2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3.2 用數(shù)學歸納法證明不等式貝努利不等式導學案 新人教B版選修4-5.docx
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3.2 用數(shù)學歸納法證明不等式，貝努利不等式 3.2.1 用數(shù)學歸納法證明不等式 3.2.2 用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式 1.會用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式. 2.了解貝努利不等式，學會貝努利不等式的簡單應用. 3.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式. 自學導引 1.貝努利不等式：設x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1＋x)n>1＋nx. 2.設α為有理數(shù)，x>－1，如果0<α<1，則(1＋x)α≤1＋αx；如果α<0或者α>1，則(1＋x)α≥1＋αx，當且僅當x＝0時等號成立. 基礎自測 1.若不等式＋＋＋…＋<對于一切n∈N*恒成立，則自然數(shù)m的最小值為( ) A.8 B.9 C.10 D.12 解析 顯然n＝1時，左邊最大為<， ∴m的最小值為8，選A. 答案 A 2.關(guān)于正整數(shù)n的不等式2n>n2成立的條件是( ) A.n∈N＋ B.n≥4 C.n>4 D.n＝1或n>4 解析 n＝4，24＝42＝16，n＝1時，2>1， n＝5，25＝32，52＝25， ∴當n>4時，2n>n2成立，故選D. 答案 D 3.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，則T與0的關(guān)系是________. 解析 ∵a＋b＋c＝0， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0， 即2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0， ∵abc>0，上述不等式兩邊同時除以2abc， 得T＝＋＋<0. 答案 T<0 知識點1 用數(shù)學歸納法證明絕對值不等式 【例1】 設x1，x2，…，xn為實數(shù)，證明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|. 證明 (1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|， ∴n＝2時命題成立. (2)設命題n＝k (k≥2)時成立，即 |x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|， 于是，當n＝k＋1時， |x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1| ≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1| ≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|. 即當n＝k＋1時，命題也成立. 由(1)(2)知，對于任意n∈N*命題都成立. 1.證明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N＋). 證明 (1)當n＝1時，上式左邊＝|sin θ|＝右邊，不等式成立. (2)假設當n＝k (k≥1)時，命題成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|. 當n＝k＋1時，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)| ＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ| ≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ| ≤|sin kθ|＋|sin θ| ≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|. 即當n＝k＋1時不等式成立. 由(1)(2)可知，不等式對一切正整數(shù)n均成立. 知識點2 用數(shù)學歸納法證明平均值不等式 【例2】 設a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時等號成立. 證明 不妨設an≥an－1≥…≥a1>0， 若a1＝an，則a1＝a2＝…＝an， 此時原不等式中等號成立. 設an>a1 (n≥2). (1)n＝2時，由基本不等式>， 所以命題對n＝2成立. (2)設n＝k時，不等式成立， 即≥. 記Ak＝，所以有：(Ak)k≥a1a2…ak. 當n＝k＋1時， 因為ak＋1>a1，ak＋1≥a2，ak＋1≥a3，…，ak＋1≥ak， 所以ak＋1－Ak＝ ＝>0， 則有ak＋1>Ak. 根據(jù)二項式定理及歸納假設得： ＝ ＝ ＝(Ak)k＋1＋(k＋1)(Ak)k＋…＋ >(Ak)k＋1＋(Ak)k(ak＋1－Ak) ＝(Ak)k＋1＋(Ak)kak＋1－(Ak)k＋1 ＝(Ak)kak＋1≥a1a2…akak＋1. 即>. 由(1)(2)知，對任意的n∈N*命題都成立. ●反思感悟：用數(shù)學歸納法證明不等式的第二步，設n＝k時命題成立，證n＝k＋1時命題也成立時，往往要通過放縮法來實現(xiàn)n＝k＋1時命題所需要的形式. 2.證明：如果n(n為正整數(shù))個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an＝1，那么它們的和a1＋a2＋…＋an≥n. 證明 (1)當n＝1時，a1＝1，命題成立. (2)假設當n＝k時，命題成立. 即若k個正數(shù)的乘積a1a2…ak＝1， 則a1＋a2＋…＋ak≥k. 當n＝k＋1時，已知k＋1個正數(shù)a1，a2，…，ak，ak＋1滿足條件a1a2…ak＋1＝1. 若這k＋1個正數(shù)a1，a2，…，ak，ak＋1都相等，則它們都是1，其和為k＋1，命題得證. 若這k＋1個正數(shù)a1，a2，…，ak，ak＋1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)也有小于1的數(shù)(否則與a1a2…ak＋1＝1矛盾).不妨設a1>1，a2<1. 為利用歸納假設，我們把乘積a1a2看作一個數(shù)，這樣就得到k個正數(shù)a1a2，a3，…，ak，ak＋1的乘積是1，由歸納假設可以得到 a1a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1≥k ∴a3＋a4＋…＋ak＋ak＋1≥k－a1a2 ∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－(k＋1) ≥a1＋a2＋k－a1a2－k－1 ＝a1＋a2－a1a2－1＝－(a1－1)(a2－1) ∵a1>1，a2<1，∴－(a1－1)(a2－1)>0 ∴a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1－k－1>0， 即a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1>k＋1， ∴當n＝k＋1時命題成立 由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，如果n個正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an＝1，那么它們的和a1＋a2＋…＋an≥n成立. 知識點3 用數(shù)學歸納法證明柯西不等式 【例3】 證明：|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤ . 證明 (1)當n＝2時， 因為|a1b1＋a2b2|2－(a＋a)(b＋b) ＝(a1b1＋a2b2)2－(a＋a)(b＋b) ＝ab＋2a1b1a2b2＋ab－(ab＋ab＋ab＋ab) ＝－(ab－2a1b1a2b2＋ab) ＝－(a1b2－a2b1)2≤0. 所以|a1b1＋a2b2|2≤(a＋a)(b＋b). 即|a1b1＋a2b2|≤. 也即n＝2時，柯西不等式成立. (2)設n＝k (k≥2)時， |a1b1＋a2b2＋…＋akbk| ≤. 則當n＝k＋1時，由三角不等式及歸納假設， 得：|a1b1＋a2b2＋…＋ak＋1bk＋1| ≤|a1b1＋a2b2＋…＋akbk|＋|ak＋1bk＋1| ≤＋|ak＋1bk＋1| ≤ ＝. 由(1)(2)知柯西不等式得證. ●反思感悟：用數(shù)學歸納法證明不等式，難點不在于數(shù)學歸納法的原理，而在于如何變形.放縮以便于用上假設，再經(jīng)過變形運算使命題得證. 3.已知a，b為正數(shù)，求證：當n為正整數(shù)時，≥. 證明 (1)當n＝1時，＝，命題成立. (2)設n＝k (k≥1)時，命題成立， 即≥， 當n＝k＋1時，＝ ≤，要證≤， 只須證≤即可， 由－ ＝ ＝＝ ＝≥0. ∴≤. 即n＝k＋1時，命題成立. 由(1)，(2)可知，對任意的n∈N*命題都成立. 知識點4 用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式 【例4】 設x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)， 則(1＋x)n>1＋nx. 證明 (1)當n＝2時，由x≠0，知 (1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x， 因此n＝2時命題成立. (2)假設n＝k(k≥2為正整數(shù))時命題成立， 即(1＋x)k>1＋kx，則當n＝k＋1時， (1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x) ＝1＋x＋kx＋kx2 >1＋(k＋1)x. 即n＝k＋1時，命題也成立. 由(1)，(2)及數(shù)學歸納法知原命題成立. ●反思感悟：(1)在證明過程中適當放縮或采用多種方法去嘗試. (2)要注意記憶這種形式. 4.設x>－1，x≠0，證明：>1－，對一切不小于2的正整數(shù)n都成立. 證明 ∵x>－1， (1)當x>0時，0<<1，－1<－<0. (2)當－1下載提示(請認真閱讀)
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