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課時檢測(六十八) 電磁感應(yīng)中的動量問題 (題型研究課) 1.(多選)如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab、cd，與導(dǎo)軌一起構(gòu)成閉合回路。兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m，長度均為L，電阻均為R，其余部分的電阻不計。在整個導(dǎo)軌所在的平面內(nèi)存在方向豎直向上、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場。開始時，兩導(dǎo)體棒均在導(dǎo)軌上靜止不動，某時刻給導(dǎo)體棒ab以水平向右的初速度v0，則(　　) A．導(dǎo)體棒ab剛獲得速度v0時受到的安培力大小為 B．兩導(dǎo)體棒最終將以的速度沿導(dǎo)軌向右勻速運動 C．兩導(dǎo)體棒運動的整個過程中產(chǎn)生的熱量為mv02 D．當(dāng)導(dǎo)體棒ab的速度變?yōu)関0時，導(dǎo)體棒cd的加速度大小為 解析：選BC　當(dāng)導(dǎo)體棒ab剛獲得速度v0時，導(dǎo)體棒cd還沒開始運動，此時導(dǎo)體棒ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E＝BLv0，回路中的感應(yīng)電流為I＝，故此時導(dǎo)體棒ab受到的安培力大小為F＝BIL，解得F＝，選項A錯誤；從開始到兩導(dǎo)體棒達到共同速度的過程中，兩導(dǎo)體棒的總動量守恒，則可得mv0＝2mv，解得其共同速度為v＝，方向沿導(dǎo)軌向右，選項B正確；由能量守恒定律得，整個運動過程中產(chǎn)生的總熱量為Q＝mv02－2mv2，解得Q＝mv02，選項C正確；設(shè)導(dǎo)體棒ab的速度變?yōu)関0 時，導(dǎo)體棒cd的速度大小為v1，則由動量守恒定律可得mv0＝mv0＋mv1，此時回路中的感應(yīng)電動勢為E′＝BL，感應(yīng)電流為I′＝，此時導(dǎo)體棒cd受到的安培力為F′＝BI′L，所以導(dǎo)體棒cd的加速度大小為a＝，解得a＝，選項D錯誤。 2.(多選)如圖所示，水平桌面上固定著兩相距L＝1 m的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌右端接電阻R＝1 Ω，在導(dǎo)軌間存在無數(shù)寬度相同的有界勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度為B＝1 T，方向豎直向下，任意兩個磁場區(qū)域之間有寬為s0＝0.3 m的無場區(qū)，金屬棒CD質(zhì)量為m＝0.1 kg，接入導(dǎo)軌間的電阻為r＝1 Ω。水平置于導(dǎo)軌上，用絕緣水平細線通過定滑輪與質(zhì)量也為m的物體A相連。金屬棒從距最左邊磁場區(qū)域左邊界s＝0.4 m處由靜止釋放，運動過程中金屬棒始終保持與導(dǎo)軌垂直，在金屬棒穿過兩磁場區(qū)域的過程中，通過電阻R的電流變化情況相同，且金屬棒從進入磁場開始通過每個區(qū)域的時間均相同，重力加速度為g＝10 m/s2，不計其他電阻、摩擦力。則下列說法正確的是(圖中并未把所有磁場都畫出)(　　) A．金屬棒每次進入磁場時的速度為2 m/s，離開磁場時速度均為1 m/s B．每個磁場區(qū)域的寬度均為0.8 m C．金屬棒在每個磁場區(qū)域運動的時候電阻R上產(chǎn)生的電熱為1.3 J D．從進入磁場開始，電流的有效值為 A 解析：選AB　由題意知金屬棒穿過兩磁場區(qū)域的過程中，通過電阻R的電流變化情況相同，即進入每個磁場區(qū)域的初速度相同，穿出每個磁場區(qū)域的末速度也相同；設(shè)金屬棒剛進入Ⅰ區(qū)的速度為v1，由機械能守恒定律可得mgs＝2mv12，解得v1＝2 m/s，即每次進入磁場時的速度為2 m/s ，金屬棒在Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)之間的無磁場區(qū)域運動，對金屬棒有T＝ma，對物體A有mg－T＝ma，解得a＝＝5 m/s2，由v12－v22＝2as0，解得v2＝1 m/s，即離開磁場時的速度為1 m/s，A正確；由于金屬棒通過每個區(qū)域的時間相同，故通過磁場區(qū)域和通過無磁區(qū)域的時間相等，為t＝＝0.2 s，金屬棒通過磁場區(qū)域時，對金屬棒有－Ft＋IT＝mv2－mv1，對物體A有mgt－IT＝mv2－mv1，又知Ft＝BILt＝BLq，q＝＝，整理得t＝＋＝0.2 s，解得d＝0.8 m，B正確；導(dǎo)體棒的電阻和R相等，并且兩者串聯(lián)在電路中，故兩者產(chǎn)生的熱量相等，根據(jù)能量守恒定律可得經(jīng)過每一個磁場區(qū)域時有mgd＝2mv22－2mv12＋2Q，解得Q＝0.55 J，C錯誤；導(dǎo)體棒經(jīng)過一個磁場區(qū)域和一個無磁區(qū)域為一個周期，則在這個周期內(nèi)，通過磁場區(qū)域時，有電流產(chǎn)生，其余時間無電流產(chǎn)生，根據(jù)有效值的定義可知I2(R＋r)2t＝2Q＋0，解得I＝ A，D錯誤。 3．(多選)如圖，在水平面內(nèi)固定有兩根相互平行的無限長光滑金屬導(dǎo)軌，其間距為L，電阻不計。在虛線l1的左側(cè)存在豎直向上的勻強磁場，在虛線l2的右側(cè)存在豎直向下的勻強磁場，兩部分磁場的磁感應(yīng)強度大小均為B。ad、bc兩根電阻均為R的金屬棒與導(dǎo)軌垂直，分別位于兩磁場中，現(xiàn)突然給ad棒一個水平向左的初速度v0，在兩棒達到穩(wěn)定的過程中，下列說法正確的是(　　) A．兩棒組成的系統(tǒng)的動量守恒 B．兩棒組成的系統(tǒng)的動量不守恒 C．a(chǎn)d棒克服安培力做功的功率等于ad棒的發(fā)熱功率 D．a(chǎn)d棒克服安培力做功的功率等于安培力對bc棒做功的功率與兩棒總發(fā)熱功率之和 解析：選BD　開始時，ad棒以初速度v0切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，在回路中產(chǎn)生順時針方向(俯視)的感應(yīng)電流，ad棒因受到向右的安培力而減速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；當(dāng)兩棒的速度大小相等，即兩棒因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢相等時，回路中沒有感應(yīng)電流，兩棒各自做勻速直線運動；由于兩棒所受的安培力都向右，兩金屬棒組成的系統(tǒng)所受合外力不為零，所以該系統(tǒng)的動量不守恒，選項A錯誤，B正確。根據(jù)能量守恒定律可知，ad棒動能的減小量等于回路中產(chǎn)生的熱量和bc棒動能的增加量，由動能定理可知，ad棒動能的減小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒動能的增加量等于安培力對bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力對bc棒做功的功率與兩棒總發(fā)熱功率之和，選項C錯誤，D正確。 4．如圖所示，足夠長的水平導(dǎo)軌左側(cè)b1b2－c1c2部分導(dǎo)軌間距為3L，右側(cè)c1c2－d1d2部分的導(dǎo)軌間距為L，曲線導(dǎo)軌與水平導(dǎo)軌相切于b1b2，所有導(dǎo)軌均光滑且電阻不計。在水平導(dǎo)軌內(nèi)有斜向下與豎直方向的夾角θ＝37的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B＝0.1 T。質(zhì)量為mB＝0.2 kg的金屬棒B垂直于導(dǎo)軌靜止放置在右側(cè)窄導(dǎo)軌上，質(zhì)量為mA＝0.1 kg 的金屬棒A自曲線導(dǎo)軌上a1a2處由靜止釋放，兩金屬棒在運動過程中始終相互平行且與導(dǎo)軌保持良好接觸，A棒總在寬軌上運動，B棒總在窄軌上運動。已知：兩棒接入電路的有效電阻均為R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g＝10 m/s2。求： (1)A棒滑到b1b2處時的速度大??； (2)B棒勻速運動時的速度大小； (3)在兩棒整體運動過程中，兩棒在水平導(dǎo)軌間掃過的面積之差(最后結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。 解析：(1)A棒在曲線導(dǎo)軌上下滑，由機械能守恒定律得： mAgh＝mAv02 解得：v0＝3 m/s。 (2)選取水平向右為正方向，對兩棒分別應(yīng)用動量定理， 對B棒：FB安cos θt＝mBvB 對A棒：－FA安cos θt＝mAvA－mAv0 其中FA安＝3FB安 兩棒最后勻速運動時，電路中無電流，有： BLvB＝3BLvA 解得：vA＝ m/s，vB＝ m/s。 (3)在B棒加速運動過程中，由動量定理得： Bcos θLΔt＝mBvB－0 電路中的平均電流＝ 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：E＝ 其中磁通量變化量：ΔΦ＝Bcos θΔS 解得：ΔS≈29.6 m2。 答案：(1)3 m/s　(2) m/s　(3)29.6 m2 5．如圖所示，兩平行光滑金屬導(dǎo)軌由兩部分組成，左側(cè)部分水平，右側(cè)部分為半徑r＝0.5 m的豎直半圓，兩導(dǎo)軌間距離d＝0.3 m，導(dǎo)軌水平部分處于豎直向上、磁感應(yīng)強度大小B＝1 T的勻強磁場中，兩導(dǎo)軌電阻不計。有兩根長度均為d的金屬棒ab、cd，均垂直置于水平導(dǎo)軌上，金屬棒ab、cd的質(zhì)量分別為m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，電阻分別為R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω。現(xiàn)讓ab棒以v0＝10 m/s的初速度開始水平向右運動，cd棒進入半圓軌道后，恰好能通過軌道最高位置PP′，cd棒進入半圓軌道前兩棒未相碰，重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)ab棒開始向右運動時，cd棒的加速度大小a0； (2)cd棒剛進入半圓軌道時，ab棒的速度大小v1； (3)cd棒進入半圓軌道前，ab棒克服安培力做的功W。 解析：(1)ab棒開始向右運動時，設(shè)回路中電流為I，有 E＝Bdv0 I＝ BId＝m2a0 解得：a0＝30 m/s2。 (2)設(shè)cd棒剛進入半圓軌道時的速度為v2，cd棒進入半圓軌道前，cd棒與ab棒組成的系統(tǒng)動量守恒，有 m1v0＝m1v1＋m2v2 cd棒從剛進入半圓軌道到通過軌道最高位置的過程中機械能守恒，有 m2v22＝m2g2r＋m2v2 cd棒在軌道最高位置由重力提供向心力，有 m2g＝m2 解得：v1＝7.5 m/s。 (3)由動能定理得－W＝m1v12－m1v02 解得：W＝4.375 J。 答案：(1)30 m/s2　(2)7.5 m/s　(3)4.375 J 6.如圖所示，傾角θ＝45的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中。一根與ON垂直的導(dǎo)體棒ab在水平外力F作用下以恒定速度v0沿導(dǎo)軌MON向右滑動，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為r。導(dǎo)體棒在滑動過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸。t＝0時，導(dǎo)體棒位于O處，求： (1)t時刻流過導(dǎo)體棒的電流I的大小和方向； (2)導(dǎo)體棒做勻速直線運動時水平外力F的表達式； (3)導(dǎo)體棒在0～t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q； (4)若在t0時刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標x。 解析：(1)0～t時間內(nèi)，導(dǎo)體棒的位移s＝v0t t時刻，導(dǎo)體棒接入電路的長度l＝s 導(dǎo)體棒的電動勢E＝Blv0 回路總電阻R＝(2s＋s)r 電流的大小I＝＝ 由右手定則知電流方向由b→a。 (2)由題意知導(dǎo)體棒做勻速運動，故水平外力F＝F安＝BIl 解得：F＝。 (3)t時刻導(dǎo)體棒的電功率 P＝I2R′，R′＝lr 解得：P＝ 因為P∝t，所以Q＝t＝。 (4)撤去外力F后，設(shè)任意時刻t導(dǎo)體棒的坐標為x，速度為v，取很短時間Δt或很短距離Δx，在t～t＋Δt時間內(nèi)，由動量定理得 BI′xΔt＝mΔv ∑xΔtv＝∑mΔv ΔS＝mv0 方法一：撤去外力F后，導(dǎo)體棒掃過的面積 ΔS＝＝，其中x0＝v0t0 解得：x＝ 方法二：設(shè)撤去外力F后，導(dǎo)體棒滑行距離為d，則 ΔS＝d 即d2＋2v0t0d－2ΔS＝0 解得：d＝－v0t0＋ x＝v0t0＋d＝＝ 。 答案：(1)，電流方向由b→a　(2)F＝　 (3)　(4) 7．渦流制動是一種利用電磁感應(yīng)原理工作的新型制動方式，它的基本原理如圖甲所示。水平面上固定一塊鋁板，當(dāng)一豎直方向的條形磁鐵在鋁板上方幾毫米高度上水平經(jīng)過時，鋁板內(nèi)感應(yīng)出的渦流會對磁鐵的運動產(chǎn)生阻礙作用。渦流制動是磁懸浮列車在高速運行時進行制動的一種方式。某研究所制成如圖乙所示的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動過程。車廂下端安裝有電磁鐵系統(tǒng)，能在長為L1＝0.6 m，寬L2＝0.2 m的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生豎直方向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度可隨車速的減小而自動增大(由車內(nèi)速度傳感器控制)，但最大不超過B1＝2 T，將鋁板簡化為長大于L1，寬也為L2的單匝矩形線圈，間隔鋪設(shè)在軌道正中央，其間隔也為L2，每個線圈的電阻為R1＝0.1 Ω，導(dǎo)線粗細忽略不計。在某次實驗中，模型車速度為v0＝20 m/s時，啟動電磁鐵系統(tǒng)開始制動，車立即以大小為a1＝2 m/s2的加速度做勻減速直線運動，當(dāng)磁感應(yīng)強度增加到B1時就保持不變，直到模型車停止運動。已知模型車的總質(zhì)量為m1＝36 kg，空氣阻力不計。不考慮磁感應(yīng)強度的變化引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象以及線圈激發(fā)的磁場對電磁鐵產(chǎn)生磁場的影響。 (1)電磁鐵的磁感應(yīng)強度剛達到最大時，模型車的速度為多大？ (2)模型車的制動距離為多大？ (3)為了節(jié)約能源，將電磁鐵換成若干個并在一起的永磁鐵組，兩個相鄰的磁鐵磁極的極性相反，且將線圈改為連續(xù)鋪放，如圖丙所示，已知模型車質(zhì)量減為m2＝20 kg，永磁鐵激發(fā)的磁感應(yīng)強度恒為B2＝0.1 T，每個線圈匝數(shù)為N＝10，電阻為R2＝1 Ω，相鄰線圈緊密接觸但彼此絕緣。模型車仍以v0＝20 m/s的初速度開始減速，為保證制動距離不大于80 m，至少安裝幾個永磁鐵？ 解析：(1)設(shè)電磁鐵的磁感應(yīng)強度剛達到最大時，模型車的速度為v1，則 E1＝B1L1v1 I1＝，F(xiàn)1＝B1I1L1，F(xiàn)1＝m1a1 解得v1＝5 m/s。 (2)勻變速過程位移為x1＝ 由第(1)問的方法同理得到磁感應(yīng)強度達到最大以后任意速度v時，安培力的大小為F＝ 對速度v1后模型車的減速過程用動量定理可得 t＝＝m1v1 t＝x2，x＝x1＋x2，解得x＝106.25 m。 (3)設(shè)需要n個永磁鐵，當(dāng)模型車的速度為v時，每個線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 E2＝2NB2L1v 每個線圈中的感應(yīng)電流為I2＝ 每個磁鐵受到的阻力為F2＝2NB2I2L1 n個磁鐵受到的阻力為F合＝2nNB2I2L1 由第(2)問可得x′＝m2v0 解得n≈3.47 即至少需要4個永磁鐵。 答案：(1)5 m/s　(2)106.25 m　(3)4個