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第1講 小題考法——直線與圓的方程
一、主干知識要記牢
1．直線方程的五種形式
點斜式
y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)
斜截式
y＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)
兩點式
＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標軸和平行于坐標軸的直線)
截距式
＋＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)
一般式
Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)
2.點到直線的距離及兩平行直線間的距離
(1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝．
(2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝ ．
3．圓的方程
(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
4．直線與圓位置關系的判定方法
(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切．
(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則d
r?相離，d＝r?相切．
5．圓與圓的位置關系
已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則
(1)當|O1O2|＞r1＋r2時，兩圓外離；
(2)當|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切；
(3)當|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時，兩圓相交；
(4)當|O1O2|＝|r1－r2|時，兩圓內切；
(5)當0≤|O1O2|＜|r1－r2|時，兩圓內含．
二、二級結論要用好
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關系
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(3)相交?A1B2－A2B1≠0；
(4)垂直?A1A2＋B1B2＝0．
三、易錯易混要明了
1．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情況，直接設為＋＝1；再如，忽視斜率不存在的情況直接將過定點P(x0，y0)的直線設為y－y0＝k(x－x0)等．
2．討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免討論．
3．求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導致錯解．
4．易誤認為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內切的情況導致漏解．
考點一 直線方程
直線方程問題的2個關注點
(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況．
(2)求直線方程時應根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意．
1．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為( C )
A．－ B．0
C．－或0 D．2
解析 由l1∥l2得1(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－. 經(jīng)檢驗，當a＝0或a＝－時均有l(wèi)1∥l2，故選C．
2．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3,2)，B(－a，1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝( B )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析 由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故選B．
3．過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0．
解析 由得∴l(xiāng)1與l2的交點為(1,2). 當所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時，顯然不滿足題意．當所求直線斜率存在時，設所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0, ∵點P(0,4)到直線的距離為2，∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0．
考點二 圓的方程
圓的方程的2種求法
(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．
(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．
1．(2018湖北聯(lián)考)已知a＞1，過P(a,0)作⊙O：x2＋y2＝1的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則經(jīng)過P，A，B三點的圓的半徑為( D )
A． B．
C．a(chǎn) D．
解析 經(jīng)過P，A，B三點的圓為以OP為直徑的圓，所以半徑為，選D．
2．(2018蚌埠模擬)以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為( D )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝4
解析 拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，準線為：x＝－1. 根據(jù)題意可得圓心為(1,0)，半徑為2. 圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.故選D．
3．(2018天津卷)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為x2＋y2－2x＝0．
解析 方法1：設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴
解得
∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0．
方法2：畫出示意圖如圖所示，
則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0．
4．(2018棗莊一模)已知圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，圓心在直線y＝－x＋2上，則圓M的標準方程為x2＋(y－2)2＝2．
解析 由題意，圓心在y＝－x＋2，設圓心為(a,2－a), 因為圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切， 則圓心到兩直線的距離相等，即＝，解得a＝0，即圓心(0,2)，且r＝＝，所以圓的方程x2＋(y－2)2＝2．
考點三 直線與圓、圓與圓的位置關系
1．直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路
(1)研究直線與圓的位置關系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實現(xiàn)，兩圓位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．
(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．
2．直線截圓所得弦長的求解方法
(1)根據(jù)平面幾何知識構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)．
(2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)．
(3)求出交點坐標，用兩點間的距離公式求解．
1．(2018濰坊模擬)直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是( B )
A． B．
C．[－，] D．
解析 設圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離為d，
則根據(jù)點到直線距離有d＝，
由直線與圓相交弦長公式r2＝d2＋2，
所以|MN|＝2＝2，
解不等式2≥2得k2≤，
所以k∈，故選擇B．
2．(2018綿陽三診)已知圓C1：x2＋y2＝r2，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，給出下列結論：
①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；
②2ax1＋2by1＝a2＋b2；
③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b．
其中正確結論的個數(shù)是( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 公共弦的方程為2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正確；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正確；AB的中點為直線AB與直線C1C2的交點，又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0. 由得故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正確，綜上，選D．
3．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N兩點．若＝12，其中O為坐標原點，則|MN|＝( A )
A．2 B．4
C． D．2
解析 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圓心為(2,3)，
將y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，
整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，
由題設可得＋8＝12，得k＝1，
所以直線l的方程為y＝x＋1．
故圓心(2,3)恰在直線l上，所以|MN|＝2．
4．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則t的取值范圍是( D )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析 依題意，設點P(＋cos θ，1＋sin θ)，
∵∠APB＝90，∴＝0，
∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，
得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，
∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，
∵t＞0，∴t∈[1,3]．
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