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壓軸小題突破練(1) 1．已知M是函數(shù)f(x)＝e－2|x－1|＋2sin在x∈[－3，5]上的所有零點(diǎn)之和，則M的值為(　　) A．4B．6C．8D．10 答案　C 解析　因?yàn)閒(x)＝e－2|x－1|＋2sin＝e－2|x－1|－2cosπx， 所以f(x)＝f(2－x)， 因?yàn)閒(1)≠0， 所以函數(shù)零點(diǎn)有偶數(shù)個(gè)，兩兩關(guān)于x＝1對(duì)稱． 當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，y＝e－2(x－1)∈(0,1]，且單調(diào)遞減； y＝2cosπx∈[－2,2]，且在[1,5]上有兩個(gè)周期， 因此當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，y＝e－2(x－1)與y＝2cosπx有4個(gè)不同的交點(diǎn)， 從而所有零點(diǎn)之和為42＝8，故選C. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－3x＋1)，若對(duì)任意的x1∈[0，＋∞)，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為(　　) A．2B.C．4D. 答案　B 解析　設(shè)g(x)＝ln(ax2－3x＋1)的值域?yàn)锳， 因?yàn)閒(x)＝1－在[0，＋∞)上的值域?yàn)?－∞，0]，所以(－∞，0]?A， 所以h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一個(gè)數(shù)，又h(0)＝1， 所以實(shí)數(shù)a需要滿足a≤0或 解得a≤.所以實(shí)數(shù)a的最大值為，故選B. 3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ex(x<0)與g(x)＝x2＋ln(x＋a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，e) B.C.D. 答案　A 解析　由已知得，方程f(x)＝g(－x)在x<0時(shí)有解， 即ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解， 令m(x)＝ex－ln(－x＋a)，x<0， 則m(x)＝ex－ln(－x＋a)在其定義域上是增函數(shù)，且x→－∞時(shí)，m(x)<0，當(dāng)a≤0，x→a時(shí)，m(x)>0， 故ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，a)上有解，符合要求． 當(dāng)a>0時(shí)，則ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解可化為e0－lna>0，即lna<1，故00，函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(－f(x))＝e－a＋有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)為增函數(shù)， 當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1, f′(x)為增函數(shù)， 令f′(x)＝0，解得x＝1， 故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 最小值為f＝0. 由此畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． 令t＝－f(x)，因?yàn)閒(x)≥0，所以t≤0， 則有解得－a＝t－1， 所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1. 所以方程要有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 則需＜a－1＜＋， 解得2＜a＜＋2. 5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(x＜0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R.若f(x)的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))處的切線與g(x)的圖象在點(diǎn)B(x2，f(x2))處的切線重合，則a的取值范圍為(　　) A．(－1＋ln2，＋∞) B．(－1－ln2，＋∞) C. D．(ln2－ln3，＋∞) 答案　A 解析　f(x)的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))處的切線方程為 y－＝(x－x1)， 即y＝x－x＋a. g(x)的圖象在點(diǎn)B(x2，g(x2))處的切線方程為 y－lnx2＝(x－x2)，即y＝x＋lnx2－1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0, 由①②得a＝x＋lnx2－1＝x＋ln－1 ＝x＋ln2－ln(x1＋1)－1, 設(shè)h(t)＝t2＋ln2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)， 則h′(t)＝t－＝＜0， 所以h(t)(－1＜t＜0)為減函數(shù)， 則h(t)＞h(0)＝－1＋ln2， 所以a＞－1＋ln2， 而當(dāng)t∈(－1,0)且t趨向于－1時(shí)，h(t)無(wú)限增大， 所以a的取值范圍是(－1＋ln2，＋∞)． 6．若方程＝kx－2恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－2，－1)∪(0,4) B.∪ C.∪(1,4) D．(0,1)∪(1,4) 答案　D 解析　方法一　代數(shù)求解：方程可化為或或經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)k＝1或k＝－2時(shí)，方程均有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件，故k≠1，且k≠－2，所以要使方程＝kx－2恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，只需解得k∈(0,1)∪(1,4)． 方法二　幾何求解：求方程＝kx－2恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍，即求函數(shù)y＝的圖象與直線y＝kx－2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，作出圖象如圖所示，由圖知k∈(0,1)∪(1,4)． 7．已知定義在[0,1]上的函數(shù)滿足： (1)f(0)＝f(1)＝0； (2)對(duì)所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|. 若對(duì)所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|時(shí)，|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<|x－1|＋|y－0|＝－(x－y)＋<，所以kmin＝.故選B. 8．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，a，b，c∈N*，函數(shù)f(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a＋b＋c的最小值為(　　) A．38 B．39 C．40 D．41 答案　D 解析　由題意，考慮到f(0)＝c>0， 于是條件等價(jià)于 即2b1，從而a>b>2. 這樣就得到a>16，進(jìn)而b>2>8， 于是b≥9，而a>2b≥18， 當(dāng)b≥13時(shí)，有a＋b＋c>>>40. 當(dāng)9≤b≤12時(shí)，≤<2. 于是c＝1，且4b－160， 可解得4c0，可推得b<0且c>0，② <1，可推得b>－2且c＋b＋1>0.③ 由②③式可知－25時(shí)，|t－a|＋a>5，不合題意． ③當(dāng)45，不合題意． 綜上，a的取值范圍是. 13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，則x＋y＝________. 答案　 解析　設(shè)f(t)＝lnt－t＋1，令f′(t)＝－1＝0， 得t＝1，所以當(dāng)00， 當(dāng)t>1時(shí)，f′(t)<0， 因此f(t)≤f(1)＝0，即lnt≤t－1， 所以ln(x＋2y－3)≤x＋2y－3－1， ln(2x－3y＋5)≤2x－3y＋5－1， 因此ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)≤x＋2y－3－1＋2x－3y＋5－1＝3x－y， 因?yàn)?x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)， 所以x＋2y－3＝1,2x－3y＋5＝1， 所以x＝，y＝， 所以x＋y＝. 14．已知函數(shù)f(x)＝ ①若f(x)＝a有且只有一個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________； ②若關(guān)于x的方程f(x＋T)＝f(x)有且僅有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)T的取值范圍是_____． 答案?、?1，＋∞)?、?－4，－2)∪(2,4) 解析?、僮鞒龊瘮?shù)f(x)的圖象，f(x)＝a有且只有一個(gè)根等價(jià)于y＝f(x)的圖象與y＝a只有一個(gè)交點(diǎn)，故可得a＞1，即a的取值范圍是(1，＋∞)；②方程f(x＋T)＝f(x)有且僅有3個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于y＝f(x＋T)的圖象與y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，而y＝f(x＋T)的圖象是將y＝f(x)的圖象向左或向右平移|T|個(gè)單位長(zhǎng)度，故可得T的取值范圍是(－4，－2)∪(2,4)． 15．已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是________． 答案　[－2,2] 解析　作出f(x)的圖象如圖所示，當(dāng)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)，可知a＝2.當(dāng)y＝＋a的圖象與y＝x＋的圖象相切時(shí)，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并結(jié)合圖象可得a＝2. 要使f(x)≥在R上恒成立，只需f(0)≥|a|，當(dāng)a≤0時(shí)，需滿足－a≤2，即－2≤a≤0；當(dāng)a>0時(shí)，需滿足a≤2，所以－2≤a≤2. 16．當(dāng)x∈時(shí)，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，則6a＋b的最大值是________． 答案　6 解析　∵當(dāng)x∈時(shí)，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立， ∴≤2，即≤2， 設(shè)f(x)＝ax＋b＋＝a＋b，x＋∈[4,5]， ∵|f(x)|≤2，∴ ∴6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)， ∴－2＋2(－2)≤6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)≤2＋22， ∴6a＋b的最大值為6. 17．設(shè)a，b∈R，af(b)， 可得g(x)＝f(a)＝－a－x， 當(dāng)－x≤a，即x≥－a時(shí)，區(qū)間[a，b]為增區(qū)間， 可得g(x)＝f(b)＝b＋x. 則g(x)＝ 當(dāng)x≤－b，g(x)≥b－a； 當(dāng)－≤x<－a時(shí)，g(x)≥(b－a)； 當(dāng)－b(b－a)； 當(dāng)x≥－a時(shí)，g(x)≥b－a， 則g(x)的最小值為(b－a)．