《新編高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第四章】三角函數(shù)、解三角形 學案18》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第四章】三角函數(shù)、解三角形 學案18（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編高考數(shù)學復習資料 學案18　同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式 導學目標： 1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 自主梳理 1．同角三角函數(shù)的基本關系 (1)平方關系：____________________. (2)商數(shù)關系：______________________________. 2．誘導公式 (1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z. (2)

2、sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________. (4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________. (5)sin＝________，cos＝________. (6)sin＝__________，cos＝____________________________________. 3．誘導公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般

3、步驟為： 上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法． 自我檢測 1．(2010·全國Ⅰ)cos 300°等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 2．(2009·陜西)若3sin α＋cos α＝0，則的值為 (　　) A. B. C.

4、 D．－2 3．(2010·福建龍巖一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝，則sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 4．cos(－π)－sin(－π)的值是 (　　) A. B．－ C．0 D. 5．(2011·清遠月考)已知cos(－α)＝，則sin(α－)＝________. 探究點一　利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡、求值 例1　已知－

5、os x＝. (1)求sin2x－cos2x的值； (2)求的值． 變式遷移1　已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值． (1)；(2)sin2α＋sin 2α. 探究點二　利用誘導公式化簡、求值 例2　(2011·合肥模擬)已知sin＝－，α∈(0，π)． (1)求的值； (2)求cos的值． 變式遷移2　設f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，則f＝________. 探究點三　綜合應用 例3　在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．

6、 變式遷移3　(2011·安陽模擬)已知△ABC中，sin A＋cos A＝， (1)求sin A·cos A； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用 例　(12分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出來，并求其值． 多角度審題　由sin α＋cos α＝應聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，應當切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可． 【答題模板】 解　(1)聯(lián)立方程 由①得cos

7、α＝－sin α，將其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分] ∵α是三角形的內(nèi)角，∴，[4分] ∴tan α＝－.[6分] (2)＝＝＝，[8分] ∵tan α＝－，∴＝[10分] ＝＝－.[12分] 【突破思維障礙】 由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應先求sin α再求cos α.(1)問切化弦即可求．(2)問應弦化切，這時應注意“1”的活用． 【易錯點剖析】 在求解sin α，cos α的過程中，若消去cos α得到關于sin α的方程，則求得兩解，然后應根據(jù)α角的范圍舍去一個解，若不注意，則誤認為

8、有兩解． 1．由一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時，要注意討論角的范圍． 2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開方運算，慎重確定符號．注意“1”的靈活代換． 3．應用誘導公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011·荊州模擬)已知△ABC中，＝－，則cos A等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 2．已知tan α＝－，且α為第二象限角，則sin α的值等于

9、 (　　) A. B．－ C. D．－ 3．(2011·許昌月考)已知f(α)＝，則f(－π)的值為 (　　) A. B．－ C．－ D. 4．設f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實數(shù)，若f(2 002)＝－1，則f(2 003)等于 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5．(2010·全國Ⅰ)記cos(－80°

10、)＝k，那么tan 100°等于 (　　) A. B．－ C. D．－ 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·全國Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________. 7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________. 8．(2010·東北育才學校高三第一次模擬考試)若tan α＝2，則＋cos2α＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知f(α)＝.

11、 (1)化簡f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值． 10．(12分)化簡： (k∈Z)． 11．(14分)(2011·秦皇島模擬)已知sin θ，cos θ是關于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根． (1)求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值； (2)求tan(π－θ)－的值． 答案 自主梳理 1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)＝tan α　2.(1)sin α　cos α tan α　(2)－sin α?。璫os α　tan α　(3)－sin α　cos α?。璽an

12、α　(4)sin α?。璫os α　－tan α　(5)cos α　sin α (6)cos α?。璼in α 自我檢測 1．C　[cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.] 2．A　[∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝， ∴＝ ＝＝.] 3．B 4．A　[cos(－π)－sin(－π)＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)＝cos＋sin＝.] 5．－ 解析　sin(α－)＝－sin(－α) ＝－sin[(－α)＋] ＝－cos(－α)＝－. 課堂活動區(qū) 例1　解題導

13、引　學會利用方程思想解三角函數(shù)題，對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，已知其中一個式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對符號的判斷． 解　由sin x＋cos x＝得， 1＋2sin xcos x＝，則2sin xcos x＝－. ∵－0， 即sin x－cos x<0. 則sin x－cos x ＝－ ＝－＝－. (1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x) ＝×＝－. (2)由， 得，則tan x＝－. 即＝＝. 變式遷移1　解　∵s

14、in(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α. ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. 方法一　(直接代入法)： (1)原式＝＝－. (2)原式＝＝＝. 方法二　(同除轉(zhuǎn)化法)： (1)原式＝＝＝－. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos α ＝＝＝. 例2　解題導引　三角誘導公式記憶有一定規(guī)律：的本質(zhì)是：奇變偶不變(對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時可把α看成是銳角)．誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負角變正角，再寫成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)． 解　(1)∵sin＝－，

15、α∈(0，π)， ∴cos α＝－，sin α＝. ∴＝＝－. (2)∵cos α＝－，sin α＝， ∴sin 2α＝－，cos 2α＝－， cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－. 變式遷移2　 解析　∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝ ＝＝＝. 例3　解題導引　先利用誘導公式化簡已知條件，再利用平方關系求得cos A．求角時，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導公式在三角形中常用結論有：A＋B＝π－C；＋＋＝. 解　由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±. (1)當cos A＝時，cos B＝， 又A、B是三角形的

16、內(nèi)角， ∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π. (2)當cos A＝－時，cos B＝－. 又A、B是三角形的內(nèi)角， ∴A＝π，B＝π，不合題意． 綜上知，A＝，B＝，C＝π. 變式遷移3　解　(1)∵sin A＋cos A＝，① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin A·cos A＝－. (2)由(1)sin A·cos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴

17、sin A－cos A＝，② ∴由①，②得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝－. 課后練習區(qū) 1．D　[∵A為△ABC中的角，＝－， ∴sin A＝－cos A，A為鈍角，∴cos A<0. 代入sin2A＋cos2A＝1，求得cos A＝－.] 2．C　[已知tan α＝－，且α為第二象限角， 有cos α＝－＝－，所以sin α＝.] 3．C　[∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－π) ＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.] 4．C　[∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β) ＝asin α＋b

18、cos β＝－1， ∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β) ＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)] ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.] 5．B　[∵cos(－80°)＝cos 80°＝k， sin 80°＝＝. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－.] 6．－ 解析　∵tan α＝－，∴＝－， 又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角， ∴cos α＝－. 7. 解析　sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289° ＝

19、sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋ sin2(90°－1°) ＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21° ＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝. 8. 解析　原式＝＋ ＝3＋＝3＋＝. 9．解　(1)f(α)＝ ＝＝－cos α.…………………………………………………………(5分) (2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝， ∴sin α＝－，……………………………………………………………………………(8分)

20、 ∴cos α＝－＝－＝－， ∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(12分) 10．解　當k為偶數(shù)2n (n∈Z)時， 原式＝ ＝ ＝＝＝－1；……………………………………………………(6分) 當k為奇數(shù)2n＋1 (n∈Z)時， 原式＝ ＝＝＝－1. ∴當k∈Z時，原式＝－1.………………………………………………………………(12分) 11．解　由已知原方程的判別式Δ≥0， 即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分) 又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，則a2－2a－1＝0，(6分) 從而a＝1－或a＝1＋(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分) (1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………(11分) (2)tan(π－θ)－＝－tan θ－ ＝－(＋)＝－＝－＝1＋. ……………………………………………………………………………………………(14分)