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2、 1 第五篇　數列(必修5) 第1節(jié) 數列的概念與簡單表示法課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 觀察法求通項 1、8 遞推公式應用 3、5、9、14 an與Sn的關系 2、4、10、11、13 數列的單調性、最值 6、7 綜合問題 12、15 一、選擇題 1.數列3、7、11、15,…的一個通項公式是(　D　) (A)an=4n+1

3、(B)an=2n+1 (C)an=2n+3 (D)an=4n-1 解析:觀察數列的前四項可得該數列的一個通項公式是an=4n-1. 故選D. 2.若Sn為數列{an}的前n項和,且Sn=nn+1,則1a5等于(　D　) (A)56 (B)65 (C)130 (D)30 解析:a5=S5-S4=56-45=130, ∴1a5=30. 故選D. 3.對于數列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表則a20xx等于(　D　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:由題意a2=f(a

4、1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5, a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1. 則數列{an}的項周期性出現(xiàn),其周期為4,a20xx=a4×503+3=a3=5.故選D. 4.(20xx銀川九中月考)已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn等于(　B　) (A)2n-1 (B)(32)n-1 (C)(23)n-1 (D)12n-1 解析:由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn), 所以Sn+1=32Sn. 所以{Sn}是以S1=a1=1為首項,32為公比的等比數列. 所以S

5、n=(32)n-1. 故選B. 5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數列{an}的通項公式是(　D　) (A)an=2n-1 (B)an=(n+1n)n-1 (C)an=n2 (D)an=n 解析:由已知得nan+1=(n+1)an, 所以an+1n+1=ann, 所以{ann}是各項為1的常數數列. 即ann=1,an=n. 故選D. 6.已知數列{an}的通項公式為an=n2-2λn(n∈N*),則“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的(　A　) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也

6、不必要條件 解析:若數列{an}為遞增數列, 則有an+1-an>0, 即2n+1>2λ對任意的n∈N*都成立, 于是有3>2λ,λ<32. 由λ<1可推得λ<32, 但反過來,由λ<32不能得到λ<1, 因此“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的充分不必要條件. 故選A. 7.設an=-3n2+15n-18,則數列{an}中的最大項的值是(　D　) (A)163 (B)133 (C)4 (D)0 解析:an=-3(n-52)2+34, 由二次函數性質,得當n=2或n=3時,an取最大值,最大值為a2=a3=0.故選D. 二、填空題 8.數列-21×2,42×3,

7、-83×4,164×5,…的一個通項公式為　　　　.? 解析:觀察各項知,其通項公式可以為an=(-2)nn(n+1). 答案:an=(-2)nn(n+1) 9.已知數列{an}中,a1=1,an+1=an1+2an,則{an}的通項公式an=　　　　.? 解析:∵an+1=an1+2an,∴1an+1=1an+2. ∴1an+1-1an=2, ∴數列{1an}是以1a1=1為首項,2為公差的等差數列, ∴1an=1+(n-1)×2=2n-1. ∴an=12n-1. 答案:12n-1 10.已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,則數列{an}的通項公式是　

8、　　　.? 解析:令Sn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,則Sn=9-6n, 當n=1時,a1=S1=3; 當n≥2時,2n-1·an=Sn-Sn-1=-6,∴an=-32n-2. ∴通項公式an=3,n=1,-32n-2,n≥2. 答案:an=3,n=1-32n-2,n≥2 11.(20xx遼寧大連測試)已知數列{an}的前n項和Sn=n2+2n+1(n∈N*).則an=　　　　.? 解析:Sn=(n+1)2, 當n=1時,a1=S1=4, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1, 所以an=4,n=12n+1,n≥2. 答案:4,n=

9、12n+1,n≥2 12.已知數列{an}的通項an=n2(7-n)(n∈N*),則an的最大值是　　　　.? 解析:設f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2, 當x>0時,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=143. 當00, 則f(x)在0,143上單調遞增, 當x>143時,f′(x)<0, f(x)在143,+∞上單調遞減, 所以當x>0時,f(x)max=f143. 又n∈N*,4<143<5,a4=48,a5=50, 所以an的最大值為50. 答案:50 13.(20xx上海八校聯(lián)考)已知數列{an}的首項a1=2,其前n

10、項和為Sn,若Sn+1=2Sn+1,則an=　　　　.? 解析:由已知Sn+1=2Sn+1得Sn=2Sn-1+1(n≥2), 兩式相減得an+1=2an, 又S2=a1+a2=2a1+1,得a2=3, 所以數列{an}從第二項開始為等比數列, 因此其通項公式為an=2,n=1,3×2n-2,n≥2. 答案:2,n=13×2n-2,n≥2 三、解答題 14.(20xx陜西五校聯(lián)考)已知數列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*). (1)證明:數列{an-12n}為等差數列; (2)求數列{an}的通項公式an. (1)證明:∵a1=5且an=2

11、an-1+2n-1(n≥2且n∈N*). ∴設bn=an-12n, 則b1=5-12=2. bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n =12n+1[(an+1-2an)+1] =12n+1[(2n+1-1)+1] =1, 由此可知,數列{an-12n}為首項是2、公差是1的等差數列. (2)解:由(1)知,an-12n=2+(n-1)×1=n+1, an=(n+1)·2n+1. 15.已知數列{an}的通項公式為an=n2-n-30. (1)求數列的前三項,60是此數列的第幾項? (2)n為何值時,an=0,an>0,an<0? (3)該數列前n項和Sn是否

12、存在最值?說明理由. 解:(1)由an=n2-n-30,得 a1=12-1-30=-30, a2=22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 設an=60,則60=n2-n-30. 解得n=10或n=-9(舍去). ∴60是此數列的第10項. (2)令an=n2-n-30=0, 解得n=6或n=-5(舍去). ∴n=6時,a6=0. 令n2-n-30>0, 解得n>6或n<-5(舍去). ∴當n>6(n∈N*)時,an>0. 令n2-n-30<0,n∈N*,解得0