《（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1．3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
預(yù)習(xí)課本P26～29，思考并完成下列問題
(1)函數(shù)極值點(diǎn)、極值的定義是什么？
(2)函數(shù)取得極值的必要條件是什么？
(3)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟有哪些？
1．函數(shù)極值的概念
(1)函數(shù)的極大值
一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的一個極大值，記作y極大值＝f(x0)，x0是極大值點(diǎn)．
(2)函數(shù)的極小值
一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的一個極小值，記作y極小值＝f(x0)，x0是極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．
[點(diǎn)睛] 如何理解函數(shù)極值的概念
(1)極值是一個局部概念，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值，與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較它是最大值或最小值，但并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)是最大值或最小值．
(2)一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個．
(3)函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．
(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．
(5)單調(diào)函數(shù)一定沒有極值．
2．求函數(shù)y＝f(x)極值的方法
一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法是：
解方程f′(x)＝0. 當(dāng)f′(x0)＝0時：
(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．
[點(diǎn)睛] 一般來說，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值”的必要不充分條件．若可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，則點(diǎn)x0不一定是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)．
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2個極值．( )
(2)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合．( )
(3)函數(shù)f(x)＝有極值．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)
2．下列四個函數(shù)：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，其中在x＝0處取得極小值的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
答案：B
3．已知函數(shù)y＝|x2－1|，則( )
A．y無極小值，且無極大值
B．y有極小值－1，但無極大值
C．y有極小值0，極大值1
D．y有極小值0，極大值－1
答案：C
4. 函數(shù)f(x)＝x＋2cos x在上的極大值點(diǎn)為( )
A．0 B.
C. D.
答案：B
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題
題點(diǎn)一：知圖判斷函數(shù)的極值
1．已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上為減函數(shù) B．在x＝0處取極小值
C．在(4，＋∞)上為減函數(shù) D．在x＝2處取極大值
解析：選C 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)時，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)時，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上為增函數(shù)，在(0,2)，(4，＋∞)上為減函數(shù)，所以x＝0取得極大值，x＝2取得極小值，x＝4取得極大值，因此選C.
題點(diǎn)二：已知函數(shù)求極值
2．求函數(shù)f(x)＝x2e－x的極值．
解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′
＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
極小值0
極大值4e－2
因此當(dāng)x＝0時，f(x)有極小值，
并且極小值為f(0)＝0；
當(dāng)x＝2時，f(x)有極大值，并且極大值為f(2)＝4e－2＝.
題點(diǎn)三 已知函數(shù)的極值求參數(shù)
3．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
解析：選D 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞減，在(a，－1)上單調(diào)遞增，∴f(x)在x＝a處取得極小值，與題意不符；
若－1
0，則f(x)在(－1，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，∴選D.
4．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝1處的極大值為4，極小值為0，試確定a，b，c的值．
解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)當(dāng)a＞0，x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
－
0
＋
f(x)
極大值
無極值
極小值
由表可知：
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)當(dāng)a＜0時，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
1．求函數(shù)極值的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域．
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個小開區(qū)間，列表，判定導(dǎo)函數(shù)在各個小開區(qū)間的符號．
(5)確定函數(shù)的極值，如果f′(x)的符號在x0處由正(負(fù))變負(fù)(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值．
2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，注意兩點(diǎn)
(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．
(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．
函數(shù)極值的綜合應(yīng)用
[典例] 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．
[解] 因?yàn)閒(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
當(dāng)x<－1時，f′(x)>0；
當(dāng)－11時，f′(x)>0.
所以由f(x)的單調(diào)性可知，
f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，
在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致圖象如圖所示：
因?yàn)橹本€y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的圖象可知，m的取值范圍是(－3,1)．
[一題多變]
1．[變條件]若本例中條件改為“已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4”在x＝處取得極值，其他條件不變，求m的取值范圍．
解：由題意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′＝0，
可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，
則f′(x)＝－3x2＋4x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－4
－
作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示：
因?yàn)橹本€y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，所以m的取值范圍是.
2．[變條件]若本例“三個不同的交點(diǎn)”改為“兩個不同的交點(diǎn)”結(jié)果如何？改為“一個交點(diǎn)”呢？
解：由例題解析可知：當(dāng)m＝－3或m＝1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)；當(dāng)m<－3或m>1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖象只有一個交點(diǎn)．
(1)研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問題，一般地，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(2)事實(shí)上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便．
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．當(dāng)函數(shù)y＝x2x取極小值時，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：選B 由y′＝2x＋x2xln 2＝0，得x＝－.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則( )
A．x＝為f(x)的極大值點(diǎn)
B．x＝為f(x)的極小值點(diǎn)
C．x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)
D．x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)
解析：選D 由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.當(dāng)0＜x＜2時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．故x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)．
3．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：選B 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(3，＋∞)．
4．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是( )
解析：選C 由題意可得f′(－2)＝0，而且當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)＜0，此時xf′(x)＞0；排除B、D，當(dāng)x∈(－2，＋∞)時，f′(x)＞0，此時若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是C.
5．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極大值、極小值分別為( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：選A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得當(dāng)x＝時f(x)取極大值.當(dāng)x＝1時f(x)取極小值0.
6．函數(shù)y＝的極大值為________，極小值為_______．
解析：y′＝，令y′＞0得－1＜x＜1，令y′＜0得x＞1或x＜－1，∴當(dāng)x＝－1時，取極小值－1，當(dāng)x＝1時，取極大值1.
答案：1?。?
7．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，y＝f(x)的大致圖象如圖，觀察圖象得－2＜a＜2時恰有三個不同的公共點(diǎn)．
答案：(－2,2)
8.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，(2,0)．如圖，則下列說法中不正確的是________．(填序號)
①當(dāng)x＝時，函數(shù)f(x)取得最小值；
②f(x)有兩個極值點(diǎn)；
③當(dāng)x＝2時函數(shù)值取得極小值；
④當(dāng)x＝1時函數(shù)取得極大值．
解析：由圖象可知，x＝1,2是函數(shù)的兩極值點(diǎn)，∴②正確；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)時，y＞0；x∈(1,2)時，y＜0，∴x＝1是極大值點(diǎn)，x＝2是極小值點(diǎn)，故③④正確．
答案：①
9．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞減↘
2(1－ln 2＋a)
單調(diào)遞增↗
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln 2處取得極小值．
極小值為f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，無極大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝1時取得極值，且f(1)＝－1.
(1)試求常數(shù)a，b，c的值；
(2)試判斷x＝1時函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
當(dāng)x<－1或x>1時，f′(x)>0；當(dāng)－10，∴a<－3或a>6.
3．對于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題：
①f(x)是增函數(shù)，無極值；
②f(x)是減函數(shù)，無極值；
③f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；
④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．
其中正確的命題有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：選B f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的極大值為f(0)＝0，極小值為f(2)＝－4，故①②錯誤，③④正確．
4．已知函數(shù)f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為( )
A. B.
C. D.
解析：選B f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，當(dāng)2kπ0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)(2k－1)π
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浙江專版2018年高中數(shù)學(xué)
第一章
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.3.2
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案
新人教A版選修2-2
浙江
專版
2018
年高
數(shù)學(xué)
導(dǎo)數(shù)
及其
應(yīng)用
1.3
函數(shù)
極值
新人
選修
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