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專題03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)第二季 1．已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數(shù)的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根據(jù)題意，分析可得當(dāng)時(shí)，， 則函數(shù)在為增函數(shù)， 又由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)在為減函數(shù)， 所以函數(shù)的最小值為， 點(diǎn)作曲線的兩條切線， 則兩條切線的關(guān)于直線對(duì)稱，即兩條切線的斜率互為相反數(shù)， 若兩條切線互相垂直，切線的斜率， 設(shè)右側(cè)的切點(diǎn)為， 因?yàn)椋詫?dǎo)數(shù)， 則有，即，① 又由切線過(guò)點(diǎn)，可得， 即，解可得，② 聯(lián)立①②可得， 則函數(shù)的最小值為，故選B. 2．設(shè)橢圓的左,右頂點(diǎn)為是橢圓上不同于的一點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,則當(dāng)取得最小值時(shí),橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由橢圓方程可得， 設(shè)，則, 則， ， ， 令，則， ， 在上遞減，在上遞增， 可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值， ， ，故選D. 3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵當(dāng)時(shí)，不等式恒成立 ∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立 令，則 ∵ ∴當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù) ∴，即 令，則 ∴當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù) ∴ ∵ ∴或 故選A 4．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 5．設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝2， ∴當(dāng)x時(shí)，f″（x）≥0， ∴f′（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增， ∴f′（x）≥f′（）＝2﹣ln0， ∴f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增， ∵[a，b]?[，+∞）， ∴f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增， ∵f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇k（a+2），k（b+2）]， ∴， ∴方程f（x）＝k（x+2）在[，+∞）上有兩解a，b． 作出y＝f（x）與直線y＝k（x+2）的函數(shù)圖象，則兩圖象有兩交點(diǎn)． 若直線y＝k（x+2）過(guò)點(diǎn)（，ln2）， 則k， 若直線y＝k（x+2）與y＝f（x）的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0）， 則，解得k＝1． ∴1＜k， 故選B. 6．若函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。? A．3 B．e C．2 D．1 【答案】D 【解析】 由已知得：， 當(dāng)時(shí)，， 設(shè)時(shí)，則，∴ ∴時(shí)， ∴， ∵，∴，∴， ∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減， ∴，∴， 故選D． 7．奇函數(shù)f（x）定義域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，總有（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，則不等式f（x）＞0的解集為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵當(dāng)x＞0時(shí)，總有（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，即f′（x）ln（1﹣x2）成立，也就是f′（x）ln（1﹣x2）0成立， 又∵ln（1﹣x2）＝ln（1﹣x）+ln（1+x）， ∴，即[f（x）ln（1﹣x2）]′＞0恒成立， 可知函數(shù)g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）在（0，1）上單調(diào)遞增， ∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）是奇函數(shù)，則在（﹣1，0）上單調(diào)遞增， 又f（）＝f（）＝0，∴g（）＝f（）＝0， ∴g（x）的圖象如下： 在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，∴f（x）＞0成立． ∴不等式f（x）＞0的解集為． 故選：B． 8．已知函數(shù)，若（），，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由已知不妨設(shè)x2＞x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2＞f（x1）+2mx1，令g（x）＝f（x）+2mx，即g（x2）＞g（x1）,由函數(shù)單調(diào)性的定義可知g（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增．又函數(shù)g（x）＝，g（x）＝2x++2m， 即g（x）≥0在[4，+∞）恒成立，即x++m≥0在[4，+∞）恒成立， 變量分離得-mx+,令h(x)= x+,只需-m ， 又h(x)在[4，+∞）上單調(diào)遞增，則=h(4)=4+，所以-m4+， 由已知使-m4+成立，即, 即， 故選：D. 9．記曲線f（x）＝x﹣e﹣x上任意一點(diǎn)處的切線為直線l：y＝kx+b，則k+b的值不可能為（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 10．已知函數(shù)，若只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 令，解得或， 令，可得， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，， 所以當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)函數(shù) 只有一個(gè)極值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù) 只有一個(gè)極值點(diǎn)1，滿足題意， 當(dāng)時(shí)不滿足條件，舍去. 綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C. 11．設(shè)函數(shù),若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A． B．(0,1) C．(0,2) D． 【答案】B 【解析】 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得， 由題意可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)， 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 且當(dāng)時(shí)，，結(jié)合單調(diào)性可以畫(huà)出函數(shù)在大致圖象（如下圖）。 函數(shù)是斜率為且恒過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線，設(shè)與相切時(shí)直線斜率為， 則當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn), 設(shè)切點(diǎn)為（），則，， 則切線方程為， 因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)（1，0），則， 解得或， 因?yàn)?，所以只有滿足題意， 此時(shí)切線方程為，， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)。 故選B. 12．定義在上函數(shù)滿足，且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故 可以轉(zhuǎn)換為 對(duì)應(yīng)于恒成立,即 即對(duì)恒成立 即對(duì)恒成立 令,則上遞增,在上遞減, 所以 令,在上遞減 所以.故,故選B. 13．設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)為奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，且,則不等式的解集為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令， 因?yàn)榉謩e是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)， 所以是定義在R上的奇函數(shù)， 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，成立， 所以在區(qū)間上是增函數(shù)，可得它在區(qū)間上也是增函數(shù)， 因?yàn)榭傻茫? 所以結(jié)合是奇函數(shù)可得， 當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可得， 當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可得， 因此，不等式的解集是：， 故選C. 14．函數(shù)的定義域是，，對(duì)任意，，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 令，則， ， ， ，即在上單調(diào)遞增， 又，， 故當(dāng)時(shí)，，即，整理得， 的解集為． 故選：． 15．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 16．已知函數(shù)，的解集為，若在上的值域與函數(shù)在上的值域相同，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因?yàn)椋x域?yàn)椋? 所以， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，即的值域?yàn)? 令，則，， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 要使的值域?yàn)椋? 則，所以， 所以的范圍是. 故選：D 17．已知函數(shù)，（其中為正整數(shù)， ），則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D．與有關(guān) 【答案】C 【解析】 函數(shù)，（其中為正整數(shù)， ）零點(diǎn)個(gè)數(shù)是方程解的個(gè)數(shù)， 設(shè)， 因?yàn)椋? 所以 在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增； 如圖中實(shí)線所示； ，由的圖象可得： 時(shí)，的圖象，如圖中虛線所示； 則函數(shù)共有個(gè)零點(diǎn)； 由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)仍為個(gè)， 故選C. 18．已知定義在[e，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+xlnxf′（x）＜0且f（2018）＝0，其中f′（x）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則不等式f（x）＞0的解集為（　?。? A．[e，2018） B．[2018，+∞） C．（e，+∞） D．[e，e+1） 【答案】A 【解析】 ∵定義在[e，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+xlnxf′（x）＜0， 設(shè)g（x）＝f（x）lnx， ∴g′（x）＝f′（x）lnx0在[e，+∞）恒成立， ∴g（x）在[e，+∞）單調(diào)遞減， ∵f（2018）＝0 ∴g（2018）＝f（2018）ln2018＝0， 要求f（x）＞0，lnx＞0，只需g（x）＞0即可.∵ ∴g（x）＞0＝g（2018）， ∴x＜2018， ∴e≤x＜2018， 故選：A． 19．若曲線與存在公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 20．設(shè)函數(shù)，其中，若僅存在兩個(gè)正整數(shù)使得，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 令f（x）＝0，得x（2lnx﹣1）＝ax﹣a， 令h（x）＝x（2lnx﹣1），g（x）＝ax﹣a＝a（x﹣1）， 則h′（x）＝2lnx+1， 令h′（x）＝0，解得：x， 故x∈（0，）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減， x∈（，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增， 故h（x）min＝h（），h（1）＝﹣1＜0， 若僅存在兩個(gè)正整數(shù)使得， 即保證有兩個(gè)正整數(shù)解， 由題意得：， 解得：4ln2﹣2＜a≤3ln3， 故選：B．