《陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

4.2.2　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【考綱要求】 熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)。 【知識梳理】 1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟 (1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 2．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′ (x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值． 3．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最大值與最小值 (1)確定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)；(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；(3)求函數(shù)f(x)在[a，b]端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(4)比較函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)的大小，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 4．生活中的優(yōu)化問題 解決優(yōu)化問題的基本思路： ―→ ↓ 　　　 ↓ 　 ← 5．利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值問題時應(yīng)注意的問題 (1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去； (2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值； (3)在解決實際問題中的優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示出來，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間． 【基礎(chǔ)自測】 1.(課本改編題)函數(shù)f(x)＝ax3＋x恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是 _(－∞，0)_． 2．(課本精選題)如圖，水波的半徑以50 cm/s的速度向外 擴(kuò)張，當(dāng)半徑為250 cm時，水波面的圓面積的膨脹率是 _25 000π_ cm2/s. 3．若函數(shù)f(x)＝x＋asin x在R上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_[－1,1]_． 4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系 式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( C ) 　 A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 5. 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為(　A　) A．(－3，－2)∪(2,3) B．(－，) C．(2,3) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 【例題精析】 題型一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法 例1　已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，求m的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 當(dāng)a<0時，對x∈R，有f′(x)>0， ∴當(dāng)a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．當(dāng)a>0時，由f′(x)>0， 解得x<－或x>. 由f′(x)<0，解得－0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1處取得極值， ∴f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖像有三個不同的交點， 結(jié)合如圖所示f(x)的圖像可知： 實數(shù)m的取值范圍是(－3,1)． 探究提高　 (1)對于該問題的求解，一般利用研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖像的交點情況，建立含參數(shù)的方程組(或不等式)求之，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一． (2)本題常見的錯誤是不能把函數(shù)的極值與圖像交點聯(lián)系起來，缺乏轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的意識． 變式訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋6x－a. (1)對任意x∈R，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若函數(shù)f(x)有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)－　(2)a>或a<2 題型二　利用函數(shù)研究恒成立及參數(shù)求解問題 例2　已知函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性； (2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值； (3)若f(x)0，∴f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)． (2)由(1)可知，f′(x)＝. ①若a≥－1，則x＋a≥0， 即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立， 此時f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)． ②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數(shù)， ∴f(x)min＝f(e)＝1－＝， ∴a＝－(舍去)． ③若－e0， ∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝， ∴a＝－.綜上所述，a＝－. (3)∵f(x)0，∴a>xln x－x3. 令g(x)＝xln x－x3， h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2， h′(x)＝－6x＝. ∵x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0， ∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)． ∴h(x)0， 所以函數(shù)h(x)＝＋xln x在區(qū)間上遞減，在區(qū)間(1,2]上遞增， h(x)min＝h(1)＝1，即h(x)≥1， 所以當(dāng)a≥1且x∈時，f(x)≥1成立，即對任意s，t∈都有f(s)≥g(t)． 題型三　利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題 例3　為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． 解　(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝. 再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 又建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x ＝＋6x (0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0， 即＝6.解得x＝5，x＝－(舍去)．當(dāng)00， 故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)＝65＋＝70.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時，總費用達(dá)到最小值70萬元． 變式訓(xùn)練3 (2011福建)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3

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陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1 陜西省 藍(lán)田縣 高中數(shù)學(xué) 第四 導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用 4.2 最大值 最小值 問題 北師大 選修

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