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八　不等式選講(B) 1.(2018呼倫貝爾一模)已知a>0,b>0,且a+b=1. (1)若ab≤m恒成立,求m的取值范圍; (2)若4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范圍. 2.(2018永州模擬)已知?x0∈R使得關(guān)于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立. (1)求滿足條件的實數(shù)t的集合T; (2)若m>1,n>1,且對于?t∈T,不等式log3mlog3n≥t恒成立,試求m+n的最 小值. 3.(2018葫蘆島二模)已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x-1|. (1)若f(x)≥1m+1n(m>0,n>0)對任意x∈R恒成立,求m+n的最小值; (2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 4.(2018南平質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|. (1)解不等式f(x)≤x+1; (2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為c,已知實數(shù)a,b滿足a>0,b>0,a+b=c,求證:a2a+1+ b2b+1≥1. 1.解:(1)因為a>0,b>0,且a+b=1, 所以ab≤(a+b2)2=14,當且僅當a=b=12時“=”成立, 由ab≤m恒成立,故m≥14. (2)因為a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab≥5+24baab=9, 當且僅當a=2b時取等號, 故若4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,則|2x-1|-|x+2|≤9, 當x≤-2時,不等式化為1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2, 當-21,n>1, 所以log3m>0,log3n>0. 又1≤log3mlog3n≤(log3m+log3n2)2=(log3mn)24(log3m=log3n時,取等號,此時m=n), 所以(log3mn)2≥4, 所以log3mn≥2,mn≥9, 所以m+n≥2mn≥6, 即m+n的最小值為6(此時m=n=3). 3.解:(1)由題意可知,f(x)=-3x,x≤-1,-x+2,-10,n>0,解得m+n≥83, 當且僅當m=n時等號成立, 故m+n的最小值為83. (2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其為過定點(-1,-2)的斜率為a的直線, 則f(x)≥g(x)表示函數(shù)y=f(x)恒在函數(shù)y=g(x)圖象的上方, 由圖象可知-3≤a≤73. 4.(1)解:f(x)≤x+1, 即|x-1|+|x-3|≤x+1. ①當x<1時,不等式可化為4-2x≤x+1,x≥1. 又因為x<1,所以x∈; ②當1≤x≤3時,不等式可化為2≤x+1,x≥1. 又因為1≤x≤3,所以1≤x≤3. ③當x>3時,不等式可化為2x-4≤x+1,x≤5. 又因為x>3,所以31,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4, a2a+1+b2b+1=(m-1)2m+(n-1)2n=m+n+1m+1n-4=4mn≥4(m+n2)2=1, 原不等式得證.