2018年秋高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.2 演繹推理學案 新人教A版選修1 -2.doc
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2.1.2 演繹推理 學習目標：1.理解演繹推理的含義．(重點)2.掌握演繹推理的模式，會利用三段論進行簡單的推理．(重點、易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．演繹推理 (1)含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理． (2)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理． 2．三段論 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情況 S是M 結(jié)論 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷 S是P 思考：如何分清大前提、小前提和結(jié)論？ [提示]在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義．例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有一般意義． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)“三段論”就是演繹推理． ( ) (2)演繹推理的結(jié)論是一定正確的． ( ) (3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理． ( ) (4)演繹推理得到結(jié)論的正確與否與大前提、小前提和推理形式有關． ( ) [答案] (1) (2) (3) (4)√ 2．“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，補充該推理的大前提是( ) A．正方形的對角線相等 B．矩形的對角線相等 C．等腰梯形的對角線相等 D．矩形的對邊平行且相等 B [得出“四邊形ABCD的對角線相等”的大前提是“矩形的對角線相等”．] 3．三段論： “①小宏在2018年的高考中考入了重點本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常發(fā)揮就能考入重點本科院校；③小宏在2018年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提”是________(填序號)． ③ [在這個推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論．] 4．下列幾種推理過程是演繹推理的是________． ①兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯角相等，如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角，則∠A＝∠B；②金導電，銀導電，銅導電，鐵導電，所以一切金屬都導電；③由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì)；④科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇． ① [①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理．] [合 作 探 究攻 重 難] 演繹推理與三段論 (1)下面四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是( ) A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù) B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) (2)將下列推理寫成“三段論”的形式： ①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； ②0.33是有理數(shù)； ③y＝sin x(x∈R)是周期函數(shù). 【導學號：48662057】 (1)[解析] 對于A，小前提與大前提間邏輯錯誤，不符合演繹推理三段論形式；對于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對于C，大小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對于D，大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式． [答案] B (2)[解] ①大前提：向量是既有大小又有方向的量． 小前提：零向量是向量． 結(jié)論：零向量也有大小和方向． ②大前提：所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)． 小前提：0.33是循環(huán)小數(shù)． 結(jié)論：0.33是有理數(shù)． ③大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)． 小前提：y＝sin x(x∈R)是三角函數(shù)． 結(jié)論：y＝sin x(x∈R)是周期函數(shù)． [規(guī)律方法] 把演繹推理寫成“三段論”的一般方法： (1)用“三段論”寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系. (2)在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提. [跟蹤訓練] 1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理中“三段論”中的________是錯誤的． 小前提 [f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，故小前提錯誤．] 2．將下列演繹推理寫成三段論的形式． ①平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分； ②等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，則∠A＝∠B； ③通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． [解] ①大前提：平行四邊形的對角線互相平分，小前提：菱形是平行四邊形， 結(jié)論：菱形的對角線互相平分． ②大前提：等腰三角形的兩底角相等， 小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角， 結(jié)論：∠A＝∠B. ③大前提：數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列， 小前提：通項公式為an＝2n＋3時，若n≥2， 則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))， 結(jié)論：通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 用三段論證明幾何問題 如圖2111所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：DE＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理. 【導學號：48662058】 2111 [解] (1)同位角相等，兩直線平行，(大前提) ∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提) 所以DF∥AE.(結(jié)論) (2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提) DE∥BA且DF∥EA，(小前提) 所以四邊形AFDE為平行四邊形．(結(jié)論) (3)平行四邊形的對邊相等，(大前提) DE和AF為平行四邊形的對邊，(小前提) 所以DE＝AF.(結(jié)論) [規(guī)律方法] 1．用“三段論”證明命題的格式 (大前提) (小前提) (結(jié)論) 2．用“三段論”證明命題的步驟 ①理清楚證明命題的一般思路； ②找出每一個結(jié)論得出的原因； ③把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來． [跟蹤訓練] 3．如圖2112所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點．求證：EF∥平面BCD. 圖2112 [證明] 三角形的中位線平行于底面，大前提 點E、F分別是AB、AD的中點，小前提 所以EF∥BD.結(jié)論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線， 則這條直線與此平面平行，大前提 EF平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提 EF∥平面BCD.結(jié)論 用三段論證明代數(shù)問題 [探究問題] 1．數(shù)的大小比較常見方法有哪些？ 提示：作差法、作比法、函數(shù)性質(zhì)法(單調(diào)性、奇偶性等)、圖象法、中間量法(常取0或1作為媒介)等． 2．證明函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是什么？試以函數(shù)單調(diào)性給予說明． 提示：證明函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是函數(shù)性質(zhì)的相關定義及有關的知識原理。如函數(shù)單調(diào)性的證明常依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性與導數(shù)的關系給予證明． 3．判斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的依據(jù)是什么？ 提示：判斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的依據(jù)是等差(等比)數(shù)列的定義． (1)設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則( ) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z (2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)，證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù). 【導學號：48662059】 思路探究：(1)借助于指對互化及不等式大小的比較方法求解；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)法求解． (1)[解析] 法一：取對數(shù)：xln 2＝y(tǒng)ln 3＝zln 5，＝>，∴2x>3y； xln 2＝zln 5則＝<，∴2x<5z， ∴3y<2x<5z，故選D. 法二：令2x＝3y＝5z＝k，則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. ∴＝＝>1，則2x>3y ＝＝<1，則2x<5z，故選D. [答案] D (2)[解] 法一：(定義法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)， 且x1
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