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2、 1 第三章 導(dǎo)數(shù) 1.【2007四川，文20】(本小題滿分12分) 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為 （Ⅰ）求的值. （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）；（2）取得最小值為，取得最大值為. 【考點(diǎn)】本題考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等基礎(chǔ)知識，以及推理能力和運(yùn)算能力.

3、 2.【2008四川，文20】（本小題滿分12分） 設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)。 （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間 【答案】：（Ⅰ）；（Ⅱ）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是. 【考點(diǎn)】：此題重點(diǎn)考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，單調(diào)性，最值問題； 【突破】：熟悉函數(shù)的求導(dǎo)公式，理解函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；重視圖象或示意圖的輔助作用。 3.【2009四川，文20】（本小題滿分12分） 已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是. （I）求函數(shù)的解析式； （II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值. 【答案】（I）；

4、（II）①當(dāng)時，函數(shù)無極值；②當(dāng)時， 當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值. 4.【20xx四川，文22】（本小題滿分14分） 設(shè)（且），g(x)是f(x)的反函數(shù). （Ⅰ）求； （Ⅱ）當(dāng)時，恒有成立，求t的取值范圍； （Ⅲ）當(dāng)0＜a≤時，試比較f(1)+f(2)+…+f(n)與的大小，并說明理由. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）當(dāng)時，；當(dāng)時，；（Ⅲ），證明略. 【命題意圖】本題主要考查函數(shù)、反函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證與分析問題、解決問題的能力. 5.【20xx四川，文22】(本小題滿分14分) 已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，

5、拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距. （Ⅰ）用和表示； （Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值； （Ⅲ）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由. 6.【20xx四川，文21】(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，其中是實數(shù)。設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且。 （Ⅰ）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，且，證明：； （Ⅲ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合，求的取值范圍。 則， 7.【20xx四川，文21】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)。 （Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； （Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間

6、內(nèi)有零點(diǎn)，證明：. 【答案】（Ⅰ）當(dāng)時， ；當(dāng)時， ； 當(dāng)時， .（Ⅱ）的范圍為. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在上的單調(diào)性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn). 由（Ⅰ）可知，當(dāng)及時，在內(nèi)都不可能有兩個零點(diǎn).所以.此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ） ①當(dāng)時，，所以. ②當(dāng)時，由得. 若，則；若，則. 所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以. 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單

7、調(diào)遞增，所以. 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以. （Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由可知， 在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減. 則不可能恒為正，也不可能恒為負(fù). 故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn). 同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn). 所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn). 由（Ⅰ）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn). 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn). 所以. 此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 因此，必有 . 由得：，有 . 解得. 所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)時，. 【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn).考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分

8、類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 8. 【20xx高考新課標(biāo)1，文14】已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)的處的切線過點(diǎn)，則 . 【答案】1 【解析】 試題分析：∵，∴，即切線斜率， 又∵，∴切點(diǎn)為（1，），∵切線過（2,7），∴，解得1. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 9. 【20xx高考四川，文21】已知函數(shù)f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0. (Ⅰ)設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性； (Ⅱ)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解. 【

9、解析】(Ⅰ)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞) g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a) 所以g'(x)＝2－ 當(dāng)x∈(0，1)時，g'(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g'(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增 (Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx 令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 則Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0 于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0 令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－ln

10、x(x≥1) 由u'(x)＝1－≥0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增 故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1 即a0∈(0，1) 當(dāng)a＝a0時，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增 當(dāng)x∈(1，x0)時，f '(x)＜0，從而f(x)＞f(x0)＝0 當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f '(x)＞0，從而f(x)＞f(x0)＝0 又當(dāng)x∈(0，1]時，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0 故x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0 綜上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.