《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5.doc（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
選修45 不等式選講
第1課時 絕對值不等式
含有絕對值的不等式的解法.
① 理解絕對值的幾何意義.
② 會解絕對值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c.
③ 了解絕對值不等式：|x－c|＋|x－b|≥a的解法.
1. （選修45P5例2改編）解不等式|2x－1|>3.
解：不等式|2x－1|＞3可化為2x－1<－3或2x－1>3，解得x<－1或x>2.故不等式的解集為{x| x<－1或x>2}.
2. 已知|x－a|
|5－x|，
兩邊同時平方得 4x2＋4x＋1>25－10x＋x2，
即3x2＋14x－24>0，
解得原不等式的解集為（－∞，－6）∪（，＋∞）.
4. （選修45P6例4改編）若存在實數(shù)x滿足不等式|x－4|＋|x－3|k的解集為R，求實數(shù)k的取值范圍.
解：（解法1）根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，－1，2在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價于PA－PB>k恒成立.∵ AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3，∴ 故當(dāng)k<－3時，原不等式恒成立.即實數(shù)k的取值范圍為（－∞，－3）.
（解法2）令y＝|x＋1|－|x－2|，
則y＝
作出y＝的圖象（如圖），要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<－3即可.即實數(shù)k的取值范圍為（－∞，－3）.
1. 不等式的基本性質(zhì)
① a>b?bb，b>c?a>c；
③ a>b?a＋c>b＋c；
④ a>b，c>d?a＋c>b＋d；
⑤ a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd；
⑦ a>b>0?an>bn（n∈N，且n>1）；
⑧ a>b>0?>（n∈N，且n>1）.
2. 含有絕對值的不等式的解法
① |f（x）|>a（a>0）?f（x）>a或f（x）<－a；
② |f（x）|0）?－a0，b>0，且a2＋b2＝，若a＋b≤m恒成立.
（1） 求m的最小值；
（2） 若2|x－1|＋|x|≥a＋b對任意的a，b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.
解：（1） ∵ （a2＋b2）（12＋12）≥（a＋b）2，
∴ a＋b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即時取等號.
∵ a＋b≤m恒成立，∴ m≥3.
故m的最小值為3.
（2） 要使2|x－1|＋|x|≥a＋b恒成立，
則2|x－1|＋|x|≥3，
∴ 或或
∴ x≤－或x≥.
∴ x的取值范圍是∪.
1. （2017蘇北四市期末）已知a，b，c為正實數(shù)，＋＋＋27abc的最小值為m，解關(guān)于x的不等式|x＋1|－2x＜m.
解：因為a，b，c>0，所以＋＋＋27abc≥3＋27abc＝＋27abc≥2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，取等號，
所以m＝18.
所以不等式|x＋1|－2x－，
所以原不等式的解集為.
2. （2016江蘇卷）設(shè)a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求證：|2x＋y－4|＜a.
證明：∵ |x－1|<，|y－2|<，∴ |2x＋y－4|＝|2（x－1）＋（y－2）|≤2|x－1|＋|y－2|<2＋＝a.
3. （2017蘇北四市期中） 設(shè)c＞0，|x－1|＜，|y－1|＜，求證：|2x＋y－3|＜c.
證明：因為|x－1|＜，所以|2x－2|＜，
故|2x＋y－3|＝|2x－2＋y－1|≤|2x－2|＋|y－1|＜＋＝c，
故|2x＋y－3|＜c.
4. 已知一次函數(shù)f（x）＝ax－2.
（1） 當(dāng)a＝3時，解不等式|f（x）|<4；
（2） 解關(guān)于x的不等式|f（x）|<4；
（3） 若不等式|f（x）|≤3對任意x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
解：（1） 當(dāng)a＝3時，則f（x）＝3x－2，
∴ |f（x）|<4?|3x－2|<4?－4<3x－2<4?－2<3x<6?－0時，不等式的解集為{x|－＜x＜}；
當(dāng)a<0時，不等式的解集為{x|＜x＜－}.
（3） |f（x）|≤3?|ax－2|≤3?－3≤ax－2≤3?－1≤ax≤5?
∵ x∈[0，1]，∴ 當(dāng)x＝0時，不等式組恒成立；
當(dāng)x≠0時，不等式組轉(zhuǎn)化為
∵ ≥5，≤－1，∴ －1≤a≤5.
∴ a的取值范圍為[－1，5].
1. （ 2017蘇州期初）已知a≥2，x∈R.求證：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
證明：因為|m|＋|n|≥|m－n|，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－（x－a）|＝|2a－1|.
又a≥2，故|2a－1|≥3.
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
2. 設(shè)不等式|x－2|＋|3－x|0.
故ab＋1>a＋b.
2. 若a，b，c∈R*，且滿足a＋b＋c＝2，求abc的最大值.
解：因為a，b，c∈R*，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時等號成立，
所以abc的最大值為.
3. 若實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝4，求3a＋4b＋5c的最大值.
解：由柯西不等式得（3a＋4b＋5c）2≤（a2＋b2＋c2）（9＋16＋25）＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，
所以3a＋4b＋5c的最大值為10.
4. 已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R.求證：≤.
證明：∵ x＞0，y＞0，∴ x＋y＞0，
∴ 要證≤，
即證（ax＋by）2≤（x＋y）（a2x＋b2y），
即證xy（a2－2ab＋b2）≥0，即證（a－b）2≥0.
而（a－b）2≥0顯然成立，
∴ ≤.
5. 已知a，b＞0，a＋b＝2，x，y＞0，求證：（ax＋by）（bx＋ay）≥4xy.
證明：已知（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋（a2＋b2）xy，且a，b，x，y＞0，所以由均值不等式得ab（x2＋y2）＋（a2＋b2）xy≥（a2＋2ab＋b2）xy＝（a＋b）2xy＝4xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號.
1. 不等式證明的常用方法
（1） 比較法：比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用方法，基本不等式就是用比較法證得的.比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負(fù).
比較法證明不等式的步驟：作差（商）、變形、判斷符號.其中的變形主要方法是分解因式、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述.
（2） 綜合法：綜合法就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直到推出要證明的結(jié)論，即為“由因?qū)Ч?，在使用綜合法證明不等式時，常常用到基本不等式.
（3） 分析法：分析法就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，直至推出顯然成立的不等式，即為“執(zhí)果索因”.
2. 不等式證明的其他方法和技巧
（1） 反證法
從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定結(jié)論是正確的證明方法.
（2） 放縮法
欲證A≥B，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用傳遞性達(dá)到證明的目的.
（3） 數(shù)學(xué)歸納法
3. 柯西不等式的二維形式
（1） 柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實數(shù)，則（a＋a）（b＋b）≥（a1b1＋a2b2）2（當(dāng)且僅當(dāng)a1b2＝a2b1時，等號成立）.
（2） 柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|αβ|.
（3） 三角形不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么＋≥.
4. 柯西不等式的一般形式
設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai，bi（i＝1，2，…，n）為實數(shù)，則ab≥，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時成立（當(dāng)ai＝0時，約定bi＝0，i＝1，2，…，n）.
5. 算術(shù)幾何平均不等式
≥（a1，a2，…，an∈R*），
等號當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時成立.
, 1 用比較法證明不等式)
, 1)?。?017南京、鹽城模擬）設(shè)a≠b，求證：a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）.
證明：a4＋6a2b2＋b4－4ab（a2＋b2）＝（a2＋b2）2－4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝（a2＋b2－2ab）2＝（a－b）4.
因為a≠b，所以（a－b）4＞0，
所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）.
已知m，n是正數(shù)，求證：＋≥m2＋n2.
證明：∵ ＋－m2－n2＝＋＝＝，
又m，n均為正實數(shù)，∴ ≥0，
∴ ＋≥m2＋n2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時，等號成立.
, 2 用分析法、綜合法證明不等式)
, 2)?。?017南通、泰州模擬）設(shè)x，y，z均為正實數(shù)，且xyz＝1，求證：＋＋≥xy＋yz＋zx.
證明：因為x，y，z均為正實數(shù)，且xyz＝1，
所以＋xy≥＝2yz，＋yz≥＝2xz，＋xz≥＝2xy.
所以＋＋≥xy＋yz＋zx.
變式訓(xùn)練
已知a，b，c均為正數(shù).求證：a2＋b2＋c2＋≥6.
證明：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
同理＋＋≥＋＋，
故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ca＋＋＋≥6.
所以原不等式成立.
, 3 均值不等式的應(yīng)用)
, 3) （2017南通、揚(yáng)州、泰州模擬）已知a，b，c，d是正實數(shù)，且abcd＝1.求證：a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d.
證明：因為a，b，c，d是正實數(shù)，且abcd＝1，
所以a5＋b＋c＋d≥4＝4a?、?
同理b5＋c＋d＋a≥4b ②，c5＋d＋a＋b≥4c?、?，d5＋a＋b＋c≥4d ④，
將①②③④式相加并整理，即得a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d.
變式訓(xùn)練
已知x，y，z均為正數(shù)，求證：＋＋≥＋＋.
證明：因為x，y，z均為正數(shù)，
所以＋≥≥.
同理可得＋≥，＋≥.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號都成立.
將上述三個不等式左、右兩邊分別相加，并除以2，
得＋＋≥＋＋.
已知正數(shù)a，b，c滿足abc＝1，求（a＋2）（b＋2）（c＋2）的最小值.
解：∵ （a＋2）（b＋2）（c＋2）＝（a＋1＋1）（b＋1＋1）（c＋1＋1）≥333＝27＝27，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時等號成立，
∴ （a＋2）（b＋2）（c＋2）的最小值為27.
, 4 柯西不等式的應(yīng)用)
, 4)?。?017蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝3，求＋＋的最大值.
解：由柯西不等式可得
（＋＋）2≤（12＋12＋12）[（）2＋（）2＋（）2]＝312，
∴ ＋＋≤6，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時取等號.
∴ ＋＋的最大值是6.
變式訓(xùn)練
求函數(shù)f（x）＝5＋的最大值.
解：函數(shù)定義域為[0，4]，且f（x）≥0.
由柯西不等式得[52＋（）2][（）2＋（）2]≥（5＋）2，
即274≥（5＋）2，
所以5＋≤6.
當(dāng)且僅當(dāng)＝5，即x＝時，取等號.
所以函數(shù)f（x）＝5＋的最大值為6.
（2017南京期末）求函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值.
解：y＝3sin x＋2＝3sin x＋4.
由柯西不等式得y2＝（3sin x＋4）2≤（32＋42）（sin2x＋cos2x）＝25，
所以ymax＝5，此時sin x＝.
所以函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值為5.
1. （2017蘇州期中）已知a，b，c，d都是正實數(shù)，且a＋b＋c＋d＝1，求證：＋＋＋≥.
證明：∵ [（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）]≥（＋＋＋）2＝（a＋b＋c＋d）2＝1，
又（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）＝5，
∴ ＋＋＋≥.
2. （2017南京、鹽城期末）若實數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值.
解：由柯西不等式，得（x＋2y＋z）2≤（12＋22＋12）（x2＋y2＋z2），
即x＋2y＋z≤.
因為x＋2y＋z＝1，所以x2＋y2＋z2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝z＝，y＝時取等號.
綜上，（x2＋y2＋z2）min＝.
3. （2017鎮(zhèn)江期末）已知a＞0，b＞0，求證：（a2＋b2＋ab）（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2.
證明：因為a＞0，b＞0，由均值不等式知a2＋b2＋ab≥3＝3ab，ab2＋a2b＋1≥3＝3ab，所以兩式相乘可得（a2＋b2＋ab）（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2.
4. （2017常州期末）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，求4x2＋y2的最小值.
解：（解法1）根據(jù)柯西不等式得[（2x）2＋y2]（12＋12）≥（2x＋y）2，化簡得4x2＋y2≥18，
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝3，即x＝，y＝3時取等號.
因此，當(dāng)x＝，y＝3時，4x2＋y2取得最小值18.
（解法2）由2x＋y＝6得y＝6－2x；由x＞0，y＞0，得0＜x＜3.
因此4x2＋y2＝4x2＋（6－2x）2＝8x2－24x＋36＝8＋18.
當(dāng)x＝，y＝3時，4x2＋y2取得最小值18.
5. 已知a，b，c>0，且＋＋＝1，求證：＋＋≤.
證明：因為＋＋＝1，所以＋＋＝2.
由柯西不等式，得（＋＋）（＋＋）≥（＋＋）2，
所以＋＋≤.
1. 已知x1，x2，x3為正實數(shù)，若x1＋x2＋x3＝1，求證：＋＋≥1.
證明：因為x1，x2，x3為正實數(shù)，
所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2（x1＋x2＋x3）＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝x3時取等號.所以＋＋≥1.
2. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)， abc＝1.求證：＋＋≥＋＋.
證明：由a，b，c均為正數(shù)，根據(jù)均值不等式，得＋≥，＋≥，＋≥.
將此三式相加，得2≥＋＋，即＋＋≥＋＋.
由abc＝1，則有＝1.
所以＋＋≥＋＋＝＋＋.
3. （2017蘇北三市模擬）已知a，b，c為正實數(shù)，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求證：a＋b＋c≥3.
證明：因為a3＋b3＋c3＝a2b2c2≥3，所以abc≥3，
所以a＋b＋c≥3≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，取等號.
4. 已知a，b，c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值.
解：由柯西不等式，得[a2＋（b）2＋（c）2]≥（a＋b＋c）2.
因為a2＋2b2＋3c2＝6，所以（a＋b＋c）2≤11，
所以－≤a＋b＋c≤.
所以a＋b＋c的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c＝時取得.
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5.doc
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網(wǎng)友學(xué)習(xí)交流，未經(jīng)上傳用戶書面授權(quán)，請勿作他用。
鏈接地址：http://www.820124.com/p-6339316.html