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正態(tài)分布
一、選擇題（本大題共12小題，共60分）
1. 已知隨機變量X～N(6,1)，且P(5
6)=0.1，即可求出P(06)=1-0.9=0.1．
∴P(x<0)=P(x>6)=0.1，
∴P(04)，則μ與Dξ的值分別為( )
A. μ=3,Dξ=7 B. μ=3,Dξ=7 C. μ=3，Dξ=7 D. μ=3,Dξ=7
（正確答案）C
解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,7)，P(ξ<2)=P(ξ>4)，
∴μ=4+22=3，Dξ=7．
故選：C．
根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,7)，P(ξ<2)=P(ξ>4)，由正態(tài)曲線的對稱性得結論．
本題考查正態(tài)分布，正態(tài)曲線有兩個特點：(1)正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱；(2)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內的區(qū)域面積為1，本題是一個基礎題．
5. 已知隨機變量Z～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為( )
附：若Z～N(μ,σ2)，則P(μ-σ4)=( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
（正確答案）A
解：∵正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為f(x)=12πe?-(x-2)22(x∈R)，
∴總體X的期望μ為2，標準差為1，
故f(x)的圖象關于直線x=2對稱，
∵02f(x)dx=13，
∴P(X>4)=12-13=16，
故選：A．
根據(jù)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)的意義即可得出X的期望和標準差，再由概率分布的對稱特點，即可得到答案．
本題考查正態(tài)分布的有關知識，同時考查概率分布的對稱性及運算能力，正確理解正態(tài)總體的概率密度函數(shù)中參數(shù)μ、θ的意義是關鍵．
7. 已知隨機變量X～N(1,σ2)，若P(0100)=0.5，
P(100<ξ<120)=P(80<ξ<100)=0.45，
∴P(ξ>120)=P(ξ>100)-P(100<ξ<120)=0.05，
∴應從120分以上的試卷中抽取份數(shù)為2000.05=10．
故選：B．
利用正態(tài)分布的對稱性求出P(ξ>120)，再根據(jù)分層抽樣原理按比例抽取即可．
本題考查了正態(tài)分布的特點，分層抽樣原理，屬于中檔題．
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 設隨機變量ξ～N(2,4)，若P(ξ>a+2)=P(ξ<2a-3)，則實數(shù)a的值為______ ．
（正確答案）53
解：由題意可知隨機變量ξ～N(2,4)，滿足正態(tài)分布，對稱軸為μ=2，
P(ξ>a+2)=P(ξ<2a-3)，
則：a+2+2a-3=4，解得a=53．
故答案為53．
直接利用正態(tài)分布的對稱性，列出方程求解即可．
本題考查正態(tài)分布的基本性質的應用，考查計算能力．
14. 已知隨機變量ξ～N(1,σ2)，若P(ξ>3)=0.2，則P(ξ≥-1)=______．
（正確答案）0.8
解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，
∴曲線關于x=1對稱，
∵P(ξ>3)=0.2，∴P(ξ≤-1)=P(ξ>3)，
∴P(ξ≥-1)=1-P(ξ>3)=1-0.2=0.8．
故答案為：0.8
根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線的對稱軸是x=1，且P(ξ>3)=0.2，依據(jù)正態(tài)分布對稱性，即可求得答案．
本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查概率的性質，是一個基礎題．
15. 某班有50名學生，一次數(shù)學考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(110,102)，已知P(100≤ξ≤110)=0.36，估計該班學生數(shù)學成績在120分以上的有______ 人.
（正確答案）7
解：∵考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(110,102).
∴考試的成績ξ關于ξ=110對稱，
∴P=(ξ>120)=0.5-P(100≤ξ≤110)=0.5-0.36=0.14，
所以估計該班學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)為500.14=7(人)．
故答案為：7．
根據(jù)考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(110,102).得到考試的成績ξ關于ξ=110對稱，根據(jù)P(100≤ξ≤110)=0.36，得到P(ξ≥120)=0.14，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分數(shù)段上的人數(shù)．
本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題的關鍵是考試的成績ξ關于ξ=110對稱，利用對稱寫出要用的一段分數(shù)的頻數(shù)，題目得解．
16. 若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，且P(ξ<2)=0.8，則P(0<ξ<1)的值為______ ．
（正確答案）0.3
解：P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=0.8-0.5=0.3，
∴P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.3．
故答案為：0.3．
根據(jù)正態(tài)分布的對稱性先求出P(1<ξ<2)，再求出P(0<ξ<1)．
本題考查了正態(tài)分布的性質，屬于基礎題．
三、解答題（本大題共3小題，共40分）
17. 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望；
(2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．
(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
經(jīng)計算得x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用樣本平均數(shù)x.作為μ的估計值μ，用樣本標準差s作為σ的估計值σ，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(μ-3σ,μ+3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)．
附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ-3σ82.7)=1-0.68262=0.1587，
∴在這2000名考生中，能進入復試的有：20000.1587≈317人．
(3)由已知得ξ的可能取值為1，2，3，
P(ξ=1)=C41C22C63=15，
P(ξ=2)=C42C21C63=35，
P(ξ=3)=C43C20C63=15，
∴ξ的分布列為：
ξ
1
2
3
P
15
35
15
Eξ=115+235+315=2(人)．
(1)由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2.(2)由(1)知z～N(70,161)，由此能求出P(z>82.7)=1-0.68262=0.1587，從而能求出在這2000名考生中，能進入復試人數(shù)．
(3)由已知得ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列與期望E(ξ)．
本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意可能事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．
19. “過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗.2018年春節(jié)前夕，A市某質檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質量指標，
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數(shù)x.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(2)①由直方圖可以認為，速凍水餃的該項質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45)內的概率；
②將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質量指標值位于(10,30)內的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
附：①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質量指標的標準差為σ=142.75≈11.95；
②若Z服從正態(tài)分布N(?μ,σ2?)，則P(μ-σ
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山東省齊河縣高考數(shù)學三輪沖刺
專題
正態(tài)分布練習含解析理
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