2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課時(shí)作業(yè)28 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 文.doc
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課時(shí)作業(yè)28 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．[2019河南安陽(yáng)模擬]已知數(shù)列：，，，，，，，，，，…，依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，這個(gè)數(shù)列的第2 018項(xiàng)a2 018等于( ) A. B. C．64 D. 解析：觀察數(shù)列：，，，，，，，，，，…，可將它分成k(k∈N*)組，即第1組有1項(xiàng)，第2組有2項(xiàng)，第3組有3項(xiàng)，……，所以第k組有k項(xiàng)，各項(xiàng)的分子從k依次減小至1，分母從1依次增大到k，所以前k組共有項(xiàng)，令2 018＝＋m(k∈N*,1≤m≤k，m∈N*)，可得k＝63，m＝2，∴該數(shù)列的第2 018項(xiàng)a2 018為第64組的第2項(xiàng)，故a2 018＝，故選D. 答案：D 2．[2019廣東茂名模擬]Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且?n∈N*都有2Sn＝3an＋4，則Sn＝( ) A．2－23n B．43n C．－43n－1 D．－2－23n－1 解析：∵2Sn＝3an＋4，∴2Sn＝3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，變形為Sn－2＝3(Sn－1－2)，又n＝1時(shí)，2S1＝3S1＋4，解得S1＝－4，∴S1－2＝－6.∴數(shù)列{Sn－2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為－6，公比為3.∴Sn－2＝－63n－1，可得Sn＝2－23n.故選A. 答案：A 3．[2019河北石家莊模擬]若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 018的值為( ) A．2 B．－3 C．－ D. 解析：∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，……，可得an＋4＝an，則a2 018＝a5044＋2＝a2＝－3.故選B. 答案：B 4．[2019廣東惠州模擬]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1，則＝( ) A. B. C. D. 解析：∵Sn＝2an－1，∴n＝1時(shí)，a1＝2a1－1，解得a1＝1；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化為an＝2an－1.∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2.∴a6＝25＝32，S6＝＝63，則＝.故選A. 答案：A 5．已知數(shù)列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( ) A．a(chǎn)n＝2n＋1 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n＋2 解析：由題意可知，數(shù)列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5， 則a1＋a2＋a3＋…＋an－1 ＝2(n－1)＋5，n>1， 兩式相減可得：＝2n＋5－2(n－1)－5＝2， ∴an＝2n＋1，n>1，n∈N*. 當(dāng)n＝1時(shí)，＝7，∴a1＝14， 綜上可知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為： an＝ 故選B. 答案：B 二、填空題 6．[2019惠州高三調(diào)研]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. 解析：an＋1－2an＝2n兩邊同除以2n＋1，可得－＝，又＝，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)＝，∴an＝n2n－1. 答案：n2n－1 7．[2019太原市高三模擬]已知數(shù)列{an}中，a1＝0，an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，若數(shù)列{bn}滿足bn＝nn－1，則數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)． 解析：由a1＝0，且an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，得an－an－1＝2n－1(n≥2)，則a2－a1＝22－1，a3－a2＝23－1，a4－a3＝24－1，…，an－an－1＝2n－1(n≥2)，以上各式累加得an＝2(2＋3＋…＋n)－(n－1)＝2－n＋1＝n2－1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，上式仍成立，所以bn＝nn－1＝nn－1＝(n2＋n)n－1(n∈N*)．由得解得≤n≤.因?yàn)閚∈N*，所以n＝6，所以數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為第6項(xiàng)． 答案：6 8．[2019廣州市高中綜合測(cè)試]我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，用圖①的三角形形象地表示了二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律，俗稱“楊輝三角”．現(xiàn)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到圖②所示的由數(shù)字0和1組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第n行各數(shù)字的和為Sn，如S1＝1，S2＝2，S3＝2，S4＝4，…，則S126＝________. 解析：題圖②中的三角形數(shù)表，從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，有1個(gè)1，第2次全行的數(shù)都為1的是第2行，有2個(gè)1，第3次全行的數(shù)都為1的是第4行，有4個(gè)1，依此類推，第n次全行的數(shù)都為1的是第2n－1行，有2n－1個(gè)1.第1行，1個(gè)1，第2行，2個(gè)1，第3行，2個(gè)1，第4行，4個(gè)1；第1行1的個(gè)數(shù)是第2行1的個(gè)數(shù)的，第2行與第3行1的個(gè)數(shù)相同，第3行1的個(gè)數(shù)是第4行1的個(gè)數(shù)的；第5行，2個(gè)1，第6行，4個(gè)1，第7行，4個(gè)1，第8行，8個(gè)1；第5行1的個(gè)數(shù)是第6行1的個(gè)數(shù)的，第6行與第7行1的個(gè)數(shù)相同，第7行1的個(gè)數(shù)是第8行1的個(gè)數(shù)的.根據(jù)以上規(guī)律，當(dāng)n＝8時(shí)，第28－1行有128個(gè)1，即S128＝128，第127行有64個(gè)1，即S127＝64，第126行有64個(gè)1，即S126＝64. 答案：64 三、解答題 9．[2019山東青島調(diào)研]已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝32n－3，其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，Tn為其前n項(xiàng)和，b2＝a5，b11＝S3，求Tn的最值． 解析：(1)由Sn＝32n－3，n∈N*，得 (ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝321－3＝3. (ⅱ)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(32n－3)－(32n－1－3)＝3(2n－2n－1)＝32n－1(*)．又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3也滿足(*)式． 所以，對(duì)任意n∈N*，都有an＝32n－1. (2)設(shè)等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公差為d，由(1)得b2＝a5＝325－1＝48，b11＝S3＝323－3＝21. 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得解得 所以bn＝54－3n. 可以看出bn隨著n的增大而減小， 令bn≥0，解得n≤18， 所以Tn有最大值，無最小值，且T18(或T17)為前n項(xiàng)和Tn的最大值， T18＝＝9(51＋0)＝459. 一題多解 對(duì)于求Tn的最值還有以下解法： 由上知bn＝54－3n， ∴Tn＝＝(－3n2＋105n)， 又y＝(－3x2＋105x)圖象的對(duì)稱軸為x＝17.5. ∴T17＝T18，它們的值最大，且Tn無最小值． 可得T18＝459. 10．[2018全國(guó)卷Ⅰ]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式． 解析：(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1， 所以an＝n2n－1. [能力挑戰(zhàn)] 11．[2019鄭州高中質(zhì)量預(yù)測(cè)]已知f(x)＝數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an＝f(n)，且{an}是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是( ) A．(1，＋∞) B. C．(1,3) D．(3，＋∞) 解析：因?yàn)閍n＝f(n)，且{an}是遞增數(shù)列，所以則得a>3.故選D. 答案：D 12．[2019山東濟(jì)寧模擬]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝( ) A. B. C．3 D. 解析：令bn＝nan，則2bn＝bn－1＋bn＋1，所以{bn}為等差數(shù)列，因?yàn)閎1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，則bn＝3n－2，所以b18＝52，即18a18＝52，所以a18＝，故選B. 答案：B 13．[2019山西省八校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． 解析：由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)2n，因?yàn)閿?shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)2n－1>0對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，所以λ下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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