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1、新編人教版精品教學(xué)資料
學(xué)業(yè)分層測評(四)
(建議用時(shí):45分鐘)
[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為( )
A.α>β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
【解析】 根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖,如圖.知α=β,故應(yīng)選B.
【答案】 B
2.在靜水中劃船的速度是每分鐘40 m,水流的速度是每分鐘20 m,如果船從岸邊A處出發(fā),沿著與水流垂直的航線到達(dá)對岸,那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為( )
A.15° B.30°
C.45° D.60°
2、【解析】 如圖所示,
sin∠CAB==,∴∠CAB=30°.
【答案】 B
3.我艦在敵島A處南偏西50°的B處,且A、B距離為12海里,發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10海里的速度航行,若我艦要用2小時(shí)追上敵艦,則速度大小為( )
A.28海里/小時(shí) B.14海里/小時(shí)
C.14海里/小時(shí) D.20海里/小時(shí)
【解析】 如圖,設(shè)我艦在C處追上敵艦,速度為v,
在△ABC中,AC=10×2=20(海里),
AB=12海里,∠BAC=120°,
∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784,
∴BC=28海里,
∴v=14海里/小
3、時(shí).
【答案】 B
4.地上畫了一個(gè)角∠BDA=60°,某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點(diǎn),我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N,則N與D之間的距離為( )
A.14米 B.15米
C.16米 D.17米
【解析】 如圖,設(shè)DN=x m,
則142=102+x2-2×10×
xcos 60°,
∴x2-10x-96=0.
∴(x-16)(x+6)=0.
∴x=16或x=-6(舍).
∴N與D之間的距離為16米.
【答案】 C
二、填空題
5.(2015·湖北高考)如圖1-2-26,一輛汽車在一條
4、水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD= m.
圖1-2-26
【解析】 由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600 m,故由正弦定理得=,解得BC=300 m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300×
=100(m).
【答案】 100
6.某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處,然后朝南偏西60°方向航行3海里到達(dá)C處,若A處與C處的距離為海里
5、,則x的值為 .
【解析】 x2+9-2·x·3cos 30°=()2,
解得x=2或x=.
【答案】 或2
7.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向,這時(shí)船與燈塔的距離為 km. 【導(dǎo)學(xué)號:05920062】
【解析】 如圖所示,依題意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,
∠AMB=45°,
在△AMB中,
由正弦定理得=,
解得BM=30(km).
【答案】 30
8.一船自西向東航行,上午10:00到達(dá)燈塔P的南偏西75°、距塔68
6、 n mile的M處,下午14:00到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船航行的速度為 n mile/h.
【解析】 如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.
在△PMN中,由正弦定理,得
=,
∴MN=68×=34.
又由M到N所用時(shí)間為14-10=4(h),
∴船的航行速度v==(n mile/h).
【答案】
三、解答題
9.平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3作用于同一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài).已知F1、F2的大小分別為1 N、 N,F(xiàn)1與F2的夾角為45°,求F3的大小及F3與F1的夾角的大?。?
【解】 如圖,設(shè)F1與F2的合力為F
7、,則F3=-F.
∵∠BOC=45°,
∴∠ABO=135°.
在△OBA中,由余弦定理得
|F|2=|F1|2+|F2|2-2|F1|·|F2|cos 135°
=4+2.
∴|F|=1+,即|F3|=+1.
又由正弦定理得
sin∠BOA==.
∴∠BOA=30°.
∴∠BOD=150°.
故F3的大小為(+1)N,F(xiàn)1與F3的夾角為150°.
10. (2016·焦作模擬)如圖1-2-27,正在海上A處執(zhí)行任務(wù)的漁政船甲和在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙,同時(shí)收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號,此時(shí)漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70 km的C處,漁政船乙在
8、漁政船甲的南偏西20°方向的B處,兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援,漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù),漁政船甲航行30 km到達(dá)D處時(shí),收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行,于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙(漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙),此時(shí)B、D兩處相距42 km,問漁政船乙要航行多少距離才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救.
圖1-2-27
【解】 設(shè)∠ABD=α,在△ABD中,AD=30,
BD=42,∠BAD=60°.
由正弦定理得=,
sin α=sin∠BAD=sin 60°=,
又∵AD
9、0°<α<60°,cos α==,
cos∠BDC=cos(60°+α)=-.
在△BDC中,由余弦定理得
BC2=DC2+BD2-2DC·BDcos∠BDC=402+422-2×40×42cos(60°+α)=3 844,BC=62 km,
即漁政船乙要航行62 km才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實(shí)施營救.
[能力提升]
1.(2016·湖南師大附中期中)為了測量某塔的高度,某人在一條水平公路C,D兩點(diǎn)處進(jìn)行測量.在C點(diǎn)測得塔底B在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿著南偏東40°方向前進(jìn)10米到D點(diǎn),測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,則塔的高度為( )
A.5米 B.10米
C
10、.15米 D.20米
【解析】 如圖,由題意得,AB⊥平面BCD,
∴AB⊥BC,AB⊥BD.
設(shè)塔高AB=x,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,
所以BC=AB=x,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,
∴BD==x,
在△BCD中,由余弦定理得
BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos 120°,
∴(x)2=x2+100+10x,
解得x=10或x=-5(舍去),故選B.
【答案】 B
2.甲船在島A的正南B處,以每小時(shí)4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?,?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它
11、們所航行的時(shí)間為( )
A.分鐘 B.分鐘
C.21.5分鐘 D.2.15小時(shí)
【解析】 如圖,設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處,則AD=10-4t,乙行駛到C處,則AC=6t.∵∠BAC=120°,∴DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100=282+.
當(dāng)t=時(shí),DC2最小,即DC最小,此時(shí)它們所航行的時(shí)間為×60=分鐘.
【答案】 A
3.如圖1-2-28所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.信息中心立即把消息
12、告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,則cos θ= .
圖1-2-28
【解析】 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800?BC=20.
由正弦定理=?
sin∠ACB=·sin∠BAC=,
∠BAC=120°,則∠ACB為銳角,cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,則cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB·cos 30°-sin∠ACB·sin 30°=.
【答案】
4.如圖1-
13、2-29,某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處,且與島嶼A相距120海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以100海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿東偏北60°方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從C處出發(fā)沿東偏北α的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時(shí)追上.
圖1-2-29
(1)求該軍艦艇的速度;
(2)求sin α的值.
【解】 (1)依題意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200,AC=120,∠ACB=α,
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=2002+1202-2×200×120cos 120°=78 400,解得BC=280.
所以該軍艦艇的速度為=140海里/小時(shí).
(2)在△ABC中,由正弦定理,得=,
即sin α===.