限時(shí)檢測提速練(四)　小題考法——三角恒等變換與解三角形 1．(2018湖南聯(lián)考)已知θ的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊上存在點(diǎn)P(－1，a)且sin θ＝，則a＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 解析：選B　sin θ＝＝，解得a＝1． 2．(2018攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，則sin 2α的值為(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：選A　由題意，根據(jù)誘導(dǎo)公式得cos＝－sin α＝?sin α＝－，又因?yàn)閟in α＜0，所以－＜α＜0，所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－，故選A． 3．(2018邯鄲一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知absin C＝20sin B，a2＋c2＝41，且8cos B＝1，則b＝(　　) A．6 B．4 C．3 D．7 解析：選A　因?yàn)閍bsin C＝20sin B，所以abc＝20b，ac＝20， ∴b＝＝＝6.選A． 4．(2018濟(jì)南一模)若sin＝，A∈，則sin A的值為(　　) A． B． C．或 D． 解析：選B　∵A∈，∴A＋∈， 所以cos＜0，且cos＝－＝－， 所以sin A＝sin＝sincos －cossin ＝，選B． 5. (2018湖北統(tǒng)考)已知α∈，cos＝， 則sin α的值等于(　　) A． B． C． D．－ 解析：選C　因?yàn)棣痢?，所以＋α∈? 由cos＝，得sin＝＝，則sin α＝sin＝sincos －cossin ＝－＝，故選C． 6．(2018濰坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，則cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：選B　∵α∈，tan(α－π)＝－， ∴tan α＝－，即＝－， ∵sin2 α＋cos2 α＝1，∴sin α＝，cos α＝－， ∴cos＝(cos α＋sin α)＝＝－，故選B． 7．(2018河南聯(lián)考)已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若 b2＝a(a＋c)，則的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 解析：選C　∵b2＝a2＋c2－2accos B，b2＝a(a＋c) ∴ac＝c2－2accos B， ∴a＝c－2acos B， ∴sin A＝sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin(B－A)， ∵△ABC為銳角三角形， ∴A＝B－A，∴B＝2A． ∵0＜A＜，0＜B＝2A＜， 0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜． ∴＝sin A∈． 8．(2018茂名聯(lián)考)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且4S＝(a＋b)2－c2，則sin＝(　　) A．1 B．－ C． D． 解析：選C　∵S＝absin C，cos C＝， ∴2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C， 代入已知等式得 4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab， 即2absin C＝2abcos C＋2ab， ∵ab≠0，∴sin C＝cos C＋1， ∵sin2C＋cos2C＝1，∴(cos C＋1)2＋cos2C＝1． 解得：cos C＝－1(不合題意，舍去)，cos C＝0，∴sin C＝1， 則sin＝(sin C＋cos C)＝.故選C． 9．(2018豫南聯(lián)考)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2sin＝1，且a＝2，則△ABC的面積的最大值為(　　) A． B． C． D．2 解析：選B　sin＝，－＝，A＝，由于a＝2為定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ，即4＝b2＋c2＋bc.根據(jù)基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立． S△ABC＝bcsin A≤＝，故選B． 10．(2018湖北統(tǒng)考)銳角△ABC中，角A所對的邊為a，△ABC的面積S＝，給出以下結(jié)論： ①sin A＝2sin Bsin C； ②tan B＋tan C＝2tan Btan C； ③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C； ④tan Atan Btan C有最小值8． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　由S＝＝absin C，得a＝2bsin C， 又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正確； 由sin A＝2sin Bsin C，得 sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 兩邊同時(shí)除以cos Bcos C， 可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正確； 由tan(A＋B)＝ 且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， 所以＝－tan C，整理移項(xiàng)得tan A＋tan B＋tan C＝2tan Atan Btan C，故③正確； 由tan B＋tan C＝2tan Btan C， tan A＝－tan(B＋C)＝－， 且tan A，tan B，tan C都是正數(shù)，得 tan Atan Btan C＝tan Btan C ＝tan Btan C＝， 設(shè)m＝tan Btan C－1，則m＞0， tan Atan Btan C＝＝2＋4≥4＋2 2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m＝tan Btan C－1＝1， 即tan Btan C＝2時(shí)取“＝”，此時(shí)tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正確，故選D． 11．(2018六安模擬)若tan α＝3，α∈，則cos＝____． 解析：由tan α＝3，可得＝3. 又sin2α＋cos2α＝1， 結(jié)合α∈，可得sin α＝，cos α＝， ∴cos＝(cos α＋sin α)＝． 答案： 12．(2018K12聯(lián)盟聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若＝2sin C，則∠C的大小為____． 解析：∵＝2sin C， ∴根據(jù)正弦定理可得＝2sin C， ∵cos C＝，∴cos C＝sin C， 即tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝． 答案： 13．(2018廣東聯(lián)考)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，當(dāng)ab取得最大值時(shí)，S△ABC＝____． 解析：因?yàn)?a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab， 所以cos C＝－，所以sin C＝， 由余弦定理得()2＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．所以S△ABC＝． 答案： 14．(2018煙臺(tái)二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，c＝3ab，則ab的最小值為____． 解析：在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 則sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)， ∴2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B， 化簡得－2sin Bcos C＝sin B， ∵sin B＞0，∴cos C＝－， ∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立． ∴ab≥.則ab的最小值為． 答案：