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“10＋7”小題提速保分練
“10＋7”小題提速保分練(一)
一、選擇題
1．已知集合P＝{x|x2≥9}，Q＝{x|x>2}，則P∩Q＝( )
A．{x|x≥3} B．{x|x>2}
C．{x|2
2}，所以P∩Q＝{x|x≥3}．
2．“α>”是“sin α>”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選D 充分性：當α>時，比如α＝π，此時sin π＝0，顯然不滿足sin α>，充分性不具備；
必要性：當sin α>時，比如α＝－，此時sin＝1，但不滿足α>，必要性不具備．
所以“α>”是“sin α>”的既不充分也不必要條件．
3．設m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列說法正確的是( )
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，n∥α，則m⊥n
C．若m⊥α，n⊥α，則m∥n D．若m⊥α，n⊥α，則m⊥n
解析：選C 對于A，若m∥α，n∥α，m，n還可能相交或異面，故A是錯誤的；對于B，若m∥α，n∥α，m，n可能是平行的，故B是錯誤的；對于C，若m⊥α，n⊥α，則m∥n，顯然C是正確的；對于D，若m⊥α，n⊥α，則m∥n，顯然D是錯誤的．
4．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是( )
A. B．
C. D．
解析：選B 由三視圖易知該幾何體為三棱錐，
則該幾何體的體積V＝＝.
5．已知y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：選D ∵y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，
∴f(x)＋x＝f(－x)－x.
當x＝2時，f(2)＋2＝f(－2)－2，又f(2)＝1，
∴f(－2)＝5.
6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5＝( )
A．45 B．42
C．21 D．84
解析：選A 由題意得a1＋a2＋a3＝3a2＝21，a2＝7，
又a1＝3，所以公差d＝a2－a1＝4.
所以a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)＋6d＝21＋24＝45.
7．由函數(shù)y＝cos 2x的圖象通過平移變換得到函數(shù)y＝cos的圖象，這個變換可以是( )
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
解析：選B 因為y＝cos＝cos，所以可以由函數(shù)y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y＝cos的圖象．
8．若不等式組表示一個三角形內部的區(qū)域，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B．
C. D．
解析：選C 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
聯(lián)立解得x＝y(tǒng)＝，即A，
因為x＋y>a表示直線的右上方部分，由圖可知，若不等式組構成三角形，則點A在x＋y＝a的右上方即可．
又A，所以＋>a，即a<.
所以實數(shù)a的取值范圍是.
9．若|a|＝|b|＝|c|＝2，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，則|a＋b－c|的取值范圍是( )
A．[0,2＋2] B．[0,2]
C．[2－2,2＋2] D．[2－2,2]
解析：選D 如圖所示，＝a，＝b，＝c，＝a＋b，
∵(a－c)(b－c)≤0，
∴點C在劣弧AB上運動，
∵|a＋b－c|表示C，D兩點間的距離|CD|.
∴|CD|的最大值是|BD|＝2，|CD|最小值為|OD|－2＝2－2.
10．已知F1，F(xiàn)2為橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝45，則該橢圓與雙曲線的離心率乘積的最小值為( )
A. B．
C．1 D．
解析：選B 如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，
|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，設|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝45，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos 45，
化簡得，(2－)a＋(2＋)a＝4c2，
即＋＝4，
又∵＋≥＝，
∴≤4，即e1e2≥，
∴橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.
二、填空題
11．已知復數(shù)z＝(a∈R，i為虛數(shù)單位)的實部為1，則a＝________，|z|＝________.
解析：z＝＝＝a－i，因為復數(shù)z的實部為1，所以a＝1，|z|＝＝.
答案：1
12．一個口袋中裝有大小相同的2個黑球和3個紅球，從中摸出兩個球，則恰有一個黑球的概率是________；若X表示摸出黑球的個數(shù)，則E(X)＝________.
解析：從中摸出兩個球，則恰有一個黑球的概率是P＝＝；X的可能取值為0,1,2.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以E(X)＝0＋1＋2＝.
答案：
13．若n的展開式各項系數(shù)之和為64，則n＝________；展開式中的常數(shù)項為________．
解析：令x＝1，得2n＝64，所以n＝6.
所以6的通項公式為
Tr＋1＝C(3)6－rr＝C(－1)r36－rx3－r，
令r＝3，得展開式中的常數(shù)項為C(－1)336－3＝－540.
答案：6?。?40
14．設函數(shù)f(x)＝則f ＝______；若f ＝1，則實數(shù)a的值為________．
解析：∵函數(shù)f(x)＝
∴f ＝2－1＝1，∴f ＝f(1)＝2.
由f(f(a))＝1，可知
當a＜時，f(f(a))＝f(3a－1)＝3(3a－1)－1＝1，解得a＝；
當a≥1時，2a＞1，f(f(a))＝1，不成立；
當≤a<1時，f(f(a))＝f(3a－1)＝23a－1＝1，
解得a＝(舍去)．綜上，a＝.
答案：2
15．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則向量a與b的夾角為________．
解析：∵(a－b)⊥(3a＋2b)，
∴(a－b)(3a＋2b)＝0，
即3a2－2b2－ab＝0，
即ab＝3a2－2b2＝b2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
即〈a，b〉＝.
答案：
16．若正實數(shù)m，n滿足2m＋n＋6＝mn，則mn的最小值是________．
解析：由正實數(shù)m，n滿足2m＋n＋6＝mn可得，
2＋6≤2m＋n＋6＝mn，
即2＋6≤mn，令＝t，
則不等式可化為2t＋6≤，即t2－4t－12≥0，
解得t≤－2(舍去)或t≥6.
即≥6，mn≥18，∴mn的最小值是18.
答案：18
17．當1≤x≤3時，|3a＋2b|－|a－2b|≤|a|對任意實數(shù)a，b都成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：當a＝0時，不等式顯然成立；
當a≠0時，－≤x＋＋1，
而－≤＝4，∴x＋＋1≥4，即m≥3x－x2.
當1≤x≤3時，3x－x2≤3－＝，∴m≥.
答案：
“10＋7”小題提速保分練(二)
一、選擇題
1．已知集合A＝{x|00”是“{Sn}為遞增數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A ∵“an＞0”?“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”，
∴“an＞0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件．
當數(shù)列{an}為－1,0,1,2,3,4，…，顯然數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于等于零，
∴“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”不能推出“an＞0”，
∴“an＞0”不是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的必要條件．
∴“對于任意正整數(shù)n，an＞0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
6．已知實數(shù)x，y滿足不等式組則|x－y|的最大值為( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：選C 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，|x－y|＝＝的幾何意義為表示區(qū)域內的點到直線x－y＝0的距離的倍，由圖可知點A(4,0)到直線x－y＝0距離最大，所以|x－y|的最大值為＝4.
7．某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有( )
A．8種 B．10種
C．12種 D．32種
解析：選B 此人從A到B，路程最短的走法應走2縱3橫，將縱用0表示，橫用1表示，則一種走法就是2個0和3個1的一個排列，只需從5個位置中選2個排0，其余位置排1即可，故共有C＝10種．
8．設拋物線y2＝4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，若|BF|＝，則＝( )
A. B．
C. D．
解析：選D 如圖，拋物線的準線方程為l：x＝－1，
分別過A，B作準線l的垂線AM，BN，
則|BN|＝|BF|＝，
∴點B的橫坐標為，不妨設B，則直線AB的方程為y＝2x－4，
聯(lián)立方程組
得6x2－25x＋24＝0，
設點A的橫坐標為x0，則x0＋＝，解得x0＝.
∴|AM|＝x0＋1＝，
∴＝＝＝.
9．已知a為正常數(shù)，f(x)＝若存在θ∈，滿足f(sin θ)＝f(cos θ)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B．
C．(1，) D．
解析：選D 設g(x)＝x2－ax＋1，
則其關于直線x＝a對稱的曲線為g(－x＋2a)，
g(－x＋2a)＝(－x＋2a)2－a(－x＋2a)＋1＝x2－3ax＋2a2＋1，
所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，且在[a，＋∞)上為增函數(shù)．
所以a＝＝sin.
因為θ∈，θ＋∈.
所以a＝sin∈.
10．已知x，y均為非負實數(shù)，且x＋y≤1，則4x2＋4y2＋(1－x－y)2的取值范圍為( )
A. B．[1,4]
C．[2,4] D．[2,9]
解析：選A 設＝z，則問題等價于x＋y＋2z＝1，滿足x，y，z≥0，求4(x2＋y2＋z2)的取值范圍．
設點A，B(1,0,0)，C(0，1,0)，
所以點P(x，y，z)可視為長方體的一個三角截面ABC上的一個點，
則|OP|2＝x2＋y2＋z2，于是問題可以轉化為先求|OP|的取值范圍．
顯然|OP|≤1，設點O到平面ABC的距離為h，
則VOABC＝VAOBC，
所以h＝11，
解得h＝，所以≤|OP|≤1，
所以|OP|2∈，即4(x2＋y2＋z2) ∈.
故答案為A.
二、填空題
11．雙曲線x2－＝1的離心率是__________，漸近線方程為____________．
解析：因為a＝1，b＝，c＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝x＝x.
答案：2 y＝x
12．已知直線l：mx－y＝1，若直線l與直線x－my－1＝0平行，則m的值為________；動直線l被圓x2＋2x＋y2－24＝0截得弦長的最小值為____________．
解析：由題意得m＝，解得m＝1.
當m＝1時，兩直線重合，所以m＝1舍去，
故m＝－1.
因為圓的方程為x2＋2x＋y2－24＝0，
所以(x＋1)2＋y2＝25，
所以它表示圓心為C(－1,0)，半徑為5的圓．
由于直線l：mx－y－1＝0過定點P(0，－1)，
所以過點P且與PC垂直的弦的弦長最短．
且最短弦長為2＝2.
答案：－1 2
13．已知隨機變量X的分布列如下表：
X
a
2
3
4
P
b
若E(X)＝2，則a＝________；D(X)＝________.
解析：因為＋b＋＋＝1，所以b＝，
所以E(X)＝a＋2＋3＋4＝2，
解得a＝0.
所以D(X)＝(0－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(4－2)2＝.
答案：0
14．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120的等腰三角形，側視圖為直角三角形，則該三棱錐的表面積為________，該三棱錐的外接球體積為________．
解析：由三視圖可得幾何體的直觀圖為如圖所示的三棱錐PABC，
所以該三棱錐的表面積S＝222＋2＋21＝4＋＋.
設△ABC的外接圓半徑為r，三棱錐的外接球半徑為R，則2r＝＝4，
所以r＝2，所以R＝＝，
所以該三棱錐的外接球體積V＝π()3＝π.
答案：4＋＋ π
15．已知數(shù)列{an}與均為等差數(shù)列(n∈N*)，且a1＝2，則a1＋2＋3＋…＋ n＝________.
解析：設an＝2＋(n－1)d，
所以＝＝.
由于為等差數(shù)列，
所以其通項是一個關于n的一次函數(shù)，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2.
所以an＝2＋(n－1)2＝2n，∴＝＝2.
所以a1＋2＋3＋…＋n＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
16．已知實數(shù)a，b，c滿足：a＋b＋c＝－2，abc＝－4.則|a|＋|b|＋|c|的最小值為________．
解析：不妨設a是a，b，c中的最小者，即a≤b，a≤c.
由題設知a<0，且b＋c＝－2－a，bc＝－.
于是b，c是一元二次方程x2＋(2＋a)x－＝0的兩實根，
Δ＝(2＋a)2＋4≥0，a3＋4a2＋4a＋16≤0，
所以(a2＋4)(a＋4)≤0，所以a≤－4.
因為abc<0，所以a，b，c為全小于0或一負二正．
①若a，b，c為全小于0，則a＋b＋c0，c>0，
則|a|＋|b|＋|c|＝－a＋b＋c＝－2a－2≥8－2＝6，
當a＝－4，b＝c＝1時，滿足題設條件且使得不等式等號成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值為6.
答案：6
17.已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為側面BB1C1C中心，F(xiàn)在棱AD上運動，正方體表面上有一點P滿足＝x＋y (x≥0，y≥0)，則所有滿足條件的P點構成圖形的面積為________．
解析：∵＝x＋y (x≥0，y≥0)，
∴D1，E，F(xiàn)，P四點共面．
設D1，E，F(xiàn)，P四點確定的平面為α，
則α與平面BCC1B1的交線與D1F平行．
①當F與D重合時，取BC的中點M，連接EM，DM，
則EM∥D1F，此時P的軌跡為折線D1DME.
②當F與A重合時，EB∥D1F，
此時P的軌跡為折線D1ABE.
∴當F在棱AD上運動時，符合條件的P點在正方體表面圍成的圖形為Rt△D1AD，直角梯形ABMD，Rt△BME.
∴S＝11＋1＋＝.
答案：
“10＋7”小題提速保分練(三)
一、選擇題
1．定義集合A＝{x|f(x)＝}，B＝{y|y＝log2(2x＋2)}，則A∩?RB＝( )
A．(1，＋∞) B．[0,1]
C．[0,1) D．[0,2)
解析：選B 由2x－1≥0得x≥0，即A＝[0，＋∞)．
因為2x>0，所以2x＋2>2，
所以log2(2x＋2)>1，即B＝(1，＋∞)，
所以A∩?RB＝[0,1]，故選B.
2．△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則“a2＋b2－，故D錯誤．
5．設函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0,2π]內恰有4個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(0,1) B．[1,2]
C．(0,1] D．(1,2)
解析：選A 函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0,2π]內有4個不同的零點，即曲線y＝f(x)與直線y＝m在[0,2π]上有4個不同的交點，畫出圖象如圖所示，結合圖象可得00，b>0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P，過點P向x軸作垂線，垂足為H，若|PH|＝a，則雙曲線的離心率為( )
A． B．
C． D．
解析：選C 由題意可得點P的坐標為(b，a)，
又點P在雙曲線上，
故有－＝1，即＝，所以b2＝ac，
即c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，
解得e＝(負值舍去)．
7．已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，則tan(α＋β)＝( )
A. B．－
C．－ D．－3
解析：選B 由3tan ＋tan2＝1，得＝，
所以tan α＝. ①
由sin β＝3sin(2α＋β)，
得sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，
展開并整理得，2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，
所以tan(α＋β)＝－2tan α， ②
由①②得tan(α＋β)＝－.
8．已知x，y∈R，則(x＋y)2＋2的最小值為( )
A．2 B．3
C．4 D．1
解析：選C 構造函數(shù)y1＝x，y2＝－，則(x，x)與兩點分別在兩個函數(shù)圖象上，故所求可看作(x，x)與兩點之間距離的平方．
令?x2＋mx＋2＝0?Δ＝m2－8＝0?m＝2，
所以y＝x2是與y1＝x平行的y2＝－的切線，故兩平行直線的最小距離為d＝2，所以(x＋y)2＋2的最小值為4.
9．若x∈，y∈且sin 2x＝6 tan(x－y)cos 2x，則x＋y的取值不可能是( )
A. B．
C. D．
解析：選C 由題意知，tan 2x＝6tan(x－y)，
則tan(x＋y)＝tan[2x－(x－y)]
＝＝.
令tan(x－y)＝t(t≠0)，則tan(x＋y)＝.
令g(t)＝(t≠0)，則g′(t)＝，
由g′(t)>0，得－或t<－，
所以g(t)在，上單調遞減，在，上單調遞增．
結合函數(shù)圖象可得g(t)＝tan(x＋y)∈∪，故選C.
10．在平面α內，已知AB⊥BC，過直線AB，BC分別作平面β，γ，使銳二面角α ABβ為，銳二面角α BC γ為，則平面β與平面γ所成的銳二面角的余弦值為( )
A. B．
C. D．
解析：選A cos θ＝cos 60cos 60＝.
二、填空題
11.6展開式中的常數(shù)項為________．
解析：6展開式的通項公式Tr＋1＝
C()6－rr＝Crx，
令6－3r＝0，得r＝2，
所以常數(shù)項為T3＝C2＝.
答案：
12．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是________，體積是________．
解析：由三視圖可得該幾何體是由一個底面半徑為1，高為2的圓柱和兩個半徑為1的半球組成的，且球截面與圓柱的上、下底面完全重合，所以該幾何體的表面積為2π12＋4π12＝8π，體積為π13＋π122＝π.
答案：8π π
13．若直線x＝是函數(shù)f(x)＝sin 2x＋acos 2x的圖象的一條對稱軸，則函數(shù)f(x)的最小正周期是________；函數(shù)f(x)的最大值是________．
解析：由題設可知f(0)＝f ，
即a＝＋a，解得a＝，
所以f(x)＝sin 2x＋cos 2x
＝
＝sin，
則函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π，f(x)max＝.
答案：π
14．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝，則a1a2a3…a15＝________；設bn＝
(－1)nan，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，則S2 018＝________.
解析：因為an＋2＝＝＝＝－，
所以an＋2an＝－1，an＋4＝－＝an，
即數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，
易得a2＝－3，a3＝－，a4＝，
所以a1a2a3…a15＝(a1a2a3a4)3a1a2a3＝3.
S2 018＝504(－a1＋a2－a3＋a4)－a1＋a2＝504－2－3＝－2 105.
答案：3?。? 105
15．已知整數(shù)x，y滿足不等式組則2x＋y的最大值是________，x2＋y2的最小值是________．
解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示的整數(shù)點．作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當直線經過點A時，取得最大值．聯(lián)立解得但x，y為整數(shù)，所以最大值取不到，再向左下方平移直線，當該直線經過點(7,7)時，2x＋y取得最大值，最大值為21.
x2＋y2的最小值即為可行域中的點到原點最小距離的平方，即原點到直線x＋y－4＝0距離的平方，所以x2＋y2的最小值是8.
答案：21 8
16．已知|a|＝|b|＝1，向量c滿足|c－(a＋b)|＝|a－b|，則|c|的最大值為________．
解析：法一：|c－(a＋b)|＝|a－b|?＝，
其幾何意義可以理解為，設＝a，＝b，取AB中點為D，所以的終點C在以D為圓心，以＝|AD|為半徑的圓上運動，所以|c|的最大值就是2(||＋||)．
又因為||2＋||2＝1，所以||＋||≤，
當且僅當||＝||＝，即a⊥b時取等號，
所以|c|max＝2.
法二：因為|c|－|a＋b|≤|c－(a＋b)|＝|a－b|，
所以|c|≤|a－b|＋|a＋b|≤
＝ ≤2，
當且僅當a⊥b時取等號，所以|c|max＝2.
答案：2
17．已知函數(shù)f(x)＝x2－x－(x<0)，g(x)＝x2＋bx－2(x>0)，b∈R.若f(x)圖象上存在A，B兩個不同的點與g(x)圖象上A′，B′兩點關于y軸對稱，則b的取值范圍為________．
解析：f(x)＝x2－x－(x<0)的圖象關于y軸對稱的圖象對應的函數(shù)的解析式為h(x)＝x2＋x－(x>0)，所以f(x)圖象上存在A，B兩個不同的點與g(x)圖象上A′，B′兩點關于y軸對稱，當且僅當方程x2＋x－＝x2＋bx－2有兩個不同的正根，即(1－b)x2－(b＋1)x＋2＝0有兩個不同的正根，
則
解得－5＋40)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓交漸近線y＝x于點P(P在第一象限)，PF1交雙曲線左支于Q，若Q是線段PF1的中點，則該雙曲線的離心率為( )
A. B．
C.＋1 D．－1
解析：選C 聯(lián)立解得
所以點P的坐標為(a，b)，
又雙曲線的左焦點坐標為F1(－c,0)，
則PF1的中點坐標Q.
因為點Q在雙曲線上，所以－＝1，
整理可得c2－2ac－4a2＝0，即e2－2e－4＝0，
解得e＝＋1(負值舍去)．
9．設函數(shù)f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列說法錯誤的是( )
A．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)
B．若x∈[1，＋∞)時，有f(x－2)≤f(x)
C．若x∈R時，f(f(x))≤f(x)
D．若x∈[－4,4]時，|f(x)－2|≥f(x)
解析：選D 結合新定義的運算作出函數(shù)f(x)的圖象如圖1中實線部分所示，所以f(x)＝
觀察函數(shù)圖象可知函數(shù)圖象關于y軸對稱，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，選項A的說法正確；
對于選項B，
若x∈[1,3]，則x－2∈[－1,1]，此時f(x－2)＝(x－2)2，
若x∈(3，＋∞)，則x－2∈(1，＋∞)，此時f(x－2)＝|(x－2)－2|＝|x－4|，
如圖2所示，觀察可得，恒有f(x－2)≤f(x)，選項B的說法正確；
對于選項C，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故只需考查x≥0時不等式是否成立即可，
若x∈[0,1]，則f(x)∈[0,1]，此時f(f(x))＝f(x2)＝x4，
若x∈(1,3)，則f(x)∈[0,1]，此時f(f(x))＝f(|x－2|)＝(x－2)2，
若x∈[3，＋∞)，則f(x)≥1，此時f(f(x))＝f(|x－2|)＝|x－4|，如圖3所示，觀察可得，恒有f(f(x))≤f(x)，選項C的說法正確；
對于選項D，若x＝－4，
則f(x)＝f(－4)＝2，|f(x)－2|＝|2－2|＝0，
不滿足|f(x)－2|≥f(x)，選項D的說法錯誤．
本題選擇D選項．
10．已知點P為棱長是2的正方體ABCDA1B1C1D1的內切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則B1P與平面CDP所成角的正切值的最小值是( )
A. B．
C. D．
解析：選C 如圖所示，取E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，
易知BM⊥平面CDEF，
則點P在平面CDEF內．
又點P在內切球O球面上，
則點P為球O球面與平面CDEF的交線所成的圓O1上．
作B1H⊥平面CDEF于點H，點P為圓O1上的點，則∠HPB1為B1P與平面CDP所成角，
tan∠HPB1＝，其中HB1為定值，
則滿足題意時，HP有最大值即可．
設圓O1的半徑為r，則HPmax＝HO1＋r，
由VB1CDF＝VDB1FC，即B1H＝2，解得B1H＝.
因為OO1為△B1HD的中位線，
所以OO1＝B1H＝.
在Rt△POO1中，由勾股定理可得r＝O1P＝＝ ＝，
在Rt△B1HD中，由勾股定理可得HD＝＝＝，
所以HO1＝HD＝，
則HPmax＝HO1＋r＝＋，
綜上可得，B1P與平面CDP所成角的正切值的最小值是＝＝.
二、填空題
11．設直線l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直線l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為________．
解析：若l1⊥l2，則2(a＋1)＋3(a＋2)＝0，
整理可得5a＋8＝0，
解得a＝－.
因為a＝－2時，l1與l2不平行．
若l1∥l2，則＝ ≠，解得a＝－4.
答案：－ －4
12．已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2，則f ＝________，該函數(shù)的最小正周期為________.
解析：由題意可得f(x)＝－
＝cos 2x＋
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos，
所以f ＝cos＝0，
函數(shù)的最小正周期為T＝＝π.
答案：0 π
13．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋r，則a3－r＝________，數(shù)列的最大項是第k項，則k＝_______.
解析：等比數(shù)列前n項和公式具有特征Sn＝aqr－a，
據(jù)此可知r＝－1，則Sn＝3n－1，
所以a3＝S3－S2＝(33－1)－(32－1)＝18，
故a3－r＝19.
令an＝n(n＋4)n，則＝.
由＝>1，可得n2<10，
由＝<1，可得n2>10，
所以數(shù)列中的項滿足a1a5>a6>a7>a8>…，則k＝4.
答案：19 4
14. 在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7門學科中任選3門．若甲同學物理、化學至少選一門，則甲的不同的選法種數(shù)為________，乙、丙兩名同學都不選物理的概率是________．
解析：由題意可知，甲的不同的選法種數(shù)為總的選法除去甲不選擇物理、化學的選法，
即C－C＝35－10＝25.
乙不選擇物理的概率為P＝＝＝，
則乙、丙兩名同學都不選物理的概率P＝2＝.
答案：25
15．已知△ABC的外接圓圓心為O，且∠A＝60，若＝α＋β (α，β∈R)，則α＋β的最大值為__________．
解析：設△ABC三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
因為＝α＋β，
所以＝α||2＋β，
＝α＋β||2，
所以c2＝c2α＋bcβ，b2＝bcα＋b2β，
解得 所以α＋β＝－≤－＝.
所以α＋β的最大值為.
答案：
16．若實數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，則z的最小值是________．
解析：由x＋2y＋3z＝1，得x＝1－2y－3z，
所以(1－2y－3z)2＋4y2＋9z2＝1，
整理可得4y2＋(6z－2)y＋(9z2－3z)＝0，
滿足題意時上述關于y的一元二次方程有實數(shù)根，
則Δ＝(6z－2)2－16(9z2－3z)≥0，
解得－≤z≤，
所以z的最小值是－.
答案：－
17．設函數(shù)f(x)＝－4x＋a＋1有兩個零點，則實數(shù)a的值是________．
解析：函數(shù)f(x)＝－4x＋a＋1有兩個零點，
即＝4x－a－1有兩個不等實根，
即－a＝4x－a－1≥0 ①
或－a＝－4x＋a＋1≤0， ②
由①可得－4x＋1＝0，
解得x＝0或，
當x＝0時，a≤－1；當x＝時，a≤4，
當a＝4時，由①可得x＝；
由②可得x＝2，符合題意；
當－10
D．若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列
解析：選C 由于Sn＝na1＋d＝n2＋n是關于n的二次函數(shù)，定義域為N*，所以當d<0時，Sn有最大值，反之也成立，故A、B正確；由于Sn＋1>Sn?an＋1>0，即若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則an>0(n≥2)，并不能說明a1>0也成立，如數(shù)列－1,1，3,5，…，所以C不正確；對于D，顯然a1＝S1>0，若公差d<0，由Sn＝n2＋n可知，存在n∈N*，有Sn<0，與對任意n∈N*，均有Sn>0矛盾，所以d≥0，從而an>0(n∈N*)，所以數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，故D正確．
7．已知O為三角形ABC內一點，且滿足＋λ＋(λ－1)＝0，若△OAB的面積與△OAC的面積的比值為，則λ的值為( )
A. B．2
C. D．
解析：選A 如圖，設BC的中點為E，連接OE，直線AO與BC相交于點F，由＋λ＋(λ－1)＝0，可知(－)＋λ(＋)＝0，＝－2λ，則∥，因為△OAB的面積與△OAC的面積的比值為，所以BC＝4BF，又BC＝2BE，所以BE＝2BF，從而CF＝3EF，＝3，所以2λ＝3，λ＝.
8．已知0sin(2－y)
C．sin(2－x2)1，
又y<，所以11.44>x2>2－y>－>－，
所以sin x2>sin(2－y)，故B正確；
對于C，取2－x2＝，
則0，所以q＝，從而an＝a3qn－3＝8n－3＝26－n.
答案： 26－n
13．已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x－cos2x－，x∈R，則函數(shù)f(x)的最小值為________，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為________．
解析：f(x)＝sin xcos x－cos2x－＝sin 2x－－＝sin－1，
當2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z時，f(x)取得最小值，為－2.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為，k∈Z.
答案：－2 ，k∈Z
14．將9個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少有1個小球，共有________種不同的方法．若要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子中的小球個數(shù)都不相同，則共有________種不同的方法．
解析：每個盒子非空，則共有C＝28種方法；
三個盒子中球的個數(shù)有以下三類：1,3,5；1,2,6；2,3,4.
每一類都有A種不同的方法，所以根據(jù)分類計數(shù)原理可知，共有3A＝18種不同的方法．
答案：28 18
15．設max{a，b}＝已知x，y∈R，m＋n＝6，則F＝max{|x2－4y＋m|，|y2－2x＋n|}的最小值為________．
解析：F＝max{|x2－4y＋m|，|y2－2x＋n|}
＝＋
＝＋
＝＋≥，
當且僅當
即且時，取“＝”，
所以F的最小值為.
答案：
16．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線的右支于P，Q兩點，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，則該雙曲線的離心率為________．
解析：如圖，由雙曲線的定義可知，|PF2|＝2(c－a)，則|QF2|＝|PF2|＝3(c－a)，設F2P的中點為M，連接F1M，則F1M⊥MQ，|PM|＝|MF2|＝|PF2|＝c－a.在Rt△F1MQ中，|F1Q|＝|QF2|＋2a＝3c－a，|F1M|2＝4c2－(c－a)2，|QM|＝4(c－a)，由勾股定理可得[4(c－a)]2＋4c2－(c－a)2＝(3c－a)2，即5c2－12ac＋7a2＝0,5e2－12e＋7＝0，解得e＝(e＝1舍去)．
答案：
17．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為________．
解析：如圖，連接AC，BC，設∠CAB＝θ，連接PC與AB交于點D.∵AC＝BC，△PAB是等邊三角形，∴D是AB的中點，∴PC⊥AB，∴在圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2中，圓C的半徑為，|AB|＝2cos θ，|CD|＝sin θ，在等邊△PAB中，|PD|＝|AB|＝cos θ，∴|PC|＝|CD|＋|PD|＝sin θ＋cos θ＝2sin≤2.
答案：2
“10＋7”小題提速保分練(六)
一、選擇題
1. 已知集合M＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝－x2＋1}，則M∩N＝( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：選B ∵集合N＝{y|y＝－x2＋1}＝{y|y≤1}，M＝{y|y≥0}，∴M∩N＝[0,1]，故選B.
2. 已知α∈，a＝sin α，b＝cos α，c＝tan α，那么a，b，c的大小關系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
解析：選A (特值法)∵α∈，故可取α＝，此時a＝sin α＝，b＝cos α＝－，c＝tan α＝－，即a>b>c成立，故選A.
3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A. B．
C．2 D．4
解析：選A 由三視圖可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，底面的底邊長為2，底面的高即為三視圖的寬1，故底面面積S＝21＝1，棱錐的高即為三視圖的高2，故棱錐的體積V＝12＝，故選A.
4. 在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的平面區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為( )
A．2 B．1
C．－ D．－
解析：選C 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．
分析可知，當點M與點A重合時，直線OM的斜率最小，
聯(lián)立
解得即A(3，－1)，
所以直線OM斜率的最小值為－.
5. 已知p：不等式(ax－1)(x－1)>0的解集為，q：a<，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A ∵p：不等式(ax－1)(x－1)>0的解集為，∴由一元二次不等式的性質可得a<0，又∵{a|a<0}為的真子集，所以p是q的充分不必要條件，故選A.
6. 已知兩個平面α，β和三條直線m，a，b，若α∩β＝m，a?α且a⊥m，b?β，設α和β所成的一個二面角的大小為θ1，直線a和平面β所成的角的大小為θ2，直線a，b所成的角的大小為θ3，則( )
A．θ1＝θ2≥θ3 B．θ3≥θ1＝θ2
C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2
解析：選D 如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，令平面A1ADD1為α，平面ABCD為β，則AD為m，再令A1A為a，BC為b，故α和β所成的一個二面角的大小θ1為鈍角，直線a和平面β所成的角的大小θ2為銳角，直線a，b所成的角的大小θ3為直角，只有D選項滿足，故選D.
7. 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a8＝1，則2|a9|＋|a10|的最小值為( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：選C 設數(shù)列{an}的公差為d，∵a8＝1，
∴2|a9|＋|a10|＝2|1＋d|＋|1＋2d
（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第一板塊“10＋7”小題提速保分練（一）-（十）.doc
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