《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3 雙曲線 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3 雙曲線 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2.3.1　雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程．(重點(diǎn))2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法．(重點(diǎn))3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．雙曲線的定義 把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距． 思考：(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？ (2)雙曲線的定義中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數(shù))， 且2a<|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是什么？ [提示]　(1)當(dāng)距離之差的絕對(duì)值等于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線，端點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，當(dāng)距離之差的絕對(duì)值大于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在． (2)點(diǎn)M在雙曲線的右支上． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c之間的關(guān)系與橢圓中a，b，c之間的關(guān)系相同．(　　) (2)點(diǎn)A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，則點(diǎn)C的軌跡是雙曲線．(　　) (3)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3) 2．雙曲線－＝1的焦距為(　　) A．3 B．4　　C．3　　D．4 D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，從而焦距為4.] 3．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342088】 A.－＝1 B.－＝1 C．－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0 C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故選C．] [合 作 探 究攻 重 難] 雙曲線的定義及應(yīng)用 　若F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)． (1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離． (2)若點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60，求△F1PF2的面積． [思路探究]　(1)直接利用定義求解． (2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1||PF2|. [解]　(1)設(shè)|MF1|＝16，根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝6. 解得|MF2|＝10或|MF2|＝22. (2)由－＝1， 得a＝3，b＝4，c＝5. 由定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|， 所以|PF1||PF2|＝64， ∴S＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2 ＝64＝16. [規(guī)律方法]　求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形△PF1F2面積的方法 (1)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③通過(guò)配方，整體的思想求出|PF1||PF2|的值；④利用公式S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2求得面積. (2)利用公式S ＝|F1F2||yP|求得面積. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中為雙曲線的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝3 B．|PF1|－|PF2|＝4 C．|PF1|－|PF2|＝5 D．|PF1|2－|PF2|2＝4 A　[|F1F2|＝4，根據(jù)雙曲線的定義知選A.] (2)已知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，點(diǎn)F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342089】 9　[由雙曲線的方程可知a＝2，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，則F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值為9.] 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 　根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)a＝4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A； (2)與雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，2)； (3)過(guò)點(diǎn)P，Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上． [思路探究]　(1)結(jié)合a的值設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解． (2)因?yàn)榻裹c(diǎn)相同，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系數(shù)法求解，或設(shè)出統(tǒng)一方程求解． (3)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定，可設(shè)出一般方程求解． [解]　(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(b>0)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得b2＝－<0，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(b>0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)法一：∵焦點(diǎn)相同， ∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20　 ①. ∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，2)，∴－＝1　 ②. 由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 法二：設(shè)所求雙曲線的方程為－＝1(－4<λ<16)． ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵點(diǎn)P，Q在雙曲線上， ∴解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. [規(guī)律方法]　1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 (1)確定雙曲線的類型，并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求出a2，b2的值． 2．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)來(lái)求解． [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是(　　) A．－y2＝1　　 B．－y2＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 C　[設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 由題意得，解得 所以所求雙曲線方程為－y2＝1.] (2)已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線的方程是(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　[由雙曲線的焦點(diǎn)可知c＝，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，所以設(shè)右焦點(diǎn)為F2，則有PF2⊥x軸，且PF2＝4，點(diǎn)P在雙曲線右支上．所以PF1＝＝＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以雙曲線的方程為x2－＝1，選B.] 與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題 [探究問(wèn)題] 1．到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線的兩支還是一支？ 提示：一支 2．求以兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線方程時(shí)，應(yīng)如何建系？ 提示：以直線F1F2和線段F1F2的垂直平分線分別為x軸和y軸建系． 　如圖231，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin A＋sin C＝2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程． 圖231 [思路探究]　→→→ [解]　以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R為△ABC的外接圓半徑)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|. 由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))． 由題意，設(shè)所求軌跡方程為－＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6. 即所求軌跡方程為－＝1(x>)． [規(guī)律方法]　 求與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的方法 (1)列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程． (2)尋找?guī)缀侮P(guān)系，由雙曲線的定義，得出對(duì)應(yīng)的方程． 提醒：①雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸． ②檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支． [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖232所示，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342090】 圖232 [解]　圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1. 圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4. 設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|. ∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝. ∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為－＝1. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知m，n∈R，則“mn＜0”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 C　[方程＋＝1表示雙曲線，必有mn＜0；當(dāng)mn＜0時(shí)，方程＋＝1表示雙曲線，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充要條件．] 2．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程是(　　) A．－y2＝1　　　　 B．y2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　[橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1(0,1)，F(xiàn)2(0，－1)，長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A1(0,2)，A2(0，－2)，所以對(duì)于所求雙曲線a＝1，c＝2，b2＝3，焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的方程為y2－＝1.] 3．若雙曲線E：－＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11　 B．9　　　C．5　　　D．3 B　[由題意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．] 4．設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342091】 16　[由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線－＝1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.] 5．已知雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線方程． [解]　因?yàn)闄E圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，－3)，(0,3)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)或(－，4)， 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)， 所以解得， 所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.