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2.3　功　率 學習目標 核心凝煉 1.知道功率的物理意義、定義式、單位。 5個概念——功率、額定功率、實際功率、平均功率、瞬時功率 2個公式——P＝　P＝Fv 2種機車啟動方式——恒定功率啟動，恒 定牽引力啟動 2.理解功率的導出式P＝Fv的物理意義，并會利用功率的兩個公式來解釋現(xiàn)象和進行計算。 3.理解平均功率和瞬時功率，了解平均功率、瞬時功率、額定功率、實際功率的區(qū)別與聯(lián)系。 一、功率 [觀圖助學] 同學們爬山時遇到過挑山工和索道，假設挑山工和纜車將相同的貨物運到山頂，兩者對貨物做的功相同嗎？做功用的時間相同嗎？做功的功率相同嗎？ 1.定義：功W與完成這些功所用時間t的比值。 2.定義式：P＝。 3.單位：在國際單位制中，功率的單位是瓦特，簡稱瓦，用W表示。1 W＝1 J/s。 4.標矢性：功率是標量。 5.物理意義：表示物體做功快慢的物理量。 6.額定功率與實際功率 (1)額定功率：是動力機械可以長時間正常工作的最大輸出功率。 (2)實際功率：是動力機械實際工作時的輸出功率。 (3)關系：實際功率往往小于額定功率，但也可以在很短時間內(nèi)大于額定功率。 [理解概念] 判斷下列說法是否正確。 (1)由公式P＝知，做功越多，功率越大。() (2)做相同的功，用時短的做功較快。(√) (3)發(fā)動機不能在實際功率等于額定功率情況下長時間工作。() (4)功率大，做功一定多。() 二、功率與速度 [觀圖助學] 為什么汽車在水平路面上行駛時速度可以很大？而汽車爬坡時，常常換用低速擋，汽車要減速，這又是為什么？ 1.功率、力和速度之間的關系 (1)當F與v方向相同時，P＝Fv (2)當F與v夾角為α時，P＝Fvcos α 2.應用：由功率與速度關系式知，汽車、火車等交通工具和各種起重機械，當發(fā)動機的功率P一定時，牽引力F與速度v成反比，要增大牽引力，就要減小速度。 3.平均功率和瞬時功率 (1)平均功率：時間t內(nèi)功率的平均值，計算公式：＝和＝F。 (2)瞬時功率：某一時刻功率的瞬時值，能精確地描述做功的快慢，計算公式：P＝Fv，其中v為瞬時速度；當F與v夾角為α時，P＝Fvcos α。 [理解概念] 判斷下列說法是否正確。 (1)一個力對物體做功的功率，不一定等于這個力與受力物體運動速度的乘積。(√) (2)汽車的功率一定，汽車的速度越大，牽引力就越大。() (3)汽車在高速公路上行駛，功率的大小與速度的大小無關。() (4)汽車的速度越大，牽引力的功率也越大。() 　公式P＝和P＝Fv的理解 [觀察探究] 如圖1所示某部隊正用吊車將一臺坦克車從碼頭上吊起裝上艦船。 圖1 (1)將質(zhì)量為m的坦克車以速度v勻速吊起，坦克車在t時間內(nèi)勻速上升h高度。怎樣計算吊車的功率？其瞬時功率是多少？ (2)若坦克車在相同的時間t內(nèi)，從靜止開始以加速度a勻加速上升高度h時，該過程中吊車的平均功率是多少？其瞬時功率是多少？ 答案　(1)吊車對坦克車做的功W＝mgh。功率P＝＝；P瞬＝Fv＝mgv。 (2)該過程中吊車的平均功率為P＝＝＝。 其瞬時功率為P瞬＝Fv＝(mg＋ma)at。 [探究歸納]　 1.公式P＝和P＝Fv的比較 P＝ P＝Fv 適用 條件 (1)功率的定義式，適用于任何情況下功率的計算，一般用來求平均功率 (2)當時間t→0時，可由定義式確定瞬時功率 (1)功率的計算式，僅適用于F與v同向的情況，一般用來求瞬時功率 (2)當v為平均速度時，所求功率為平均功率 聯(lián)系 (1)公式P＝Fv是P＝的推論 (2)功率P的大小與W、t無關 2.公式P＝Fv中三個量的制約關系 定值 各量間的關系 應用 P一定 F與v成反比 汽車上坡時，要增大牽引力，應換低速擋減小速度 v一定 F與P成正比 汽車上坡時，要使速度不變，應加大油門，增大輸出功率，獲得較大牽引力 F一定 v與P成正比 汽車在高速路上，加大油門增大輸出功率，可以提高速度 [試題案例] [例1] 關于功率公式P＝和P＝Fv的說法中正確的是(　　) A.由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率 B.由P＝Fv只能求某一時刻的瞬時功率 C.由P＝Fv知，隨著汽車速度的增大，它的功率也可以無限制增大 D.由P＝Fv知，當汽車發(fā)動機功率一定時，牽引力與速度成反比 解析　利用公式P＝，知道W和t只能計算平均功率，選項A錯誤；當公式P＝Fv中的v為瞬時速度時，求的是瞬時功率，當v為平均速度時，求的是平均功率，選項B錯誤；因為汽車的速度v不能無限制增大，汽車的功率也不能無限制增大，選項C錯誤；由P＝Fv知，當汽車發(fā)動機功率一定時，牽引力與速度成反比，選項D正確。 答案　D [例2] 一臺起重機將靜止在地面上、質(zhì)量為m＝1.0103 kg的貨物勻加速豎直吊起，在2 s末貨物的速度v＝4 m/s。(取g＝10 m/s2，不計額外功)求： (1)起重機在這2 s內(nèi)的平均功率； (2)起重機在2 s末的瞬時功率。 解析　設貨物所受的拉力為F，加速度為a，則 (1)由a＝得，a＝2 m/s2 F＝mg＋ma＝1.010310 N＋1.01032 N ＝1.2104 N 2 s內(nèi)貨物上升的高度 h＝at2＝4 m 起重機在這2 s內(nèi)對貨物所做的功 W＝Fh＝1.21044 J＝4.8104 J 起重機在這2 s內(nèi)的平均功率 ＝＝＝2.4104 W (2)起重機在2 s末的瞬時功率 P＝Fv＝1.21044.0 W＝4.8104 W 答案　(1)2.4104 W　(2)4.8104 W 計算功率應該注意的問題 (1)首先應該明確所求的功率是平均功率還是瞬時功率，計算平均功率與瞬時功率選擇的公式不同。 (2)求平均功率時，應明確是哪一段時間內(nèi)的平均功率；求瞬時功率時，應明確是哪一時刻的瞬時功率。 (3)應該明確是哪一個力對物體做功的功率，是動力還是阻力，是恒力還是變力等。不同情況應選擇不同的公式。 [針對訓練1] 一個質(zhì)量為m的小球做自由落體運動，那么，在前t時間內(nèi)重力對它做功的平均功率及在t時刻重力做功的瞬時功率P分別為(　　) A.＝mg2t2，P＝mg2t2 B.＝mg2t2，P＝mg2t2 C.＝mg2t，P＝mg2t D.＝mg2t，P＝2mg2t 解析　前t時間內(nèi)重力做功的平均功率 ＝＝＝mg2t t時刻重力做功的瞬時功率P＝Fv＝mggt＝mg2t，故C正確。 答案　C 　機車的啟動問題 [觀察探究] 汽車的啟動方式有兩種：1.以恒定的功率啟動；2.以恒定的加速度啟動。 圖2 (1)用公式P＝Fv研究汽車啟動問題時，力F是什么力？ (2)以恒定功率啟動時，汽車的加速度變化嗎？做什么運動？ (3)汽車勻加速啟動的過程能否一直持續(xù)下去？ 答案　(1)F是汽車的牽引力。 (2)汽車以恒定功率啟動，根據(jù)P＝Fv，v增大，F(xiàn)減小，加速度減小，故加速度變化，汽車做變加速運動。 (3)不能。汽車勻加速啟動，F(xiàn)不變，v增大，P增大。 當P＝P額時，勻加速運動結(jié)束。 [探究歸納]　 1.兩種啟動方式的過程分析(條件：水平路面、阻力F阻恒定) 兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動 P－t圖 和v－t圖 OA 段 過程 分析 v↑?F＝↓ ?a＝↓ 運動 性質(zhì) 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間 t0＝ AB 段 過程 分析 F＝F阻?a＝0? F阻＝ v↑?F＝↓? a＝↓ 運動 性質(zhì) 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動 BC段 F＝F阻?a＝0?F阻＝，以vm做勻速直線運動 2.機車啟動問題中幾個物理量的求法 (1)機車的最大速度vm的求法：機車以額定功率勻速運動時速度最大，此時牽引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。 (2)勻加速啟動持續(xù)時間的求法：牽引力F＝ma＋Ff，勻加速的最后速度v1＝，時間t＝。 (3)瞬時加速度的求法：據(jù)F＝求出牽引力，則加速度a＝。 [試題案例] [例3] (2018溫州高一檢測)在平直路面上運動的汽車的額定功率為60 kW，若其總質(zhì)量為5 t，在水平路面上所受的阻力為5103 N。 (1)求汽車所能達到的最大速度； (2)若汽車以0.5 m/s2的加速度由靜止開始做勻加速運動，則這一過程能維持多長時間？ (3)若汽車以額定功率啟動，則汽車車速v′＝2 m/s時其加速度為多大？ 【思路點撥】　(1)汽車速度達到最大的條件：a＝0，即F＝Ff。 (2)汽車以恒定加速度a勻加速運動的“收尾”條件：P＝P額，此時的速度為勻加速運動的最大速度。 (3)汽車速度為v′時牽引力F＝。 解析　(1)當汽車速度達到最大時，牽引力F＝Ff， 則由P＝Fv得汽車所能達到的最大速度 vmax＝＝ m/s＝12 m/s。① (2)汽車以恒定的加速度a做勻加速運動，能夠達到的最大速度為v，則有 －Ff＝ma② 得v＝＝ m/s＝8 m/s③ 由v＝at得這一過程維持的時間 t＝＝ s＝16 s。 (3)當汽車以額定功率啟動達到2 m/s的速度時，牽引力 F′＝＝ N＝3104 N， 由牛頓第二定律得汽車的加速度 a＝＝ m/s2＝5 m/s2。 答案　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2 (1)公式P＝Fv中的F指的是機車的牽引力，而不是合外力。 (2)只有機車在水平路面上勻速運動時，牽引力F才等于它受到的阻力Ff大小。 (3)機車以恒定加速度啟動時，勻加速結(jié)束時的速度并沒有達到最終勻速運動的速度vm。 [針對訓練2] 質(zhì)量為m的汽車行駛在平直公路上，在運動中所受阻力不變，當汽車的加速度為a，速度為v時，發(fā)動機功率為P1；當功率為P2時，汽車行駛的最大速度為(　　) A. B. C. D. 解析　由題意知F－f＝ma，P1＝Fv，由以上兩式得f＝。當功率為P2時，汽車行駛的最大速度vm＝＝，B正確。 答案　B 功率問題的實際應用 在解決實際問題時，首先要讀懂題目中所給出的信息，進而把實際問題轉(zhuǎn)化為熟知的物理模型，然后根據(jù)題意結(jié)合相應的物理規(guī)律求解。例如以人們熟知的跳繩設置問題，分析求解時首先應該清楚運動員跳起到h高度克服重力做的功為mgh，并細致分析運動員的一次跳繩過程，求出運動員在空中運動的時間t1，而求出h是解決問題的關鍵。求平均功率的時間必須用跳躍周期T，即要注意求的是哪段時間內(nèi)的平均功率。對這一些實際問題的求解，構(gòu)建出物理模型是關鍵所在。 【針對練習】　跳繩是一種健身運動，如圖3所示，設某運動員在質(zhì)量是50 kg，她一分鐘跳繩180次，假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的，則該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率是多少？(g＝10 m/s2) 圖3 【思路點撥】　 解析　由于跳繩是周期性運動，因此只需分析一個周期內(nèi)的情況，找出在一個周期內(nèi)運動員克服重力做了多少功，即可求解。 跳躍的周期T＝ s＝ s 每個周期內(nèi)運動員在空中運動的時間t1＝T＝0.2 s 運動員在空中可視為做豎直上拋運動，則起跳的初速度 v0＝g＝1 m/s 每次跳躍時運動員上升的最大高度h＝＝ m 所以每次跳躍時，運動員克服重力做的功為 W＝mgh＝25 J 故克服重力做功的平均功率為＝＝ W＝75 W。 答案　75 W 1.(功率的理解)關于功率，下列說法中正確的是(　　) A.根據(jù)P＝可知，機械做功越多，其功率就越大 B.根據(jù)P＝Fv可知，汽車的牽引力一定與其速度成反比 C.根據(jù)P＝可知，只要知道時間t內(nèi)所做的功，就可知任意時刻的功率 D.根據(jù)P＝Fv可知，發(fā)動機的功率一定時，交通工具的牽引力與運動速度成反比 解析　由P＝可知，在時間t一定的情況下，機械做功越多，其功率就越大，選項A錯誤；根據(jù)P＝Fv可知，在發(fā)動機的輸出功率P一定的情況下，汽車的牽引力與其速度成反比，選項B錯誤，D正確；功W與一段運動過程相對應，故利用P＝計算出的是時間t內(nèi)力對物體做功的平均功率，選項C錯誤。 答案　D 2.(瞬時功率的計算)從空中以40 m/s的初速度平拋一重為10 N的物體，物體在空中運動3 s落地，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，則物體落地前瞬間，重力的瞬時功率為(　　) 圖4 A.300 W B.400 W C.500 W D.700 W 解析　物體落地瞬間vy＝gt＝30 m/s，所以PG＝Gvy＝300 W，故A正確。 答案　A 3.(平均功率的計算)同一恒力按同樣的方式施于物體上，使它分別沿著粗糙水平地面和光滑水平地面移動相同一段距離時，恒力做的功和平均功率分別為W1、P1和W2、P2，則二者的關系是(　　) A.W1＞W(wǎng)2、P1＞P2 B.W1＝W2、P1＜P2 C.W1＝W2、P1＞P2 D.W1＜W2、P1＜P2 解析　恒力做的功僅由力、位移及二者夾角決定，由題意，很顯然W1＝W2；沿粗糙水平地面運動時，加速度小，通過相同位移所用時間長，即t1＞t2，根據(jù)P＝，則有P1＜P2，故選項B正確。 答案　B 4.(機車啟動問題)(2018威海高一檢測)機車以下列兩種方式啟動，且沿直線運動(設阻力不變)。方式①：機車以不變的額定功率啟動；方式②：機車的啟動功率先隨速度均勻增加，后保持額定功率不變。如圖5給出的四個圖象中，能夠正確反映機車的速度v隨時間t變化的是(　　) 圖5 A.甲對應方式①，乙對應方式② B.乙對應方式①，丙對應方式② C.甲對應方式①，丙對應方式② D.丙對應方式①，丁對應方式② 解析　對于方式①：機車以不變的額定功率啟動，據(jù)P＝Fv可知，隨著v的增大，F(xiàn)減小，又由a＝可知加速度減小，在v－t圖象上斜率減小，故①對應乙圖；對于方式②：機車以速度均勻增加啟動，即先保持牽引力不變，可知加速度不變，當達到額定功率后，牽引力減小，直至牽引力和阻力相等，最后勻速，故方式②對應丙圖。故選B。 答案　B 合格性檢測 1.(多選)設勻速行駛的汽車，發(fā)動機的功率保持不變，則(　　) A.路面越粗糙，汽車行駛得越慢 B.路面越粗糙，汽車行駛得越快 C.在同一路面上，汽車不載貨比載貨時行駛得快 D.在同一路面上，汽車不載貨比載貨時行駛得慢 解析　汽車勻速行駛時，牽引力等于汽車受到的阻力，故速度v＝，而汽車在越粗糙的路面上，重力越大時所受阻力越大，功率不變，速度越小，所以A、C正確，B、D錯誤。 答案　AC 2.(多選)質(zhì)量為3 kg的物體，從高45 m處自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的過程中(　　) A.前2 s內(nèi)重力做功的功率為300 W B.前2 s內(nèi)重力做功的功率為675 W C.第2 s末重力做功的功率為600 W D.第2 s末重力做功的功率為900 W 解析　前2 s物體下落h＝gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝ W＝300 W，A正確，B錯誤；2 s末物體的速度v＝gt＝20 m/s，此時重力的功率 P2＝mgv＝600 W，C正確，D錯誤。 答案　AC 3.一輛汽車在水平公路上行駛，設汽車在行駛過程中所受阻力不變，汽車的發(fā)動機始終以額定功率輸出。關于牽引力和汽車速度，下列說法中正確的是(　　) A.汽車加速行駛時，牽引力不變，速度增大 B.汽車加速行駛時，牽引力增大，速度增大 C.汽車加速行駛時，牽引力減小，速度增大 D.當牽引力等于零時，速度達到最大值 解析　汽車的發(fā)動機輸出功率恒定，即P一定，則由公式P＝Fv可得出v增大，此時F減小，但由于合外力方向與汽車運動方向一致，因此汽車速度仍在增大；當汽車受到的牽引力和阻力相等時，汽車速度達到最大值，而后做勻速直線運動，故C正確。 答案　C 4.(2018德州高一檢測)質(zhì)量為m的汽車啟動后沿平直路面行駛，如果發(fā)動機的功率恒為P，且行駛過程中受到的摩擦阻力大小一定，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的車速為時，汽車的瞬時加速度的大小為(　　) A. B. C. D. 解析　在勻速運動時，f＝F＝，當速度為時，F(xiàn)1＝，由F1－f＝ma得a＝＝＝，故C正確。 答案　C 5.(2018臺州高一檢測)2015年10月，我國自主研發(fā)的第一艘平流層飛艇“圓夢”號試飛成功。若飛艇在平流層水平勻速飛行時，所受空氣阻力與飛行速度成正比。當勻速飛行速度為v時，動力系統(tǒng)的輸出功率為P；當勻速飛行速度為2v時，動力系統(tǒng)的輸出功率為(　　) 圖1 A. B. C.2P D.4P 解析　設當飛艇以速度v勻速飛行時，所受空氣阻力為f，則P＝fv。由題意，當勻速飛行速度為2v時，所受空氣阻力為2f，所以此時動力系統(tǒng)輸出的功率 P1＝2f2v＝4P，D正確。 答案　D 6.汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發(fā)動機功率為P?？爝M入鬧市區(qū)時，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半并保持該功率繼續(xù)行駛。下面四個圖象中，哪個圖象正確表示了從司機減小油門開始，汽車的速度與時間的關系(　　) 解析　功率減小一半后，汽車做加速度越來越小的減速運動，最終勻速運動。 答案　C 7.在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物體從靜止開始移動x，平均功率為P，如果將水平拉力增加為4F，使同一物體從靜止開始移動x，平均功率為(　　) A.2P B.4P C.6P D.8P 解析　設第一次運動時間為t，則其平均功率表達式為P＝；第二次加速度為第一次的4倍，由x＝at2可知時間為，其平均功率為P′＝＝＝8P，選項D正確。 答案　D 8.鋼球在足夠深的槽中由靜止開始下落，若槽中油對球的阻力正比于其速度，則球在下落的過程中阻力對球做功的功率大小隨時間的變化關系最接近于下列圖象中的(　　) 解析　開始階段，球速小，阻力也小，由P＝Fv知，功率就小。由于F＝kv，則P＝kv2，可見，阻力的功率隨時間非線性增大。當重力與阻力相等時，球速不變，阻力的功率達到最大。故選項A正確。 答案　A 9.如圖2所示，質(zhì)量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37的斜面上由靜止開始下滑，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知：sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2，求： 圖2 (1)前2 s內(nèi)重力做的功； (2)前2 s內(nèi)重力的平均功率； (3)2 s末重力的瞬時功率。 解析　(1)木塊所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝210(0.6－0.50.8) N＝4 N 木塊的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2 前2 s內(nèi)木塊的位移s＝at2＝222 m＝4 m 所以，重力在前2 s內(nèi)做的功為 W＝mgssin θ＝2100.64 J＝48 J。 (2)重力在前2 s內(nèi)的平均功率為 ＝＝ W＝24 W。 (3)木塊在2 s末的速度 v＝at＝22 m/s＝4 m/s 2 s末重力的瞬時功率 P＝mgsin θv＝2100.64 W＝48 W。 答案　(1)48 J　(2)24 W　(3)48 W 等級性檢測 10.(多選)如圖3所示，是汽車牽引力F和車速倒數(shù)的關系圖象，若汽車質(zhì)量為2103 kg，由靜止開始沿平直公路行駛，阻力恒定，最大車速為30 m/s，則以下說法正確的是(　　) 圖3 A.汽車的額定功率為6104 W B.汽車運動過程中受到的阻力為6103 N C.汽車先做勻加速運動，然后再做勻速直線運動 D.汽車做勻加速運動的時間是5 s 解析　由圖象可知，汽車先做牽引力恒定的勻加速運動，再做額定功率恒定的變加速運動，P額＝Fv＝210330 W＝6104 W，A正確，C錯誤；當汽車速度最大時牽引力F＝f＝2103 N，B錯誤；汽車勻加速運動的加速度a＝＝ 2 m/s2，汽車剛達到額定功率時的速度v＝＝10 m/s，所以汽車做勻加速運動的時間t＝＝5 s，D正確。 答案　AD 11.(2018濰坊高一檢測)如圖4所示為修建高層建筑常用的塔式起重機。在起重機將質(zhì)量m＝5103 kg的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上作勻加速直線運動，加速度a＝0.2 m/s2，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做vm＝1.02 m/s的勻速運動。g取10 m/s2，不計額外功。求： 圖4 (1)起重機允許輸出的最大功率； (2)重物做勻加速運動所經(jīng)歷的時間； (3)起重機在第2秒末的輸出功率。 解析　(1)設起重機允許輸出的最大功率為P0，重物達到最大速度時，拉力F0等于重力。 P0＝F0vm① P0＝mgvm② 代入數(shù)據(jù)，有：P0＝5.1104 W。③ (2)勻加速運動結(jié)束時，起重機達到允許輸出的最大功率，設此時重物受到的拉力為F，速度為v1，勻加速運動經(jīng)歷時間為t1，有： P0＝Fv1④ F－mg＝ma⑤ v1＝at1⑥ 由③④⑤⑥，代入數(shù)據(jù)，得：t1＝5 s ⑦ (3)t＝2 s時，重物處于勻加速運動階段，設此時速度為v2，輸出功率為P，則 v2＝at⑧ P＝Fv2⑨ 由⑤⑧⑨，代入數(shù)據(jù)，得：P＝2.04104 W。 答案　(1)5.1104 W　(2)5 s　 (3)2.04104 W