《浙江省2019高考數(shù)學(xué) 精準(zhǔn)提分練 解答題通關(guān)練4 圓錐曲線.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2019高考數(shù)學(xué) 精準(zhǔn)提分練 解答題通關(guān)練4 圓錐曲線.docx（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

4.圓錐曲線 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)． (1)求拋物線C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，|PM|＝|PN|.求直線AB的斜率． 解　(1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為y2＝ax(a≠0)， 由拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，得a＝4， 所以拋物線C的方程為y2＝4x. (2)因?yàn)閨PM|＝|PN|， 所以∠PMN＝∠PNM，所以∠1＝∠2， 所以直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＋kPB＝0. 依題意，直線AP的斜率存在， 設(shè)直線AP的方程為y－2＝k(x－1)(k≠0)， 將其代入拋物線C的方程， 整理得k2x2－2(k2－2k＋2)x＋k2－4k＋4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，則1x1＝， y1＝k(x1－1)＋2＝－2， 所以A，以－k替換點(diǎn)A坐標(biāo)中的k， 得B. 所以kAB＝＝－1.所以直線AB的斜率為－1. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(1,0)和直線l：x＝4，圓C與直線l相切，并且圓心C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)在圓C上，直線l與x軸相交于點(diǎn)P. (1)求圓心C的軌跡E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)F且與直線l不垂直的直線m與圓心C的軌跡E相交于點(diǎn)A，B，求△PAB面積的取值范圍． 解　(1)設(shè)圓心C(x，y)，則圓心C到點(diǎn)F的距離等于它到直線l距離的一半， ∴＝|4－x|， 化簡(jiǎn)得圓心C的軌跡方程為＋＝1. (2)設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1， 由得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，Δ＞0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－， |y1－y2|＝＝12， △PAB的面積S＝|y1－y2||PF|＝18. 設(shè)t＝k2＋1≥1， 則＝＝， 設(shè)f(t)＝9t＋＋6，t≥1，則f′(t)＝9－＞0， ∴f(t)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(t)≥f(1)＝16， ∴S≤18＝， 即△PAB面積的取值范圍為. 3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且C過(guò)點(diǎn). (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P，Q均在第一象限)，且直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列，證明：直線l的斜率為定值． (1)解　由題意可得解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題意可知直線l的斜率存在且不為0， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)， 由消去y， 整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， ∵直線l與橢圓交于兩點(diǎn)， ∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0. 設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. ∵直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列， ∴k2＝＝， 整理得km(x1＋x2)＋m2＝0， ∴＋m2＝0， 又m≠0，∴k2＝， 結(jié)合圖象(圖略)可知k＝－，故直線l的斜率為定值． 4．已知拋物線Γ：x2＝2py(p>0)，直線y＝2與拋物線Γ交于A，B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))兩點(diǎn)，且|AB|＝4. (1)求拋物線Γ在A，B兩點(diǎn)處的切線方程； (2)若直線l與拋物線Γ交于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)在線段AB上，MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)Q，求△QMN面積的最大值． 解　(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，由y＝，得y′＝，故＝. 所以在A點(diǎn)的切線方程為y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，同理可得在B點(diǎn)的切線方程為2x＋y＋2＝0. (2)由題意得直線l的斜率存在且不為0， 故設(shè)l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 聯(lián)立 得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0， 所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m， 故|MN|＝＝2. 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝2， 由Δ＝36k2＋24m>0，得－0，得10，即m2<4. y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－4. |y1－y2|＝2. |x1－x2|＝＝|y1－y2|＝|m|. 所以△ABF的面積S＝|m||x1－x2|＝m2＝. 令00， 當(dāng)b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P在橢圓上(異于橢圓C的左、右頂點(diǎn))，過(guò)右焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線L的垂線F2Q，交L于點(diǎn)Q，且|OQ|＝2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為4. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：x＝my＋4(m∈R)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，直線A′B交x軸于點(diǎn)D，求當(dāng)△ADB的面積最大時(shí)，直線l的方程． 解　(1)由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為4ab＝4，得ab＝2. 延長(zhǎng)F2Q交直線F1P于點(diǎn)R，因?yàn)镕2Q為∠F1PF2的外角平分線的垂線， 所以|PF2|＝|PR|，Q為F2R的中點(diǎn)， 所以|OQ|＝＝＝＝a， 所以a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)聯(lián)立消去x， 得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， 所以Δ＝(24m)2－436(3m2＋4)＝144(m2－4)>0，即m2>4. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′(x1，－y1)， 由根與系數(shù)的關(guān)系， 得y1＋y2＝，y1y2＝， 直線A′B的斜率k＝＝， 所以直線A′B的方程為y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0，得xD＝＝＝＋4， 故xD＝1，所以點(diǎn)D到直線l的距離d＝， 所以S△ADB＝|AB|d＝＝18. 令t＝(t>0)，則S△ADB＝18＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)3t＝，即t2＝＝m2－4，即m2＝>4，m＝時(shí)，△ADB的面積最大， 所以直線l的方程為3x＋2y－12＝0或3x－2y－12＝0.