《新版與名師對話高三數學文一輪復習課時跟蹤訓練:第七章 不等式 推理與證明 課時跟蹤訓練39 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版與名師對話高三數學文一輪復習課時跟蹤訓練:第七章 不等式 推理與證明 課時跟蹤訓練39 Word版含解析(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
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2、 1
課時跟蹤訓練(三十九)
[基礎鞏固]
一、選擇題
1.設a、b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是( )
A.b-a>0 B.a3+b3<0
C.a2-b2<0 D.b+a>0
[解析] ∵a-|b|>0,∴|b|0.∴-a0.
[答案] D
2.“a=”是“對任意正數x,均有x+≥1”的( )
A.
3、充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 .既不充分也不必要條件
[解析] 當a=時,x+≥2=1,當且僅當x=,即x=時取等號;反之,顯然不成立.
[答案] A
3.已知m>1,a=-,b=-,則以下結論正確的是( )
A.a>b B.a+>0(m>1),
∴<,
即a1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是( )
4、
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
[解析] 若a=,b=,則a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;
對于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個大于1,
反證法:假設a≤1且b≤1,
則a+b≤2與a+b>2矛盾,
因此假設不成立,a,b中至少有一個大于1.
[答案] C
5.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設a>b>c,且a+b+c=0,求證 0 B.a-
5、c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
[解析] 由題意知0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
[答案] C
6.設f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)單調遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒為負 B.恒等于零
C.恒為正 D.無法確定正負
[解析] 由f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)單調遞減,可
6、知f(x)是R上的減函數.
由x1+x2>0,可知x1>-x2,則f(x1)b>0,m=-,n=,則m,n的大小關系是________.
[解析] 解法一(取特殊值法):取a=2,b=1,則m?a0,顯然成立.
[答案] m
7、由題意2B=A+C,
又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,∴A=B=C=,
∴△ABC為等邊三角形.
[答案] 等邊三角形
9.(20xx·廣東佛山質檢)已知a>0,b>0,如果不等式+≥恒成立,則m的最大值為________.
[解析] 因為a>0,b>0,所以2a+b>0.所以不等式可化為m≤(2a+b)=5+2.因為5+2≥5+4=9,即其最小值為9,所以m≤9,即m的最大值等于9.
[答案] 9
三、解答題
10.設a,b,c
8、均為正數,且a+b+c=1,證明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[證明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.所以++≥1.
[能力提升]
11.已知函數f(x)=x,a,b是正實數,A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關系為(
9、 )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
[解析] ∵≥≥,又f(x)=x在R上是減函數,∴f≤f()≤f.
[答案] A
12.設x,y,z∈(0,+∞),a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三數( )
A.至少有一個不大于2 B.都大于2
C.至少有一個不小于2 D.都小于2
[解析] a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,所以至少有一個不小于2.故選C.
[答案] C
13.已知非零向量a,b,且a⊥b,求證:≤ .
[證明] ∵a⊥b,∴a·b=0,
要證≤ ,
只需證|a|+|b|≤ |a+b|,
10、
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2),
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,
只需證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即(|a|-|b|)2≥0,
上式顯然成立,故原不等式得證.
14.已知函數u(x)=lnx的反函數為v(x),f(x)=x·v(x)-ax2+bx,且函數f(x)在點(0,f(0))處的切線的傾斜角為45°.
(1)求實數b的值;
(2)若a0)無零點.
[解] (1)因為函數u(x)=lnx的反函數為v(x),所以v(x)=ex,
11、
所以f(x)=xex-ax2+bx,所以f′(x)=ex+xex-2ax+b.
因為函數f(x)在點(0,f(0))處的切線的傾斜角為45°,所以f′(0)=tan45°=1,
即e0+0·e0-2a×0+b=1,解得b=0.
(2)證明:由(1)知,f(x)=xex-ax2.
假設函數f(x)=xex-ax2(x>0)有零點,
則f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=在(0,+∞)上有解.
設g(x)=(x>0),則g′(x)=(x>0).
當01時,g′(x)>0.
所以g(x)≥g(x)min=g(1)=e,所以a≥e,但這與條件a0,證明: -≥a+-2.
[證明] 要證 -≥a+-2,
只需證 +2≥a++.
∵a>0,∴兩邊均大于零,
∴只需證2≥2,
即證a2++4+4 ≥a2++2+2+2,
只需證 ≥,
只需證a2+≥,
即證a2+≥2,它顯然成立.
∴原不等式成立.