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2、 1 【備戰(zhàn)20xx】（湖北版）高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題09 圓錐曲線（含解析）理 一．選擇題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】雙曲線離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則mn的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，∴

3、得m=,n=,∴mn=，選A. 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡方程是 ( ) A． B． C． D． 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于 （ ） A． B． C． D． 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向

4、月球，在月球附近一點(diǎn)P軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子： ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c1;④＜. 其中正確式子的序號(hào)是（ ） A. ①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④ 【答案】B 【解析】 試題分析：由焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應(yīng)選

5、B． 5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是（ ） A. B. C. D. 6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷2】設(shè)集合，，則的子集的個(gè)數(shù)是（ ） A．4 B．3 C ．2 D．1 【答案】A 【解析】 試題分析：畫(huà)出橢圓和指數(shù)函數(shù)圖象，可知其有兩個(gè)不同交點(diǎn)，記為A1、A2，則的子集應(yīng)為共四種，故選A. 7.【20

6、xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n，則（ ） A. B. C. D. 8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】已知，則雙曲線與的（ ） A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等 C.焦距相等 D. 離心率相等 【答案】D 【解析】 試題分析：雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D. 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷9】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)

7、，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ） A. B. C.3 D.2 所以. 所以橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為，故選A. 考點(diǎn)：橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，利用三角換元法求最值，難度中等. 10. 【20xx高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A．對(duì)任意的， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C．對(duì)任意的， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 二．填空題 1.【20x

8、x年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，，虛軸兩端點(diǎn)為，，兩焦點(diǎn)為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為. 則： A1　 　 A2 y B2 B1 A O B C D F1　　　　　　　　 F2 　 x （Ⅰ）雙曲線的離心率 ； （Ⅱ）菱形的面積與矩形的面積的比值 . 三．解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，

9、線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由. （此題不要求在答題卡上畫(huà)圖） 【解析】 （Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ① 設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根， ∴ ② 同理可得 ⑥ ∵當(dāng)時(shí)， 假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心. 點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上. 又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱

10、點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓. （注：也可用勾股定理證明AC⊥AD） 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。 （此題不要求在答題卡上畫(huà)圖） 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 則－2

11、(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝， 而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上， ∴，即y2＝ 又點(diǎn)M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡(jiǎn)后可得－＝. 從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi). 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2=2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn). （Ⅰ）若點(diǎn)N

12、是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)， 求△ANB面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.（此題不要求在答題卡上畫(huà)圖） N O A C B y x l 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在以點(diǎn)O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點(diǎn)， ∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，且曲線C過(guò)點(diǎn)P. （Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線l與

13、曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F.若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）解法1：以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)實(shí)平軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c， 則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲線C的方程為. 解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4. ∴曲線C是

14、以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0）. 則由　 解得a2=b2=2, ∴曲線C的方程為 (Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， ∴ 　　 ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）. 設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是 ｜EF｜＝ ＝ 而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝， ∴S△DEF= 綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）. 5.【2009年普通高

15、等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：⊥； （Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。 6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (Ⅰ)求曲線C的方程； （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有？

16、若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的m的點(diǎn)的軌跡，加上兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓、或雙曲線。 （Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系； （Ⅱ）當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為；對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為。設(shè)是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問(wèn)：在上是否存在點(diǎn)N,使得的面積。若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 由①的，由②得，， 當(dāng)，即或時(shí)， 存在點(diǎn)N使得，； 8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與

17、 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由， 可得，，所以，. ① 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. ② 將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖，已知橢

18、圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸均為且在軸上，短軸長(zhǎng)分別為，，過(guò)原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為，，，。記，和的面積分別為和。 （I）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值； （II）當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說(shuō)明理由。 第21題圖 【解析】（I）， 解得：（舍去小于1的根） 10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為. （I）求軌跡為的方程； （II）設(shè)斜率為的直線過(guò)定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)

19、公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍. 【答案】（I）；（II）當(dāng)時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn). 【解析】 試題分析：（I）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件列出等式，在用兩點(diǎn)間的距離公式表示，化簡(jiǎn)整理即得；（II）在點(diǎn)的軌跡中，記，，設(shè)直線的方程為即當(dāng)時(shí)，直線與有一個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)時(shí) ，直線與有兩個(gè)共點(diǎn)，與沒(méi)有公共點(diǎn). 故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn). 11. 【20xx高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過(guò)處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)

20、，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫(huà)出的曲線記為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由． x D O M N y 第21題圖2 第21題圖1 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，依題意， 第21題解答圖 ，且， 所以，且 即且 由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0， 于是，故，代入，可得， 即所求的曲線的方程為 當(dāng)時(shí)，. 因，則，，所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8. 綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，最值.