案:14e,12e 14.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為____________. 【解析】因為雙曲線的離心率為2,所以ca=2,c=2a,b=3a,不妨令A(2a,3a), B(2a,-3a),雙曲線其中一條漸近線方程為y=3x,所以d1=|23a-3a|(3)2+(-1)2 =23a-3a2, d2=|23a+3a|(3)2+(-1)2=23a+3a2;依題意得:23a-3a2+23a+3a2=6,解得:a=3,b=3,所以雙曲線方程為:x23-y29=1. 答案:x23-y29=1 15.已知x∈[-3,3],y∈R+,則(x-y)2+3-x2-9y2的最小值為_________. 【解析】如圖,點P(x,3-x2)在半圓x2+y2=3(y≥0)上,點Qy,9y在曲線y=9x(y>0)上,|PQ|=(x-y)2+3-x2-9y2.當|PQ|最短時P62,62,Q(3,3),|PQ|=32-3,所以(x-y)2+3-x2-9y2的最小值為21-66. 答案:21-66 16.對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,則稱函數(shù)f(x)為“同域函數(shù)”,區(qū)間A為函數(shù)f(x)的一個“同域區(qū)間”.給出下列四個函數(shù): ①f(x)=cos π2x;②f(x)=x2-1;③f(x)=|x2-1|;④f(x)=log2(x-1).存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是____________(請寫出所有正確的序號) 【解析】①f(x)=cosπ2x,x∈[0,1]時,有f(x)∈[0,1],所以①存在同域區(qū)間; ②f(x)=x2-1,x∈[-1,0]時,有f(x)∈[-1,0],所以②存在同域區(qū)間; ③f(x)=|x2-1|,x∈[0,1]時,有f(x)∈[0,1],所以③存在同域區(qū)間; ④f(x)=log2(x-1)判斷該函數(shù)是否有同域區(qū)間,即判斷該函數(shù)和函數(shù)y=x是否有兩個交點;而根據(jù)這兩個函數(shù)圖象可以看出不存在交點,所以該函數(shù)不存在同域區(qū)間. 答案:①②③