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課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十)小題考法——數(shù)列的概念及基本運(yùn)算
A組——10+7提速練
一、選擇題
1.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項(xiàng)和為Sn,則=( )
A.2 B.4
C. D.
解析:選C ∵q=2,
∴S4==15a1,
∴==.故選C.
2.(2017全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選C 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則由得
即解得d=4.
3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S1=a2-,S2=a3-,則公比q=( )
A.1 B.4
C.4或0 D.8
解析:選B ∵S1=a2-,S2=a3-,
∴
解得或,
故所求的公比q=4.故選B.
4.(2019屆高三湖州五校聯(lián)考)若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.若a1+a2>0,則a1+a3>0
B.若a1+a4>0,則a1a4>a2a3
C.若d>0且a1>0,則+>
D.若S3+S7>2S5,則d>0
解析:選D 由a1+a2=2a1+d>0,得d>-2a1,由a1+a3=2a1+2d>0,得d>-a1,顯然不符,A錯(cuò);a1a4=a+3a1d,a2a3=a+3a1d+2d2,因?yàn)閐≠0,所以a1a4
2S5=10a1+20d,解得d>0,D正確.
5.(2018金華統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足S7=S11,且a1>0,則Sn中最大的是( )
A.S7 B.S8
C.S9 D.S10
解析:選C 法一:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)S7=S11可得7a1+d=11a1+d,即d=-a1,則Sn=na1+d=na1+=-(n-9)2+a1,由a1>0可知-<0,故當(dāng)n=9時(shí),Sn最大.
法二:根據(jù)S7=S11可得a8+a9+a10+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a8+a11=a9+a10=0,由a1>0可知a9>0,a10<0,所以數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和最大.
6.(2019屆高三浙江名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,則“{an}為等比數(shù)列”是“a+a≥2a”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選A 若{an}為等比數(shù)列,則有anan+2=a,所以a+a≥2=2a,當(dāng)且僅當(dāng)an=an+2時(shí)取等號(hào),所以充分性成立;當(dāng)a+a≥2a時(shí),取an=n,則a+a-2a=n2+(n+2)2-2(n+1)2=2n2+4n+4-2n2-4n-2=2>0,所以a+a≥2a成立,但{an}是等差數(shù)列,不是等比數(shù)列,所以必要性不成立.所以“{an}為等比數(shù)列”是“a+a≥2a”的充分不必要條件.故選A.
7.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6>S7>S5,則滿(mǎn)足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為( )
A.10 B.11
C.12 D.13
解析:選C 由S6>S7>S5,得S7=S6+a7S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即滿(mǎn)足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C.
8.(2018浙江考前熱身聯(lián)考)我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個(gè)節(jié)氣,每個(gè)節(jié)氣晷(ɡuǐ)長(zhǎng)損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器,晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度).二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示,相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同,周而復(fù)始.若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)是( )
A.五寸 B.二尺五寸
C.三尺五寸 D.四尺五寸
解析:選B 設(shè)從夏至到冬至的晷長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差為d,a1=15,a13=135,則15+12d=135,解得d=10.∴a2=15+10=25,∴小暑的晷長(zhǎng)是25寸.故選B.
9.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對(duì)任意n∈N*都有++…+的最大正整數(shù)n為_(kāi)_______.
解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由已知可得解得
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.
Sn=a1++…+, ①
=++…+. ②
①-②得=a1++…+-=1--=1--=,
所以Sn=,由Sn=>,得0100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )
A.440 B.330
C.220 D.110
解析:選A 設(shè)第一項(xiàng)為第1組,接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組,再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組,依此類(lèi)推,則第n組的項(xiàng)數(shù)為n,前n組的項(xiàng)數(shù)和為.
由題意可知,N>100,令>100,
得n≥14,n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.
易得第n組的所有項(xiàng)的和為=2n-1,前n組的所有項(xiàng)的和為-n=2n+1-n-2.
設(shè)滿(mǎn)足條件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)組,且第N項(xiàng)為第k+1組的第t(t∈N*)個(gè)數(shù),
若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,則第k+1組的前t項(xiàng)的和2t-1應(yīng)與-2-k互為相反數(shù),
即2t-1=k+2,∴2t=k+3,∴t=log2(k+3),
∴當(dāng)t=4,k=13時(shí),N=+4=95<100,不滿(mǎn)足題意;
當(dāng)t=5,k=29時(shí),N=+5=440;
當(dāng)t>5時(shí),N>440,故選A.
3.(2018浙江考前沖刺卷)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差d不為0的等差數(shù)列,且a2a3=a8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其中b2=-2,b5=16,若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=anbn,則|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|=( )
A.3+(2n-3)2n+1 B.3+(2n-3)2n
C.3-(2n-3)2n D.3+(2n+3)2n
解析:選B 由題意知,(a1+d)(a1+2d)=a1+7d,a1=1,得d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,則q3==-8,q=-2,所以bn=(-2)n-1,所以|cn|=|(2n-1)(-2)n-1|=(2n-1)2n-1,所以|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|=120+321+…+(2n-1)2n-1.令Tn=120+321+…+(2n-1)2n-1,則2Tn=121+322+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,兩式相減得Tn=-2(21+22+…+2n-1)+(2n-1)2n-1=3+(2n-3)2n,所以選B.
4.(2018浙江高三模擬)已知在數(shù)列{an}中,a1=-,[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+2-(n≥2),且對(duì)任意的n∈N*,(an+1-p)(an-p)<0恒成立,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A ∵[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+2-(n≥2),(*)
a1=-,∴①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),化簡(jiǎn)(*)式可知,an-1=-2,∴an=-2(n為奇數(shù));
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),化簡(jiǎn)(*)式可知,2an=-an-1+2-,即-4=-an-1+2-,即an-1=6-,
∴an=6-(n為偶數(shù)).于是an=
∵對(duì)任意n∈N*,(an+1-p)(an-p)<0恒成立,
∴對(duì)任意n∈N*,(p-an+1)(p-an)<0恒成立.又?jǐn)?shù)列{a2k-1}單調(diào)遞減,數(shù)列{a2k}單調(diào)遞增,∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有an32n-1,且bn∈Z,則bn=________,數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______.
解析:由2an+1=an+an+2,知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,因?yàn)閍1=2,a2=4,所以其公差為2,所以an=2n.由bn+1-bn<2n+,得bn+2-bn+1<2n+1+,所以bn+2-bn<32n+1,又bn+2-bn>32n-1,且bn∈Z,所以bn+2-bn=32n,又b1=2,b2=4,所以bn=2n.所以==2n-1,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為=2n-1.
答案:2n 2n-1
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