《2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測六 數(shù)列與數(shù)學歸納法（提升卷）單元檢測 理（含解析） 新人教A版.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測六 數(shù)列與數(shù)學歸納法（提升卷）單元檢測 理（含解析） 新人教A版.docx（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

單元檢測六　數(shù)列與數(shù)學歸納法(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上． 3．本次考試時間100分鐘，滿分130分． 4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，若S21＝63，則a7＋a11＋a15等于(　　) A．6B．9C．12D．15 答案　B 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由S21＝63，得21a1＋210d＝63，即a1＋10d＝3，所以a7＋a11＋a15＝3a1＋30d＝3(a1＋10d)＝9，故選B. 2．已知正項等比數(shù)列{an}滿足(a1a2a3a4a5)＝0，且a6＝，則數(shù)列{an}的前9項和為(　　) A．7B．8C．7D．8 答案　C 解析　由(a1a2a3a4a5)＝0，得a1a2a3a4a5＝a＝1，所以a3＝1.又a6＝，所以公比q＝，a1＝4，故S9＝4＝＝7，故選C. 3．用數(shù)學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)時，第一步驗證n＝1時，左邊應取的項是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　D 解析　當n＝1時，左邊應為1＋2＋…＋(1＋3)，即1＋2＋3＋4，故選D. 4．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2018>0，S2019<0，且對任意正整數(shù)n都有|an|≥|ak|，則正整數(shù)k的值為(　　) A．1008B．1009C．1010D．1011 答案　C 解析　由S2019<0，得a1010<0， 由S2018>0，得a1009＋a1010>0， ∴a1009>－a1010＝|a1010|. 又d<0，n>1010時，|an|>|a1010|， n<1010時，|an|≥|a1009|>|a1010|，∴k＝1010. 5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，則數(shù)列的前n項和為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，故＝，故數(shù)列的前n項和為(2＋3＋…＋n＋1)＝，故選D. 6．用數(shù)學歸納法證明“＋＋…＋≥(n∈N*)”時，由n＝k到n＝k＋1時，不等式左邊應添加的項是(　　) A. B.＋ C.＋－ D.＋－－ 答案　C 解析　分別代入n＝k，n＝k＋1，兩式作差可得左邊應添加項． 當n＝k時，左邊為＋＋…， 當n＝k＋1時，左邊為＋＋…＋＋＋， 所以增加項為兩式作差得＋－，故選C. 7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1－1，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝3n－1 C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n－1 答案　B 解析　因為2Sn＝an＋1－1，所以2a1＝a2－1，又a1＝1，所以a2＝3.由題知當n≥2時，2Sn－1＝an－1，所以2an＝an＋1－an，易知an≠0，所以＝3(n≥2)，當n＝1時，也符合此式，所以{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3n－1(n∈N*)，故選B. 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝，且對任意的n∈N*，都有an＋1＝成立，則a2020的值為(　　) A．1B.C.D. 答案　C 解析　由題得a1＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝，數(shù)列{an}為周期數(shù)列，且a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝(n∈N*)，a2＝a4＝a6＝…＝a2n＝(n∈N*)，所以a2020＝，故選C. 9．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n3－n2＋24(n∈N*)，則當an取得最小值時，n等于(　　) A．5B．6C．7D．8 答案　C 解析　令f(x)＝x3－x2＋24(x≥1)，則f′(x)＝3x2－21x＝3x(x－7)．在區(qū)間(1,7)內(nèi)，f′(x)<0；在區(qū)間(7，＋∞)內(nèi)，f′(x)>0.故當x＝7時，f(x)取得最小值，即n＝7時，an取得最小值，故選C. 10．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝，且對任意的n∈N*，都有an＋2－an≤3n，an＋4－an≥103n，則a2021等于(　　) A. B.＋2 C. D.＋2 答案　A 解析　因為對任意的n∈N*，滿足an＋2－an≤3n，an＋4－an≥103n，所以103n≤(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋2＋3n＝103n，所以an＋4－an＝103n.因為a2021＝(a2021－a2017)＋(a2017－a2013)＋…＋(a5－a1)＋a1＝10(32017＋32013＋…＋3)＋＝10＋＝. 11．記f(n)為最接近(n∈N*)的整數(shù)，如：f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝2，f(5)＝2，….若＋＋＋…＋＝4038，則正整數(shù)m的值為(　　) A．20182019 B．20192 C．20192020 D．20202021 答案　C 解析　設(shè)x，n∈N*，f(x)＝n，則n－<0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　令n＝1，則λa＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)＝0，因為a1≠0，所以a1＝，所以2an＝＋Sn，① 當n≥2時，2an－1＝＋Sn－1，② ①－②，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n－1＝(n∈N*)，故選A. 第Ⅱ卷(非選擇題　共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝9，a4＋a6＝4，則當Sn取得最大值時，n＝________. 答案　6 解析　由已知得a5＝2，∴d＝－， ∴a6＝2－>0，a7<0， ∴n＝6時，Sn取得最大值． 14．已知正項等比數(shù)列{an}滿足a6＝a5＋2a4，若存在兩項am，an，使得＝2a1，則＋的最小值為________． 答案　 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則由a6＝a5＋2a4，可得q＝2或q＝－1(舍去)，又＝2a1，∴m＋n＝4，又∵m，n∈N*，經(jīng)驗證m＝1，n＝3時，min＝. 15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，則{an}的通項公式為______________． 答案　an＝n＋1 解析　因為＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，① 所以＋＋＋…＋＋＝an＋1－2(n≥2)，② ②－①，得＝(an＋1－2)－(an－2)＝an＋1－an(n≥2)，整理得＝(n≥2)， 又a1＝2，且＝a2－2，所以a2＝3，則…＝…，整理得＝，所以an＝n＋1(n∈N*)(經(jīng)檢驗n＝1也符合)． 16．如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形，記an,1，an,2，…，an，n分別表示第n行的第1個數(shù)，第2個數(shù)……第n個數(shù)，則an,2＝________________.(n≥2且n≤N*) 1 2　　2 　3　　4　　3 　　　4　　7　　7　　4 　　　5　　11　　14　　11　　5 　　　…… 答案　 解析　把第n行(n≥2)的第2個數(shù)記為an，則由題意可知a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11，∴a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1，所有等式兩邊同時相加得an－a2＝，整理得an＝，n≥2， 即an,2＝，n≥2. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＝5，S3＝a7. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝2an，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由題意知解得 由an＝a1＋(n－1)d，得an＝2n＋1(n∈N*)， 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1. (2)由(1)可知an＝2n＋1，則bn＝22n＋1， 所以＝＝4. 因為b1＝23＝8， 所以{bn}是首項為8，公比q＝4的等比數(shù)列． 記{an＋bn}的前n項和為Tn，則 Tn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝＋ ＝n2＋2n＋. 18．(12分)設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn，an＋1，4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<. (1)解　由題意得4Sn＝(an＋1)2. 當n＝1時，a1＝(a1＋1)2，所以a1＝1； 當n≥2時，4Sn＝(an＋1)2，① 4Sn－1＝(an－1＋1)2，② ①－②得4an＝a＋2an－a－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. 又an>0，所以an－an－1＝2， 所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列， 即an＝2n－1(n∈N*)． (2)證明　bn＝＝ ＝， 所以Tn ＝ ＝<. 19．(13分)已知數(shù)列{an}滿足an≠0，a1＝1，n(an＋1－2an)＝2an. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和Sn. 解　(1)因為n(an＋1－2an)＝2an，故an＋1＝an， 得＝2. 設(shè)bn＝，所以bn＋1＝2bn. 因為an≠0，所以bn≠0，所以＝2. 又因為b1＝＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列， 故bn＝2n－1＝，an＝n2n－1(n∈N*)． (2)由(1)可知＋3n－5＝2n－1＋3n－5， 故Sn＝(20＋31－5)＋(21＋32－5)＋…＋(2n－1＋3n－5)＝(20＋21＋…＋2n－1)＋3(1＋2＋…＋n)－5n＝2n＋－1. 20．(13分)設(shè)a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)． (1)若b＝1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式； (2)若b＝－1，是否存在實數(shù)c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2， 即1>>a2k＋2>a2. 再由f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)， 得＝f

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