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考點測試52　古典概型 高考概覽 考綱研讀 1．理解古典概型及其概率計算公式 2．會計算一些隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 一、基礎(chǔ)小題 1．某銀行儲蓄卡上的密碼是一個6位數(shù)號碼，每位上的數(shù)字可以在0～9這10個數(shù)字中選?。橙宋从涀∶艽a的最后一位數(shù)字，如果隨意按密碼的最后一位數(shù)字，則正好按對密碼的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　只考慮最后一位數(shù)字即可，從0到9這10個數(shù)字中隨機選一個的概率為． 2．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為＝． 3．天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．可利用計算機產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，如果我們用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機數(shù)如下： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 631　257　393　027　556　488　730　113　137　989 則這三天中恰有兩天下雨的概率約為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由題意知這20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7組隨機數(shù)，∴所求概率為． 4．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個給甲打電話的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P＝＝． 5．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機密碼只有1種，∴P＝．故選C． 6．某班準備到郊外野營，為此向商店訂了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是(　　) A．一定不會淋雨 B．淋雨機會為 C．淋雨機會為 D．淋雨機會為 答案　D 解析　用A，B分別表示下雨和不下雨，用a，b表示帳篷運到和運不到，則所有可能情形為(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，則當(dāng)(A，b)發(fā)生時就會被雨淋到，∴淋雨的概率為P＝．故選D． 7．某汽車站每天上午均有3輛開往A景點的分上、中、下等級的客車．某天王先生準備在該汽車站乘車去A景點，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序．為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　共有6種發(fā)車順序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車)，所以他乘上上等車的概率為＝，故選C． 8．一個正方體，它的表面涂滿了紅色，切割為27個同樣大小的小正方體，從中任取一個，它恰有一個面涂有紅色的概率是________． 答案　 解析　研究涂紅后的正方體的六個面，發(fā)現(xiàn)每個面中僅最中間那塊只有一個面涂有紅色，故所求概率為＝． 二、高考小題 9．(2018全國卷Ⅱ)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　) A．0．6 B．0．5 C．0．4 D．0．3 答案　D 解析　設(shè)2名男同學(xué)為A1，A2，3名女同學(xué)為B1，B2，B3，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有B1B2，B1B3，B2B3共三種可能，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為P＝＝0．3．故選D． 10．(2017天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫、黃藍、黃綠、黃紫、藍綠、藍紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝＝．故選C． 11．(2017全國卷Ⅱ)從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的基本事件總數(shù)為55＝25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝＝．故選D． 12．(2016江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________． 答案　 解析　先后拋擲2次骰子，所有可能出現(xiàn)的情況共36個，其中點數(shù)之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6個，從而點數(shù)之和小于10的有30個，故所求概率P＝＝． 三、模擬小題 13．(2018廣東茂名第一次綜合測試)在1，2，3，6這組數(shù)據(jù)中隨機取出三個數(shù)，則數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　在1，2，3，6中隨機取出三個數(shù)，所有的可能結(jié)果為(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，6)，(2，3，6)，共4種，其中數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的結(jié)果有(1，2，3)，共1種．由古典概型概率公式可得所求概率為P＝．故選A． 14．(2018山東濟南二模)某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：箱子中有編號為1，2，3，4，5的五個形狀、大小完全相同的小球，從中任取兩球，若摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)則中獎；否則不中獎，則中獎的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由題得試驗的所有基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個，摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3個，由古典概型的概率公式得P＝．故選C． 15．(2018石家莊重點高中摸底考試)一個三位數(shù)，個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y>x，y>z時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合{1，2，3，4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　從集合{1，2，3，4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸數(shù)”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8個結(jié)果，所以這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為＝．故選B． 16．(2018山西孝義一模)從裝有大小材質(zhì)完全相同的3個紅球和3個黑球的不透明口袋中，隨機摸出兩個小球，則兩個小球同色的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　記3個紅球分別為a，b，c，3個黑球分別為x，y，z，則隨機取出兩個小球共有15種可能：ab，ac，ax，ay，az，bc，bx，by，bz，cx，cy，cz，xy，xz，yz，其中兩個小球同色共有6種可能，ab，ac，bc，xy，xz，yz，根據(jù)古典概型概率公式可得所求概率為＝，故選C． 17．(2018江西南昌二模)在《周易》中，長橫“__”表示陽爻，兩個短橫“__”表示陰爻，有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23＝8種組合方法，這便是《系辭傳》所說：“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻三次有八種不同的情況即為八卦，在一次卜卦中，恰好出現(xiàn)兩個陽爻一個陰爻的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由題意知，所有可能出現(xiàn)的情況有：(陽，陽，陰)，(陽，陰，陽)，(陰，陽，陽)，(陰，陰，陽)，(陰，陽，陰)，(陽，陰，陰)，(陽，陽，陽)，(陰，陰，陰)，共8種，恰好出現(xiàn)兩個陽爻、一個陰爻的情況有3種，利用古典概型的概率計算公式，可得所求概率為．故選C． 18．(2018廣東深圳一調(diào))兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　記三本不同的書為a，b，c，兩人分書的基本結(jié)果用(x，y)表示，有(0，abc)，(a，bc)，(b，ac)，(c，ab)，(ab，c)，(ac，b)，(bc，a)，(abc，0)，共8種情況，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書有兩種情況，所以一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為＝，故選B． 一、高考大題 1．(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動． (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率． 解　(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． (2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種． ②由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝． 2．(2017山東高考)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游． (1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率； (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率． 解　(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個． 所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個． 則所求事件的概率為P＝＝． (2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個， 則所求事件的概率為P＝． 3．(2016山東高考)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y．獎勵規(guī)則如下： ①若xy≤3，則獎勵玩具一個； ②若xy≥8，則獎勵水杯一個； ③其余情況獎勵飲料一瓶． 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動． (1)求小亮獲得玩具的概率； (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由． 解　用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)． 因為S中元素的個數(shù)是44＝16， 所以基本事件總數(shù)n＝16． (1)記“xy≤3”為事件A， 則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)． 所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為． (2)記“xy≥8”為事件B，“3， 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率． 二、模擬大題 4．(2018安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)某班級甲、乙兩個小組各有10位同學(xué)，在一次期中考試中，兩個小組同學(xué)的成績?nèi)缦拢? 甲組：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98； 乙組：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82． (1)畫出這兩個小組同學(xué)成績的莖葉圖，判斷哪一個小組同學(xué)的成績差異較大，并說明理由； (2)從這兩個小組成績在90分以上的同學(xué)中，隨機選取2人在全班介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗，求選出的2位同學(xué)不在同一個小組的概率． 解　(1)莖葉圖如圖： 由莖葉圖中數(shù)據(jù)分布可知，甲組數(shù)據(jù)分布比較分散，乙組數(shù)據(jù)分布相對集中，所以甲組同學(xué)的成績差異較大． (也可通過計算方差說明，s＝101．6，s＝37．4，s>s) (2)設(shè)甲組成績在90分以上的三位同學(xué)為A1，A2，A3；乙組成績在90分以上的三位同學(xué)為B1，B2，B3．從這6位同學(xué)中選出2位同學(xué)，共有15個基本事件，列舉如下： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)； (A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)； (A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)； (B1，B2)，(B1，B3)； (B2，B3)． 其中，從這6位同學(xué)中選出的2位同學(xué)不在同一個小組的基本事件有9個，所以所求概率P＝＝． 5．(2018江西新余一中第七次模擬)某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準如下表： 消費次數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次 5次及以上 收費比例 1 0．95 0．90 0．85 0．80 該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 消費次數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次 5次及以上 頻數(shù) 60 20 10 5 5 假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題： (1)估計該公司一位會員至少消費兩次的概率； (2)某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤； (3)該公司要從這100位里至少消費兩次的顧客中按消費次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人，再從這8人中抽出2人發(fā)放紀念品，求抽出的2人中恰有1人消費兩次的概率． 解　(1)100位會員中，至少消費兩次的會員有40位，所以估計一位會員至少消費兩次的概率為＝0．4． (2)該會員第1次消費時，公司獲得的利潤為200－150＝50(元)， 第2次消費時，公司獲得的利潤為2000．95－150＝40(元)，所以，公司獲得的平均利潤為＝45(元)． (3)因為20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分層抽樣方法抽出的8人中，消費2次的有4人，分別設(shè)為A1，A2，A3，A4，消費3次的有2人，分別設(shè)為B1，B2，消費4次和5次及以上的各有1人，分別設(shè)為C，D，從中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7種； 去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6種； …… 去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1種，總的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28種， 其中恰有1人消費兩次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16種， 所以，抽出的2人中恰有1人消費兩次的概率為＝．