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1、 第二章 DIERZHANG 直線和的方程 2.1直線的傾斜角與斜率 課前-自主探究 2.1.1傾斜角與斜率 內(nèi)容標準 學科素養(yǎng) 1. 在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的兒何要素. 2. 理解直線的傾斜角和斜率的概念. 3. 經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. 4. 掌握傾斜角與斜率的對應關(guān)系. 數(shù)學抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學運算 自主預習基礎(chǔ)認知 授課提示：對應學生用書第31頁［教材提煉］ 知識點一直線的傾斜角 預習教材，思考問題 如圖，在平面直角坐標系中，過一點P(2,2)可以作出多少條

2、直線？這些直線區(qū)別在哪里 呢？如何表示這些直線的方向呢？ ［提示］無數(shù)條.區(qū)別是它們的方向不同.這些直線相對于x軸的傾斛■程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同.因此，我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向. 知識梳理 定義 當直線/與x軸相交時，取x軸作為基準，玉軸正向與直線/向上的方向之間所成的 角a叫做直線/的傾斜角 規(guī)定 當直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定直線/的傾斜角為0。 記法 a 圖示 * 范圍 0°Wa<180。 作用 (1) 表示平面直角坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度; (2) 確定平面直角坐標系中一條直線位置的兒何要素是：直線上的一個

3、定點以及它的傾斜角,二者缺一不可 知識點二直線的斜率 預習教材，思考問題 我們知道：兩點確定一條直線，進而它的傾斜角也就確定了，那么任給直線/上兩點P|(M，>1)，P2(X2,>2)(其中引正松)，直線/的傾斜角a與R,P2兩點的坐標有什么樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？清用向量法探究下列問題： (1)己知直線/經(jīng)過0(0,0),01,1),a與(),P的坐標有什么關(guān)系? ［提示］如圖，OP=(1J),由正切函數(shù)的定義，得tana=\. (2)類似地,如果直線/經(jīng)過R(l,。)，必(一1,2),a與R,戶2的坐標有什么關(guān)系? ［提示］如圖，汗2=(-2,2),平移舟2到矛，則點

4、P的坐標為(-2,2),且直線OP的傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義, 傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義, (3)—般地,如果直線/經(jīng)過兩點P|(X1，yi),P2S，J2),xi^x2f那么a與Pl,P2的坐 標有怎樣的關(guān)系？ ［提示］如圖，當向量奇2的方向向上時，P>2=（X2~X|,關(guān)一），1）.平移奇2到泣，則V9—V1點P的坐標為（X2—xi,關(guān)一y1）,且直線0P的傾斜角也是由正切函數(shù)的定義，有tana=. 尤2X1 當向量局|的方向向上時，P^P}=（X}-X2t》一歸）.平移呼|到則點P的坐標為（由vi— —X2,yi~y2）,且直線OP的傾斜角也是a

5、.如圖，由正切函數(shù)的定義，也有tana=*=X\~X2 知識梳理⑴直線/的傾斜角?與直線I上的兩點P1（A1，V）,P2（X2,），2）3*“）的坐標有如下關(guān)系：tana=—丑. X1~X\ （2）我們把-條直線的傾斜角。的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母k表示，即k=tan_a. （3）傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度，它們的對應關(guān)系： 圖示 - * % 傾斜角（范圍） 1=0。 0°0 不存在 kVQ ⑷若直線/的斜率為奴它的

6、一個方向向量的坐標為（x,y），則k=l ［自主檢測］ 1. 下圖中。能表示直線/的傾斜角的是（） A.① B.①② C.①③ D.②④ 解析：結(jié)合直線/的傾斜角的概念可知①③可以，選C. 答案：c 2.（教材P55練習2改編）在直角坐標系中，一條直線的斜率為寸，則此直線的傾斜角 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：由題意得tana=S，又Aa=60°. 答案：B 3.（教材P55練習3改編）過點皿）、可（一皿，0）的直線的斜率是（） B.-1 答案：A 4. 若過A（4,y）,BQ,一3）兩點的直線的傾斜角是45。，則y=.

7、—3—v解析：直線的傾斜角為45°,則其斜率為A=tan45°=I.由斜率公式，得2_4=】'解得）,=-1. 答案：一1 5. 已知4（1,1）,伙3,5）,C（a,7）,D（-l,b）四點在同一直線上，求直線的斜率及〃、b的值. 5—1 解析：由題意知，k,\B=3_］=2,由如c=W=2, 由如c=W=2, 解得a=4； =2,解得b=-3, =2,解得b=-3, 故直線的斜率為2,a=4,b=~3. 課堂-互動探究 以例示法核心突碰 授課提示：對應學生用書第32頁 探究一求直線的傾斜角 ［例1］(1)設(shè)直線/過原點，其傾斜角為“，將直線/

8、繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到直線4,則直線K的傾斜角為() A. a+45。 B. 。一135。 C. \35°~a D. 當0。&<135。時，傾斜角為a+45。,當135°WaV180。時，傾斜角為，一135。 (2)設(shè)直線A過原點，其傾斜角a=15。，直線4與/2的交點為A,且匕與/2向上的方向之間所成的角為75。，則直線古的傾斜角為. ［分析］對于(1),由于a不確定，需分情況討論；對于(2),畫出圖象，利用圖象求解. ［解析］(1)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示： 因為0°^a<180°,顯然A,R,C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知

9、： 當0°

10、(2)如圖②，直線/向上方向與x軸正向所成的南為120°,即直線/的傾斜角為120°.答案：60。或120° 探究二根據(jù)斜率公式求斜率 [例2]直線/過點P(l,0),且與以A(2,l),B(0,壽)為端點的線段有公共點，則直線/斜率的取值范圍為. [分析]結(jié)合圖形，根據(jù)直線斜率的變化情況，確定出其范圍. ]—0、萬—0 [解析]如圖，,:kAP=._]=1,knp=0、_|=—a/3, ???虹(一8,]U[1,+8). [答案|(一8,f]U[1,+8) ■變式訓練培養(yǎng)應變能力 1.若將本例⑵中P(l,0)改為p(—1,0),其他條件不變，求直線/斜率的取值范圍.

11、解析：..."(一1,0),A(2,l),3((),寸5), .,1一°1,壽_0仄 ??3>—2_(_1)_3，如尸_0_(_])_。3. 如圖可知，直線/斜率的取值范圍為＜3. 2. 若將本例(2)中的"點坐標改為(2,-1),其他條件不變，求直線/傾斜角。的取值范圍. 解析：如圖，直線欄的傾斜角為45。，直線PB的傾斜角為135。， 由圖象知/的傾斜角的范圍為 (a|0"Wc(W45'}U{?|135°

12、，直線垂直于］軸，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解. 探究三斜率與傾斜角的應用 ［例3］己知某直線/的傾斜角。=45。,又-(2,)，i),P2S2.5),P3(3,l)是此直線上的三點，求X2，＞1的值. ［分析］直線/的傾斜角已知可以求出其斜率且R、P2、P3均在直線/上，故任兩點的斜率均等于直線/的斜率，從而可以解出為，》的值. ［解析］Va=45°,..?直線/的斜率&=tan45°=1, VPi,P2,P3都在直線/上，:?kPiPz=kPzP3=k. 斜率是反映直線相對于］軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在 同一直線上任意不同的兩點

13、所確定的斜率相等，這正是利用斜率可證三點共線的原因. —同源異考重在觸類旁通 2.如果三點4(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一條直線上，則〃?的值為 解析：知=與吉=宇， 1—tn7..?人、B、C三點共線，.*睫=岫.即二j-=『.?，〃=一6. 答案：一6素養(yǎng)拓展能力提升 素養(yǎng)拓展能力提升 課后-素養(yǎng)培優(yōu)授課提示：對應學生用書第34頁 、“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”——數(shù)形結(jié)合思想在求斜率取值范圍中的應院直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象 I典例I］經(jīng)過點P(0,一2)作直線/,若直線與過4(一2,3),3(2,1)的線段總沒有公共點,則直線/斜率的取值

14、范圍是. ［解析］設(shè)直線/的斜率為化直線AP的斜率為如，直線時的斜率為蜘, 當直線,/與線段AB有公共點時，kWkAP或空而,3-2)- -2O(-一 -2 1>\或 5-2 3-2)- -2O(-一 -2 1>\或 5-2 3—(—2) 即當直線,/與線段有公共點時，＜_：_,、=53 所以當直線/與線段沒有公共點時，一 答案：加_|v炊|［ 二、“歷史使人聰明，詩歌使人機智，數(shù)學使人精細”一分類討論在求傾斜角取值范圍中的應用 ＞數(shù)學運算、直觀想象'邏輯推理 ［典例2］求經(jīng)過A(鳳3),倒1,2)兩點的直線的斜率，并指出傾斜角。的取值范圍. |解析］當，〃=1時，直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角a=90。. 當時，由斜率公式可得in~1in—I ① 當m>\時，A=—^>0,in—1 所以直線的傾斜角?的取值范圍是0。<。<90°. ② 當ni<\時，m~1 所以直線的傾斜角a的取值范圍是90°