2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第2講 解三角形學(xué)案 文.doc
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第2講 解三角形 高考統(tǒng)計(jì)定方向 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：利用正、余弦定理解三角形 2018全國卷ⅠT16；2018全國卷ⅡT7；2018全國卷ⅢT11 2017全國卷ⅠT11；2017全國卷ⅡT16；2017全國卷ⅢT15 2016全國卷ⅠT4；2016全國卷ⅡT15；2015全國卷ⅠT17 1.高考對此部分的考查為“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”為主. 2.小題出現(xiàn)在4－11或15－16題的位置上，有成為壓軸小題的趨勢. 題型2：正、余弦定理的綜合應(yīng)用 2016全國卷ⅢT9；2015全國卷ⅡT17；2014全國卷ⅠT16 2014全國卷ⅡT17 3.解答題重點(diǎn)考查解三角形問題，出現(xiàn)在第17題位置上，難度中等. 題型1 利用正、余弦定理解三角形 ■核心知識儲備 1．正弦定理及其變形 在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其變形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 變形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A. 3．三角形面積公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. ■高考考法示例 ?角度一 求解三角形中的邊角問題 【例1－1】 (2016全國卷Ⅱ)(1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. [在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] (2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知 asin A＋csin C－asin C＝bsin B. ①求B； ②若A＝75，b＝2，求a，c. [解]?、儆烧叶ɡ恚胊2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，因此B＝45. ②sin A＝sin(30＋45) ＝sin 30cos 45＋cos 30sin 45 ＝. 故a＝b＝＝1＋. c＝b＝2＝. ?角度二 與三角形有關(guān)的面積問題 【例1－2】 (1)(2018全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． [由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因?yàn)閟in Bsin C≠0，所以sin A＝.因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝＝.] (2)(2018溫州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. ①求tan C的值； ②若△ABC的面積為3，求b的值； [解]?、儆蒪2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C， ∴－cos 2B＝sin2C，又由A＝，即B＋C＝，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，解得tan C＝2； ②由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝， 又∵sin B＝sin(A＋C)＝sin，∴sin B＝，由正弦定理得c＝b， 又∵A＝，bcsin A＝3，∴bc＝6，故b＝3. [方法歸納] 1．關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有b2＋c2和bc兩項(xiàng)，二者的關(guān)系b2＋c2＝(b＋c)2－2bc經(jīng)常用到． (教師備選) △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． [解] (1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. ■對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練 1．(2018全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝( ) A．4 B. C. D．2 A [因?yàn)閏os ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝22－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos C＝52＋12－251－＝32，所以AB＝4.故選A.] 2．(2018紹興模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大??； (2)若sin A＝，求△ABC的面積． [解] (1)由題意得，－＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， sin＝sin，由a≠b得，A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝； (2)由c＝，sin A＝，＝得a＝，由a＜c，得A＜C，從而cos A＝，故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，所以△ABC的面積為S＝acsin B＝. 題型2 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 全國卷考查解三角形問題常與平面幾何交匯，題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等；地方卷常與平面向量交匯考查，解三角形還常與不等式，三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題． ■高考考法示例 【例2】 (1)(2016全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝( ) A. B. C. D. (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tan B＝，＝，則tan B等于( ) A. B.－1 C．2 D．2－ (3)如圖214，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為________米． 圖214 (1)D (2) D (3)400 [(1)如圖，AD為△ABC中BC邊上的高． 設(shè)BC＝a，由題意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a. 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AB＝＝a. 同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a. ∵S△ABC＝ABACsin∠BAC＝BCAD， ∴aasin∠BAC＝aa， ∴sin∠BAC＝＝. 由＝得accos B＝，則cos B＝，又cos B＝，因此＝，即a2＋c2－b2＝1，故tan B＝2－. (3)如題圖，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120. ∵∠ADC＝150，∴∠ADB＝30，∴∠DAB＝180－120－30＝30 由正弦定理，可得＝. ∴＝，得AD＝400(米)． 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2ADCDcos∠ADC＝(400)2＋8002－2400800cos 150＝400213，解得AC＝400(米)．故索道AC的長為400米．] [方法歸納] 1．求解與三角形相關(guān)的平面幾何問題的策略 一般先將所給的圖形拆分成若干個三角形，根據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序，再根據(jù)各個三角形之間的關(guān)系，交叉使用公共條件，求得結(jié)果，同時(shí)注意相關(guān)平面幾何知識的應(yīng)用． 2．求解三角形與平面向量交匯問題的策略 利用解三角形的知識解決平面向量問題是高考在知識的交匯處命制試題的一個熱點(diǎn)．解決這類試題的基本方法是根據(jù)正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達(dá)到利用解三角形求解平面向量數(shù)量積的目的． ■對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練 1．(2018長春模擬)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________． [由a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根據(jù)正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化簡得，b2＋c2－a2＝bc， 故cos A＝＝，所以A＝60，又b2＋c2－bc＝4≥bc，故S△BAC＝bcsin A≤.] 2．(2017山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b＝3，＝－6，S△ABC＝3，求A和a. [解] 因?yàn)椋剑?，所以bccos A＝－6. 又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6. 因此tan A＝－1. 又0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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