江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 自主加餐的3大題型 14個填空題強化練(九)數(shù)列(含解析).doc
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14個填空題專項強化練(九) 數(shù) 列 A組——題型分類練 題型一 等差、等比數(shù)列的基本運算 1.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2=7,S7=-7,則a7的值為________. 解析:因為等差數(shù)列{an}滿足a2=7,S7=-7,所以S7=7a4=-7,a4=-1,所以d==-4,所以a7=a2+5d=-13. 答案:-13 2.(2018鹽城高三模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an+n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為an=________. 解析:Sn=2an+n(n∈N*)?、伲攏=1時,得a1=-1,當n≥2時,Sn-1=2an-1+n-1 ②,①-②,得an=2an-2an-1+1(n≥2),即an-1=2(an-1-1)(n≥2),則數(shù)列{an-1}是以-2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an-1=-22n-1=-2n,a1=-1符合上式.所以數(shù)列{an}的通項公式為an=1-2n. 答案:1-2n 3.已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),若a4=a,a2+a4=,則a5=________. 解析:法一:設等比數(shù)列{an}的首項為a1(a1>0),公比為q(q>0), 由題意解得 所以a5=a1q4=. 法二:(整體思想)依題意由得16a+16a2-5=0,即(4a2+5)(4a2-1)=0,又等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù),所以a2=,從而a4=,從而由q2==,又q>0,所以q=,a5=a4q==. 答案: [臨門一腳] 1.等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想解決問題. 2.在等差、等比混合后考查基本量的計算容易造成公式和性質(zhì)混淆,從而造成計算失誤. 3.等差、等比數(shù)列的通項公式: 等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;等比數(shù)列{an}的通項公式為an=a1qn-1=amqn-m(a1≠0,q≠0). 4.等差、等比數(shù)列的前n項和: (1)等差數(shù)列的前n項和為:Sn==na1+d=n2+n(二次函數(shù)). 特別地,當d≠0時,Sn是關于n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0,即可設Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)). (2)等比數(shù)列的前n項和為: Sn= 特別地,若q≠1,設a=,則Sn=a-aqn,要注意對q是否等于1討論. 題型二 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 1.(2018蘇北四市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a3+a5+a7+a9=10,a-a=36,則a11的值為________. 解析:因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a3+a5+a7+a9=5a5=10,a5=2,則a-a=(a8+a2)(a8-a2)=12a5d=24d=36,d=,則a11=a5+6d=11. 答案:11 2.設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若=3,則=________. 解析:設S2=k,S4=3k,由數(shù)列{an}為等比數(shù)列,得S2,S4-S2,S6-S4為等比數(shù)列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6=7k,∴==. 答案: 3.若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=________. 解析:因為a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5.所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 答案:50 4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且an>0,若a1+a2+…+a100=500,則a50a51的最大值為________. 解析:法一:設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≥0),由題意得,100a1+4 950d=500,所以a1=5-49.5d,所以a50a51=(a1+49d)(a1+50d)=(5-0.5d)(5+0.5d)=-0.25d2+25.又d≥0,所以當d=0時,a50a51有最大值25. 法二:由等差數(shù)列的性質(zhì)知,50(a50+a51)=500,即a50+a51=10,所以由基本不等式得a50a51≤2=25,當且僅當a50=a51=5時取等號,所以a50a51有最大值25. 答案:25 5.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,若=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是________. 解析:由=== ==7+.因此n∈N*,∈N*, 故n+1=2,3,4,6,12,即n共有5個. 答案:5 [臨門一腳] 1.若序號m+n=p+q,在等差數(shù)列中,則有am+an=ap+aq;特別的,若序號m+n=2p,則am+an=2ap;在等比數(shù)列中,則有aman=apaq;特別的,若序號m+n=2p,則aman=a;該性質(zhì)還可以運用于更多項之間的關系. 2.在等差數(shù)列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列,其公差為kd;其中Sn為前n項的和,且Sn≠0(n∈N*);在等比數(shù)列{an}中,當q≠-1或k不為偶數(shù)時Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比數(shù)列,其中Sn為前n項的和(n∈N*). 題型三 數(shù)列的綜合問題 1.已知等比數(shù)列{an}的前4項和為5,且4a1,a2,a2成等差數(shù)列,若bn=,則數(shù)列{bnbn+1}的前10項和為________. 解析:由4a1,a2,a2成等差數(shù)列,可得4a1+a2=3a2,則2a1=a2,則等比數(shù)列{an}的公比q==2,則數(shù)列{an}的前4項和為=5,解得a1=,所以an=2n-1,bn==,則bnbn+1==-,其前10項和為++…+=. 答案: 2.對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{bn}滿足:bn=an+1-an(n∈N*),且bn+1-bn=1(n∈N*),a3=1,a4=-1,則a1=________. 解析:由a3=1,a4=-1及bn=an+1-an得b3=a4-a3=-2,又由bn+1-bn=1得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,bn=b3+(n-3)1=n-5,所以an+1-an=n-5,從而得a3-a2=-3?a2=4,a2-a1=-4?a1=8. 答案:8 3.(2018南京四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=8n-n2,令bn=anan+1an+2(n∈N*),設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,當Tn取得最大值時,n=________. 解析:法一:當n=1時,a1=7;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=9-2n,經(jīng)檢驗,n=1時也符合,故an=9-2n,則bn=anan+1an+2=(9-2n)(7-2n)(5-2n),當Tn取得最大值時,應滿足{bn}的前n項均為非負項.令bn≥0得,n≤2.5或3.5≤n≤4.5,又n∈N*,所以n=1,2,4,而T1=105,T2=120,T4=120,故當Tn取得最大值時,n=2或4. 法二:由Sn=8n-n2知,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且an=9-2n,即7,5,3,1,-1,-3,-5,-7,…,枚舉知,T1=105,T2=120,T3=117,T4=120,T5=105,…,故當Tn取得最大值時,n=2或4. 答案:2或4 4.在等差數(shù)列{an}中,首項a1=3,公差d=2,若某學生對其中連續(xù)10項進行求和,在漏掉一項的前提下,求得余下9項的和為185,則此連續(xù)10項的和為________. 解析:由已知條件可得數(shù)列{an}的通項公式an=2n+1,設連續(xù)10項為ai+1,ai+2,ai+3,…,ai+10,i∈N,設漏掉的一項為ai+k,1≤k≤10,由-ai+k=185,得(2i+3+2i+21)5-2i-2k-1=185,即18i-2k=66,即9i-k=33,所以34≤9i=k+33≤43,3<≤i≤<5,所以i=4,此時,由36=33+k得k=3,所以ai+k=a7=15,故此連續(xù)10項的和為200. 答案:200 [臨門一腳] 1.數(shù)列求和的方法主要有錯位相減法、倒序相加法、公式法、拆項并項法、裂項相消法等. 2.根據(jù)遞推關系式求通項公式的方法有累加法,累積法,待定系數(shù)法,取倒數(shù)、取對數(shù)等. 3.數(shù)列單調(diào)性可以用定義研究,也可以構(gòu)造函數(shù)進行研究,要注意數(shù)列和所構(gòu)造函數(shù)的定義域的差別. B組——高考提速練 1.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2=1,a4=5,則S5=________. 解析:法一:由等差數(shù)列的通項公式,得5=1+2d,則d=2,a1=-1,S5=5(-1)+2=15. 法二:S5====15. 答案:15 2.在數(shù)列{an}中,a1=3,且對任意大于1的正整數(shù)n,-=,則an=________. 解析:由定義知{}是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,故=n,即an=3n2. 答案:3n2 3.在等比數(shù)列{an}中,若a1=1,a3a5=4(a4-1),則a7=________. 解析:法一:設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a1=1,a3a5=4(a4-1),所以q2q4=4(q3-1),即q6-4q3+4=0,q3=2,所以a7=q6=4. 法二:設等比數(shù)列{an}的公比為q, 由a3a5=4(a4-1)得a=4(a4-1),即a-4a4+4=0,所以a4=2,因為a1=1,所以q3=2,a7=q6=4. 答案:4 4.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為________. 解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由得 即解得d=4. 答案:4 5.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q=3,S3+S4=,則a3=________. 解析:因為等比數(shù)列{an}的公比q=3, 所以S3+S4=2S3+a4=2a3+3a3=a3=,所以a3=3. 答案:3 6.設公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3=a,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a10=________. 解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),由S3=a得3a2=a,解得a2=0或a2=3.又由S1,S2,S4成等比數(shù)列可得S=S1S4.若a2=0,則S1=S2=a1≠0,S2=S4=a1,a2+a3+a4=3a3=0,a3=0,則d=0,故a2=0舍去;若a2=3,則S1=3-d,S2=6-d,S4=12+2d,有(6-d)2=(3-d)(12+2d)(d≠0),得d=2,此時a10=a2+8d=19. 答案:19 7.在等差數(shù)列{an}中,滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若Sn取得最大值,則n=________. 解析:因為3a4=7a7,所以3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以a1=-d>0,所以d<0, 所以an=a1+(n-1)d=(4n-37), 當n≤9時,an>0,當n≥10時,an<0, 所以使Sn取得最大值的n=9. 答案:9 8.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈________盞. 解析:每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列,記為{an},則前7項的和S7=381,公比q=2,依題意,得S7==381,解得a1=3. 答案:3 9.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的____________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”). 解析:因為{an}為等差數(shù)列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0?S4+S6>2S5.故“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件. 答案:充要 10.設數(shù)列滿足a1=1,(1-an+1)(1+an)=1(n∈N*),則(akak+1)的值為________. 解析:因為(1-an+1)(1+an)=1,所以an-an+1-anan+1=0,從而-=1,=1,所以數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以=1+n-1=n,所以an=,故anan+1==-,因此(akak+1)=++…+=1-=. 答案: 11.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若存在m∈N*,滿足=9,=,則數(shù)列{an}的公比為________. 解析:設數(shù)列{an}的公比為q,若q=1,則=2,與題中條件矛盾,故q≠1.因為==qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2. 答案:2 12.數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an =n+1(n∈N*),則數(shù)列的前8項和為________. 解析:因為an+1-an=n+1, 所以a2-a1=1+1, a3-a2=2+1, a4-a3=3+1, … an-an-1=(n-1)+1, 以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1, 把a1=1代入上式得,an=1+2+3+…+(n-1)+n=, ∴==2, ∴數(shù)列的前n項的和 Sn=2 =2=, ∴數(shù)列的前8項和為. 答案: 13.設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,an>0,若S6-2S3=5,則S9-S6的最小值為________. 解析:法一:當q=1時,S6-2S3=0,不合題意,所以q≠1,從而由S6-2S3=5得-=5,從而得==<0,故1-q<0,即q>1,故S9-S6=-= (q6-q9)=,令q3-1=t>0,則S9-S6==5≥20,當且僅當t=1,即q3=2時等號成立. 法二:因為S6=S3(1+q3),所以由S6-2S3=5得S3=>0,從而q>1,故S9-S6=S3(q6+q3+1)-S3(q3+1)=S3q6=,以下同法一. 答案:20 14.已知數(shù)列{bn}的每一項都是正整數(shù),且b1=5,b2=7- 配套講稿:
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